Descriptions déterministes de la turbulence dans les équations de Navier-Stokes

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Submitted on 29 Jun 2018

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équations de Navier-Stokes

Oscar Jarrin

To cite this version:

Oscar Jarrin. Descriptions déterministes de la turbulence dans les équations de Navier-Stokes. 2018.

�hal-01821762v2�

de

l’Universit´ e Paris-Saclay

Ecole doctorale de math´ ´ ematiques Hadamard (EDMH, ED 574) Etablissement d’inscription : ´ Universit´ e d’ ´ Evry-Val d’Essonne

Laboratoire d’accueil : Laboratoire de math´ ematiques et mod´ elisation d’ ´ Evry, UMR 8071 CNRS-INRA

Sp´ ecialit´ e de doctorat : Math´ ematiques appliqu´ ees

Oscar JARR´ IN

Descriptions d´ eterministes de la turbulence dans les ´ equations de Navier-Stokes

Date de soutenance : 20 Juin 2018

Apr` es avis des rapporteurs : Isabelle GALLAGHER (Universit´ e-Diderot) Taoufik HMIDI (Universit´ e de Rennes 1) Jury de soutenance :

Lorenzo BRANDOLESE (Universit´ e Claude-Bernard-Lyon 1) Examinateur Diego CHAMORRO (Universit´ e d’ ´ Evry-Val d’Essonne) Codirecteur de th` ese Isabelle GALLAGHER (Universit´ e-Diderot) Rapporteur

Pierre Gilles LEMARI ´ E-RIEUSSET (Universit´ e d’ ´ Evry-Val d’Essonne) Directeur de th` ese Roger LEWANDOWSKI (Universit´ e de Rennes 1) Pr´ esident de jury

NNT : 2018SACLE010

et j’ai conserv´ e le goˆ ut de r´ esoudre des probl` emes · · · ”

Jean-Pierre Kahane

Toute cette aventure pour venir en France et continuer ma formation scientifique a ´ et´ e pleine de personnes avec qui j’ai partag´ e de nombreux moments. Dans ces lignes je ne fais que les mentionner mais ces mots expriment un fort et sinc` ere remerciement.

Je tiens tout d’abord ` a remercier mes directeurs de th` ese, Diego Chamorro et Pierre-Gilles Lemari´ e-Rieusset, pour toutes ces ann´ ees de travail et pour m’avoir initi´ e ` a la recherche. Je les remercie non seulement pour leur qualit´ e scientifique mais aussi pour leur qualit´ e humaine. Je poursuis leur bon exemple de chercheurs s´ erieux en envisageant toujours des r´ esultats de la plus haute qualit´ e possible.

Je remercie ´ egalement mes rapporteurs de th` ese Mme. Isabelle Gallagher et M. Taoufik Hmidi qui m’ont fait le grand honneur de rapporter ce travail de recherche et pour les commentaires pr´ ecieux qu’ils ont effectu´ es. De la mˆ eme fa¸ con, toute ma gratitude va ` a M. Lorenzo Brandolese et M. Roger Lewandowski pour avoir accept´ e de faire partie de mon jury de soutenance.

Je veux remercier les membres du Laboratoire de Math´ ematiques et Mod´ elisation d’ ´ Evry qui m’ont accompagn´ e pendant ma th` ese. Je remercie particuli` erement Arnaud Gloter, direc- teur du laboratoire, et aussi les autres membres avec qui j’ai partag´ e de nombreux d´ ejeuners tr` es agr´ eables : St´ ephane Menozzi, Christophe Profeta, Abass Sagna et Vincent Torri.

Un grand remerciement ` a Val´ erie Picot, secr´ etaire du Laboratoire de Math´ ematiques d’ ´ Evry, pour sa grande efficacit´ e et aussi pour sa grande gentillesse et bienveillance. Je remercie ´ egalement El Maouloud Ould Baba, ing´ enieur informatique du laboratoire, pour toute son aide aux divers probl` emes informatiques.

Je remercie aussi les autres doctorants du laboratoire : Igor, Mohammed et Chiara, en leur souhaitant une bonne continuation dans leurs travaux de recherche. Un grand remerciement

`

a Kawther Mayoufi, avec qui nous avons partag´ e beaucoup d’exp´ eriences comme ´ etudiants en th` ese, les hautes et les basses de la recherche, ainsi que de nombreuses conf´ erences partout en France.

Pendant ma derni` ere ann´ ee de th` ese j’ai fait aussi partie du d´ epartement de math´ ematiques dans le cadre d’un poste d’ATER ` a l’Universit´ e-Dauphine . Je voudrais remercier ´ egalement les membres de ce d´ epartement, particuli` erement Daniela Tonon et Alexandre Afgoustidis, avec qui j’ai eu le plaisir de travailler en assurant leurs cours de travaux dirig´ es.

Por otro lado, quiero agradecer a las personas que han estado presentes en todo este camino.

A Ricardo por su gran amistad y su ayuda en todo este tiempo. De igual manera a Yandira e Israel quienes me acompa˜ naron durante los primeros a˜ nos de tesis.

A Joan por estar siempre presente a pesar de la distancia y por toda la alegr´ıa que trajo en sus visitas a Par´ıs.

A Elizabeth y Mar´ıa Jos´ e por su amistad y su apoyo. En particular por la deliciosa comida

ecuatoriana de Majo.

A todos ellos les deseo la m´ as exitosa carrera profesional, esperando verlos pronto convertidos en colegas con los cuales podamos trabajar juntos por la escuela matem´ atica ecuatoriana.

Agradezco igualmente a Marco Calahorrano y Juan Carlos Trujillo, profesores de la Escuela Polit´ ecnica Nacional, quienes me guiaron en los primeros a˜ nos de estudio de la matem´ atica.

En este punto no puedo dejar de agradecer a la Asociaci´ on AMARUN, gracias a la cual toda esta aventura de venir a Francia fue posible ; y gracias a la cual tuve la oportunidad de desarrollar otras competencias tan importantes en el qu´ ehacer de un investigador.

Agradezco tambi´ en a los dem´ as amigos y personas que me han acompa˜ nado de una manera u otra : Fernando, Jessi, Pato, Esteban y a mis primos Dany y Mart´ın.

Finalmente, un gran agradecimiento a mi familia por toda su ayuda y apoyo incondicional.

En particular a mi hermano y mis padres : la culminaci´ on de esta etapa es tambi´ en el resultado

de todos los esfuerzos cotidianos que hicieron por mi hermano y por m´ı.

1 L’´ etude d´ eterministe de la loi de dissipation d’´ energie 7

1.1 Introduction . . . . 7

1.1.1 Le cadre d’un fluide p´ eriodique . . . . 13

1.1.2 Le cadre non p´ eriodique . . . . 21

1.1.3 Probl` emes dans le cadre non p´ eriodique . . . . 22

1.2 Les ´ equations de Navier-Stokes amorties . . . . 26

1.2.1 Motivation du mod` ele . . . . 26

1.2.2 Existence et propri´ et´ es . . . . 28

1.2.3 Le param` etre d’amortissement . . . . 34

1.3 Discussion sur la loi de dissipation d’´ energie . . . . 35

1.3.1 La notion de longueur caract´ eristique du fluide . . . . 36

1.3.2 Quelques estimations rigoureuses . . . . 38

1.3.3 Conclusions . . . . 43

1.4 Lemme technique . . . . 47

2 Les solutions stationnaires amorties 51 2.1 Introduction . . . . 52

2.1.1 Motivation . . . . 52

2.1.2 Existence . . . . 54

2.2 Le r´ egime laminaire et le r´ egime turbulent . . . . 63

2.2.1 Les nombres de Grashof . . . . 63

2.2.2 Une force ext´ erieure bien pr´ epar´ ee . . . . 65

2.3 Quelques propri´ et´ es des solutions stationnaires . . . . 69

2.3.1 Stabilit´ e dans le cadre laminaire . . . . 71

2.3.2 Localisation en variable d’espace dans le cadre turbulent . . . . 78

2.4 Appendice . . . . 84

2.4.1 La th´ eorie de la r´ egularit´ e de Caffarelli, Kohn et Nirenberg . . . . 84

2.4.2 Les lemmes techniques . . . . 91

3 D´ ecroissance fr´ equentielle 99 3.1 Introduction . . . 100

3.1.1 Les ´ equations de Navier-Stokes stationnaires . . . 100

3.1.2 La d´ ecroissance fr´ equentielle selon la th´ eorie K41 . . . 102

3.1.3 De retour au r´ egime laminaire et turbulent . . . 104

3.2 D´ ecroissance fr´ equentielle des ´ equations de Navier-Stokes stationnaires . . . 105

3.2.1 Quelques r´ esultats dans le r´ egime laminaire . . . 105

3.2.2 Quelques r´ esultats dans le r´ egime turbulent . . . 121

5

4 Des th´ eor` emes de type Liouville 125

4.1 Introduction . . . 126

4.1.1 Le probl` eme de Liouville pour les ´ equations de Navier-Stokes stationnaires 126 4.1.2 Des r´ esultats connus . . . 129

4.2 Quelques r´ esultats sur le probl` eme de Liouville . . . 134

4.2.1 Le cadre des espaces de Lebesgue . . . 134

4.2.2 Le cadre des espaces de Morrey . . . 140

4.3 Preuve des lemmes techniques . . . 144

L’´ etude d´ eterministe de la loi de dissipation d’´ energie

1.1 Introduction

Dans ce chapitre nous allons ´ etudier d’un point de vue d´ eterministe la loi de dissipation d’´ energie propos´ ee par la th´ eorie de la turbulence de Kolmogorov ´ egalement appel´ ee “th´ eorie K41”. Cette loi de dissipation d’´ energie fut d´ evelopp´ ee par A.N. Kolmogorov dans les articles [41], [42] et [43] et correspond ` a une ´ etude exp´ erimentale de la quantit´ e d’´ energie cin´ etique dis- sip´ ee (sous forme de chaleur) dans un fluide qui se trouve en r´ egime turbulent.

Etant donn´ ´ e que les ´ equations de Navier-Stokes donnent un mod` ele math´ ematique pour ´ etudier le comportement des fluides, le but de ce chapitre est d’´ etudier aussi rigoureusement que pos- sible la loi de dissipation d’´ energie dans le cadre des ´ equations de Navier-Stokes d´ eterministes que nous introduisons rapidement : nous nous int´ eressons donc ` a l’´ evolution au cours du temps d’un fluide, via l’´ etude de son champ de vitesse en tout point de l’espace et ` a chaque instant.

Nous supposons que le fluide est de densit´ e constante (sa masse volumique est constante), qu’il est incompressible (l’espace occup´ e par une certaine quantit´ e de fluide ` a chaque instant peut changer de forme, mais pas de volume), et l’on supposera qu’il est visqueux. Les ´ equations qui d´ ecrivent un tel fluide sont les ´ equations de Navier-Stokes qui s’´ ecrivent de la fa¸ con suivante :





 ρ

∂ _t ~ u + (~ u · ∇)~ ~ u

= µ∆~ u − ∇p ~ _r + f ~ _ext , ρ div(~ u) = 0, µ > 0, ρ~ u(0, ·) = ρ~ u 0 , ρ div(~ u 0 ) = 0.

(1.1)

Dans ce syst` eme d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles non lin´ eaires, la fonction vectorielle ~ u : [0, +∞[× R <sup>3</sup> −→ R <sup>3</sup> repr´ esente le champ de vitesse du fluide tandis que la fonction scalaire p r : [0, +∞[× R <sup>3</sup> −→ R repr´ esente sa pression, ces deux fonctions ~ u et p r sont les inconnues, tandis que la constante de densit´ e du fluide ρ > 0 (qui repr´ esente sa masse volumique et qui est constante pour les fluides incompressibles), la constante de viscosit´ e dynamique du fluide µ > 0 (qui caract´ erise la r´ esistance ` a l’´ ecoulement d’un fluide incompressible), la fonction vec- torielle f ~ ext : [0, +∞[× R ³ −→ R ³ (qui correspond ` a l’ensemble des forces ext´ erieures agissant sur le fluide) et la fonction vectorielle ~ u <sub>0</sub> : R <sup>3</sup> −→ R <sup>3</sup> (qui repr´ esente la donn´ ee initiale) sont les donn´ ees du probl` eme. L’´ equation ρ div(~ u 0 ) = 0 et ρ div(~ u) = 0 repr´ esente la condition d’incom- pressibilit´ e du fluide au cours du temps.

7

Observons maintenant que comme nous avons suppos´ e que le fluide est de densit´ e constante alors nous pouvons diviser les ´ equations ci-dessus par la constante de densit´ e ρ > 0 et en

´ ecrivant maintenant la force f ~ = ^{f ~}

^ext

_ρ , qui correspond ` a la densit´ e massique des forces agissant sur le fluide ; la pression cin´ etique p = ^p _ρ

^r

et la constante de viscosit´ e cin´ etique du fluide ν = ^µ _ρ , qui est le quotient entre la viscosit´ e dynamique et la masse volumique et qui repr´ esente la capa- cit´ e de coh´ esion entre les particules du fluide ; nous obtenons ainsi le syst` eme de Navier-Stokes avec lequel l’on travaillera tout au long de cette th` ese :







∂ _t ~ u = ν∆~ u − (~ u · ∇)~ ~ u − ∇p ~ + f , ~ div(~ u) = 0, ν > 0,

~

u(0, ·) = ~ u ₀ , div(~ u ₀ ) = 0.

(1.2) A ce stade, il convient de pr´ ` eciser que nous avons tout d’abord pr´ esent´ e le syst` eme de Navier- Stokes (1.1) car dans la Section 1.1.1 nous aurons besoin de revenir ` a ce syst` eme pour introduire quelques quantit´ es physiques associ´ ees ` a ces ´ equations. N´ eanmoins, la densit´ e ρ > 0 ´ etant tou- jours constante nous avons alors que les ´ equations (1.1) sont ´ equivalentes aux ´ equations (1.2) et donc nous continuerons notre expos´ e en consid´ erant ces derni` eres ´ equations.

L’existence des solutions faibles globales en temps du probl` eme de Cauchy (1.2) est un r´ esultat classique qui a ´ et´ e d´ evelopp´ e par J. Leray en 1934 [51] : pour ~ u 0 ∈ L <sup>2</sup> ( R <sup>3</sup> ) une donn´ ee initiale et f ~ ∈ L <sup>2</sup> ([0, +∞[, H ˙ <sup>−1</sup> ( R <sup>3</sup> )) une force ext´ erieure, les solutions faibles (~ u, p) du probl` eme (1.2) v´ erifient :

~

u ∈ L ^∞ ([0, +∞[, L ² ( R ³ )) ∩ L ² ([0, +∞[, H ˙ ¹ ( R ³ )), p ∈ L ² ([0, +∞[, H ˙ ⁻

¹²

( R ³ )),

et de plus elles v´ erifient certaines propri´ et´ es fondamentales comme par exemple l’in´ egalit´ e d’´ energie : pour tout T > 0, on a

k~ u(T, ·)k ² _L

2

+ 2ν Z T

0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt ≤ k~ u 0 k ² _L

2

+ 2 Z T

0

Z

R

³

f ~ (t, x) · ~ u(t, x) dxdt, cette in´ egalit´ e sera un outil qui sera largement utilis´ e par la suite.

Pour ´ etudier la loi de dissipation d’´ energie de Kolmogorov dans le mod` ele d´ eterministe des

´ equations de Navier-Stokes, nous allons consid´ erer les solutions faibles de Leray de ces ´ equations car, comme nous expliquerons plus en d´ etail dans la Section 1.1.1 ci-dessous, nous aurons besoin de travailler avec des solutions globales en temps.

Une fois que nous avons introduit rapidement les ´ equations de Navier-Stokes, nous nous concen- trons maintenant sur la loi de dissipation d’´ energie propos´ ee par la th´ eorie K41 et pour ´ enoncer cette loi, tout d’abord, nous avons besoin de faire une courte introduction sur l’id´ ee ph´ enom´ enolo- gique sous-jacente.

Le but de la th´ eorie K41 est de d´ ecrire le comportement du champ de vitesse ~ u(t, x) dans

un certain intervalle de temps t et aux ´ echelles de longueur ` = |x| o` u le fluide se trouve dans

un ´ etat de turbulence pleine. Indiquons rapidement que les diff´ erentes ´ echelles de longueur qui

interviennent dans l’´ etude de la turbulence seront expliqu´ ees par le biais du mod` ele de cascade

d’´ energie et nous y reviendrons plus tard.

Maintenant il convient de faire une discussion importante sur l’intervalle du temps o` u l’on s’attend ` a ´ etudier la turbulence.

A partir d’une donn´ ` ee initiale ~ u 0 ∈ L <sup>2</sup> (R <sup>3</sup> ) qui repr´ esente le champs de vitesse ` a l’instant t = 0 et d’une force f ~ ∈ L ² ([0, +∞[, H ˙ ⁻¹ ) nous nous int´ eressons ` a ´ etudier l’´ evolution du fluide au cours du temps au moyen de son champ de vitesse ~ u(t, ·) qui est une solution de Leray des

´

equations de Navier-Stokes. Nous allons supposer que la force f ~ agit suffisamment fort sur le fluide de sorte qu’` a partir d’un certain temps t 1 > 0 le fluide est en ´ etat de turbulence pleine.

De plus, si nous supposons que cette force v´ erifie f ~ ∈ L ² ([0, +∞[, L ² ( R ³ )) alors on sait que la solution de Leray v´ erifie lim

t−→+∞ k~ u(t, ·)k _L

2

= 0 (voir le livre [46], Corollaire 12, 1 page 357 pour une preuve de ce r´ esultat) et alors nous observons qu’` a partir d’un certain temps t ₂ > t ₁ le fluide quitte son ´ etat de turbulence pleine ; et donc nous sommes cens´ es ´ etudier la turbulence dans l’intervalle de temps ]t 1 , t 2 [.

N´ eanmoins, il n’est pas totalement trivial de donner une estimation pr´ ecise de cet intervalle et dans l’´ etat actuel de nos connaissances cette question n’a pas de r´ eponse satisfaisante, que ce soit du point de vue math´ ematique ou du point de vue physique (voir les articles [25] et [73]).

Nous pouvons alors remarquer que l’´ etude d´ eterministe de la turbulence dans le cadre d’une force ext´ erieure qui d´ epend de la variable temporelle est un probl` eme tr` es compliqu´ e car nous sommes oblig´ es de trouver un certain intervalle ]t ₁ , t ₂ [ o` u l’on puisse assurer que le fluide est en turbulence pleine. Ce probl` eme ne sera donc pas consid´ er´ e ici et de cette fa¸ con nous consid´ erons dor´ enavant f ~ une force ext´ erieure stationnaire.

Cette condition d’une force stationnaire pour l’´ etude d´ eterministe de la turbulence est large- ment consid´ er´ ee dans la litt´ erature (voir par exemple l’article [14] de S. Childress, les notes du cours [16] de P. Constantin, les articles [22, 24, 23] de F. Foias, R. Temam et al., ainsi que le livre [26] de ces derniers auteurs) et se base sur l’id´ ee suivante : comme f ~ est une fonction qui ne d´ epend que de la variable d’espace alors cette force agit sur le fluide de fa¸con ind´ ependante du temps et donc une fois que le fluide est en r´ egime turbulent nous pouvons supposer que ce fluide restera dans ce r´ egime turbulent au cours du temps. Dans le monde r´ eel nous pouvons observer aussi des fluides qui sont constamment en ´ etat turbulent : si l’on regarde, par exemple, une cascade d’eau de grande hauteur alors on observe que l’eau qui tombe par cette cascade est toujours en ´ etat turbulent.

Ainsi, la force f ~ ´ etant une fonction stationnaire nous allons alors faire une ´ etude d´ eterministe de la th´ eorie K41 dans le r´ egime asymptotique lorsque le temps tend vers l’infini et ce r´ egime asymptotique sera caract´ eris´ e par des moyennes en temps long sur le champ de vitesse du fluide

~

u (voir la D´ efinition 1.1.3, page 17 pour une d´ efinition pr´ ecise). Ce r´ egime en temps long nous permettra donc d’´ etudier la th´ eorie K41 en prenant en compte seulement les diff´ erentes ´ echelles de longueur o` u le fluide se trouve en ´ etat turbulent.

Expliquons maintenant comment la turbulence peut ˆ etre visualis´ ee lorsqu’on regarde ces ´ echelles

de longueur. Cette th´ eorie se base sur le mod` ele de cascade d’´ energie, introduite par L. F. Ri-

chardson en 1922 dans son livre [65] et formalis´ ee par A.N. Kolmogorov dans son article [41] en

1941, qui postule que si l’´ energie cin´ etique est introduite dans le fluide par l’action d’une force

ext´ erieure f ~ , alors, dans un r´ egime turbulent le m´ ecanisme de dissipation d’´ energie sous forme

de chaleur (dˆ u aux forces de viscosit´ e du fluide) n’est pas effectif et l’action de l’´ energie cin´ etique

est expliqu´ ee par une “cascade d’´ energie”.

Cette cascade d’´ energie explique tout simplement que les grands tourbillons se cassent en des tourbillons plus petits. Soyons un peu plus pr´ ecis : si la force ext´ erieure agit (ou se fait ressentir)

`

a une ´ echelle ` 0 > 0, ´ echelle qui sera nomm´ ee “l’´ echelle d’injection d’´ energie” et si ε 0 > 0 est le taux d’injection d’´ energie (qui provient de divers facteurs) ` a l’´ echelle ` <sub>0</sub> , alors l’´ energie cin´ etique, introduite ` a cette ´ echelle ` 0 au taux ε 0 > 0, est transf´ er´ ee aux ´ echelles de longueur plus petites

` > 0 (avec ` 0 >> `) ` a un certain taux ε _T > 0.

Ainsi, cette cascade d’´ energie continue jusqu’` a l’´ echelle de longueur ` D , nomm´ ee l’´ echelle de dissipation de Kolmogorov (voir l’expression (1.4) pour une d´ efinition plus pr´ ecise) et ` a cette

´ echelle l’´ energie cin´ etique provenant de l’´ echelle de longueur sup´ erieure ` (avec ` _D < ` << ` ₀ ) est finalement dissip´ ee sous forme de chaleur (au taux ε D > 0) par l’action directe des forces de viscosit´ e du fluide.

Cette cascade d’´ energie a lieu pour les ´ echelles de longueur ` qui appartiennent ` a l’intervalle ]` D , ` 0 [, nomm´ e l’intervalle d’inertie, et pour faire une exposition plus compl` ete du mod` ele cascade d’´ energie nous nous concentrons sur les ´ echelles ` <sub>0</sub> et ` _D qui d´ efinissent cet intervalle d’inertie.

Nous avons d´ ej` a mentionn´ e que l’´ echelle d’injection d’´ energie ` ₀ > 0 est l’´ echelle de longueur

`

a laquelle la force ext´ erieure f ~ introduit l’´ energie cin´ etique dans le fluide. On peut penser, par exemple, ` a un agitateur de taille ` 0 qui en agitant un fluide visqueux et incompressible lui com- munique constamment de l’´ energie cin´ etique. Cette ´ echelle ` <sub>0</sub> est un param` etre du mod` ele qui sera donc fix´ e par la force f ~ .

Une fois que l’´ energie est inject´ ee ` a l’´ echelle ` ₀ , cette ´ energie est transf´ er´ ee par les forces d’iner- tie du fluide vers des ´ echelles de plus en plus petites et ce processus s’arrˆ ete lorsqu’on arrive ` a l’´ echelle ` D qui est suffisamment petite (` D << ` 0 ) pour que l’´ energie y soit dissip´ ee sous forme de chaleur. Dans sa th´ eorie K41, Kolmogorov introduit l’id´ ee que cette ´ echelle ` <sub>D</sub> ne d´ epend que du taux de dissipation d’´ energie ε <sub>D</sub> et de la constante de viscosit´ e du fluide ν et Kolmogorov sugg` ere de d´ efinir l’´ echelle de dissipation d’´ energie par la relation

` _D = (ε _D ) ^α ν ^β , (1.3)

o` u l’on cherche a d´ eterminer les exposants α, β ∈ R qui ne d´ ependent pas du fluide (voir les articles [41], [42] et [43] ou le livre [53] pour une discussion ` a ce sujet et pour plus de d´ etails).

De cette fa¸ con, pour d´ eterminer les exposants α, β ci-dessus, Kolmogorov r´ ealise une analyse

des dimensions physiques : en effet, observons tout d’abord que le taux de dissipation ε _D a une

dimension physique ^longueur _temps

3²

. En effet, si U > 0 est la vitesse “caract´ eristique” du fluide, qui

repr´ esente la vitesse moyenne du mouvement (voir la D´ efinition 1.1.3, page 17), nous savons que

la quantit´ e U ² est la quantit´ e moyenne d’´ energie cin´ etique du fluide (voir les livres [37] et [53])

et comme la vitesse caract´ eristique U a une une dimension physique ^longueur _temps alors la quantit´ e

moyenne d’´ energie U ² a une dimension physique ^longueur _temps

2²

. Ensuite, ´ etant donn´ e que le taux de

dissipation d’´ energie ε D mesure la variation de l’´ energie cin´ etique par rapport au temps (voir

toujours les livres [37] et [53]) nous savons que ε _D a une dimension physique ^{´ energie} _temps et comme

l’´ energie est mesur´ ee en ^longueur _temps

2²

nous obtenons ainsi que ε _D a une dimension ^longueur _temps

3²

. D’autre

part la constante de viscosit´ e ν caract´ erise la r´ esistance du milieu ` a un ´ ecoulement ´ ecoulement uniforme et cette constante a une dimension physique ^longueur _temps

²

(voir le livre [53] pour plus de d´ etails).

Ainsi, le terme ` a droite de (1.3) a une dimension physique ^longueur _temps

3α+β^2α+2β

, mais, comme ce terme doit avoir une dimension de longueur alors il faut que l’on ait les identit´ es 2α + 2β = 1 et 3α + β = 0 d’o` u nous avons α = − <sup>1</sup> <sub>4</sub> et β = <sup>3</sup> <sub>4</sub> . De cette fa¸ con, en rempla¸ cant ces valeurs de α et β dans (1.3), Kolmogorov a obtenu que l’´ echelle de dissipation ` D est donn´ ee par

` _D = ν ³

ε D

¹₄

. (1.4)

Nous observons que cette ´ echelle n’est pas un param` etre du mod` ele (contrairement ` a l’´ echelle d’injection d’´ energie ` ₀ ) car ` _D d´ epend de la quantit´ e ε _D qui elle mˆ eme d´ epend finalement de la solution ~ u des ´ equations (1.2) (voir toujours la D´ efinition 1.1.3).

Une fois que nous avons introduit le mod` ele de cascade d’´ energie qui est valable dans l’intervalle ]` D , ` 0 [ nous pouvons maintenant pr´ esenter la loi de dissipation d’´ energie de Kolmogorov dont le domaine de validit´ e est donn´ e par ce mˆ eme intervalle. Ainsi, conform´ ement au mod` ele de cascade d’´ energie, nous savons que l’´ energie cin´ etique introduite dans le fluide ` a l’´ echelle ` ₀ est transf´ er´ ee ` a un taux ε T > 0 par les forces inertielles du fluide jusqu’` a l’´ echelle ` D .

Le but de la loi de dissipation d’´ energie est de donner une expression quantitative du taux ε D > 0 auquel cette ´ energie cin´ etique est alors dissip´ ee par les force visqueuses.

Pour cela, tout d’abord, nous avons besoin de caract´ eriser l’´ etat turbulent de ce fluide et nous allons introduire rapidement les nombres de Reynolds (voir la page 17, pour une exposition plus compl` ete sur ces nombres). Pour U > 0 la vitesse caract´ eristique du fluide, ν > 0 sa constante de viscosit´ e et ` ₀ > 0 l’´ echelle d’injection d’´ energie, le nombre de Reynolds Re peut ˆ etre d´ efini par la relation

Re = U ` 0

ν , (1.5)

et ce nombre mesure l’importance relative des forces inertielles qui transf` erent l’´ energie cin´ etique (repr´ esent´ ees par le num´ erateur U ` 0 ) sur les forces visqueuses qui dissipent cette ´ energie (qui sont repr´ esent´ ees par le d´ enominateur ν). Ainsi, l’´ etat turbulent du fluide est caract´ eris´ e lorsque

Re >> 1,

ce qui repr´ esente le fait que les forces inertielles sont beaucoup plus fortes que les effets visqueux et alors la cascade d’´ energie d´ ecrite ci-dessus a lieu.

Dans ce r´ egime turbulent des grandes valeurs du nombre de Reynolds, on peut observer de fa¸con exp´ erimentale (voir par exemple les exp´ eriences physiques [34] et [71]) que le taux d’injec- tion d’´ energie ε ₀ > 0 ` a l’´ echelle ` ₀ est du mˆ eme ordre de grandeur que le taux de transfert ε _T et est aussi du mˆ eme ordre de grandeur que le taux de dissipation d’´ energie ε D > 0 ` a l’´ echelle

` D , c’est ` a dire, nous avons

ε ₀ ≈ ε _T ≈ ε _D ,

et alors, comme on veut donner une expression quantitative de ε D , grˆ ace ` a cette estimation ¹ il est ´ equivalent de donner une expression quantitative de ε ₀ .

Ainsi, pour estimer ε 0 Kolmogorov consid` ere les trois param` etres physiques suivants : l’´ echelle d’injection d’´ energie ` 0 > 0, la vitesse caract´ eristique du fluide U > 0 et la constante de viscosit´ e du fluide ν > 0.

Etant donn´ ´ e qu’on se trouve dans le r´ egime turbulent caract´ eris´ e par Re >> 1, alors les forces visqueuses du fluide sont n´ egligeables par rapport aux forces inertielles, ce qui am` ene Kolmogo- rov ` a faire l’hypoth` ese suivante : le taux d’injection d’´ energie ε 0 est ind´ ependant de la constante de viscosit´ e ν.

En supposant cette hypoth` ese, Kolmogorov introduit l’id´ ee que le taux ε 0 doit alors s’exprimer seulement en fonction des param` etres U et ` 0 , ce qui l’am` ene ` a ´ ecrire l’estimation ε 0 ≈ U <sup>a</sup> ` ^b ₀ . Pour d´ eterminer les exposants a, b ∈ R , en proc´ edant par une analyse des dimensions physiques de la mˆ eme fa¸ con que l’on a fait pour obtenir l’´ echelle ` D donn´ ee dans (1.4) on obtient ε 0 ≈ U ³

` 0

. De cette fa¸ con, comme on a (exp´ erimentalement) ε ₀ ≈ ε _D , on obtient alors l’estimation du taux de dissipation d’´ energie ε _D ≈ ^U _`

³

0

.

Finalement, pour simplifier la notation, nous allons ´ ecrire dor´ enavant le taux de dissipation d’´ energie ε _D comme ε et ainsi nous ´ enon¸ cons la loi de dissipation de Kolmogorov pour des fluides en ´ etat turbulent :

si Re >> 1 alors ε ≈ U ³

` ₀ . (1.6)

Nous rappelons que notre but est l’´ etude d´ eterministe de cette loi de dissipation de Kolmogorov (1.6) pour un fluide visqueux et incompressible mod´ elis´ e math´ ematiquement par les ´ equations de Navier-Stokes (1.2) dans l’espace R ³ tout entier.

N´ eanmoins, pour mieux comprendre les enjeux de cette th´ eorie, dans la section qui suit nous ana- lyserons le cadre d’un fluide p´ eriodique en variable d’espace. Le passage par un cadre p´ eriodique nous permettra, tout d’abord, de faire une courte introduction de l’´ etat actuel des connaissances sur l’´ etude de la loi (1.6) et ensuite de mettre en perspective quelques difficult´ es lorsqu’on consid` ere un fluide non p´ eriodique dans tout l’espace R <sup>3</sup> comme nous le verrons ` a la fin de cette introduction.

1. Il convient de pr´ eciser la notation “ ≈ ”. Pour a, b ∈ R nous dirons que le nombre a est du mˆ eme ordre de

grandeur que le nombre b s’il existent deux constates c

1

, c

2

> 0, qui ne d´ ependent d’aucun param` etre physique

telles que c

1

a ≤ b ≤ c

2

b. Lorsque les nombres a et b sont du mˆ eme ordre de grandeur nous ´ ecrirons a ≈ b.

1.1.1 Le cadre d’un fluide p´ eriodique

Nous consid´ erons donc une longueur L > 0 (qui sera la p´ eriode) et les ´ equations de Navier- Stokes p´ eriodiques sur le cube [0, L] ³ ⊂ R ³ :







∂ t ~ u = ν ∆~ u − (~ u · ∇)~ ~ u − ∇p ~ + f , ~ div(~ u) = 0, ν > 0,

~

u(0, ·) = ~ u 0 ,

(1.7) o` u le champ de vitesse ~ u : [0, +∞[×[0, L] <sup>3</sup> −→ R <sup>3</sup> , la pression p : [0, +∞[×[0, L] <sup>3</sup> −→ R sont toujours les inconnues, ~ u 0 ∈ L <sup>2</sup> ([0, L] <sup>3</sup> ) est la donn´ ee initiale, p´ eriodique et ` a divergence nulle et finalement nous consid´ erons une force ext´ erieure f ~ ∈ L ² ([0, L] ³ ) ∩ H ˙ ⁻¹ ([0, L] ³ ) p´ eriodique, ` a divergence nulle et stationnaire, c’est ` a dire, nous avons f ~ (t, x) = f ~ (x).

Ainsi, pour une force f ~ ∈ L ² ([0, L] ³ ) ∩ H ˙ ⁻¹ ([0, L] ³ ) et une donn´ ee initiale ~ u ₀ ∈ L ² ([0, L] ³ ) telles que

Z

[0,L]

³

f ~ (x)dx = Z

[0,L]

³

~

u ₀ (x)dx = 0, (1.8)

nous consid´ erons les solutions de Leray (globales en temps) des ´ equations p´ eriodiques (1.7) :

~

u ∈ L ^∞ ([0, +∞[, L ² ([0, L] ³ ) ∩ L ² _loc ([0, +∞[, H ˙ ¹ ([0, L] ³ )),

o` u la condition (1.8) nous permet de construire des solutions ~ u qui satisfont, pour tout temps t > 0,

Z

[0,L]

³

~

u(t, x)dx = 0, (1.9)

et de cette propri´ et´ e de moment nul nous pouvons en tirer l’in´ egalit´ e de Poincar´ e : pour c _L > 0 une constante qui d´ epend de la p´ eriode L on a l’estimation

k~ u(t, ·)k ² _L

2

≤ L

2π k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

, (1.10) qui nous sera fondamentale par la suite (voir les livres [6] et [26] pour une preuve de cette in´ egalit´ e).

Ces solutions ~ u v´ erifient en plus les propri´ et´ es suivantes :

(i) pour tout temps t > 0, ~ u(t, x) est p´ eriodique sur le cube [0, L] ³ , (ii) pour tout temps t > 0, on a l’in´ egalit´ e d’´ energie

d

dt k~ u(t, ·)k ² _L

2

+ 2νk ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

≤ 2 Z

[0,L]

³

f ~ (x) · ~ u(t, x) dx, (1.11) Pour l’existence de ces solutions voir les livres [17] et [26] de C. Foias et al., le m´ emoire [51] de J. Leray ainsi que le livre [70] de R. Temam et al.

Finalement, observons que ces solutions appartiennent ` a l’espace L <sup>∞</sup> <sub>t</sub> L <sup>2</sup> <sub>x</sub> ∩ (L <sup>2</sup> <sub>t</sub> ) <sub>loc</sub> H ˙ <sub>x</sub> <sup>1</sup> o` u nous re-

marquons que le fait que ces solutions soient globalement born´ ees en temps provient de l’in´ egalit´ e

d’´ energie ci-dessus et de l’in´ egalit´ e de Poincar´ e (1.10), tandis que, le fait que ces solutions

soient localement carr´ e int´ egrables en temps (~ u ∈ (L ² _t ) _loc H ˙ _x ¹ ) provient de l’hypoth` ese d’une force

ext´ erieure stationnaire.

1) Des quantit´ es physiques associ´ ees au fluide

Maintenant, en suivant les articles [22], [25] et le livre [26] de F. Foias, R. Temam et al., (voir aussi les articles [44], [60]) nous allons introduire certaines quantit´ es physiques qui sont n´ ecessaires pour l’´ etude d´ eterministe de la loi de dissipation de Kolmogorov (1.6) dans ce cadre p´ eriodique.

A) La longueur caract´ eristique du fluide et l’´ echelle d’injection d’´ energie.

En m´ ecanique des fluides, la longueur caract´ eristique du fluide L > 0 est la taille de l’´ ecoulement consid´ er´ e o` u nous allons ´ etudier son comportement turbulent. Par exemple, si nous consid´ erons un fluide dans un tuyau de diam` etre L > 0, alors la longueur ca- ract´ eristique de ce fluide correspond naturellement au diam` etre L.

Lorsqu’on consid` ere un mod` ele plus artificiel d’un cadre p´ eriodique sur le cube [0, L] ³ ⊂ R ³ nous avons aussi une d´ efinition naturelle de la longueur caract´ eristique du fluide : D´ efinition 1.1.1 (Longueur caract´ eristique) Dans le cadre p´ eriodique nous d´ efinissons la longueur caract´ eristique comme la p´ eriode L > 0.

Dans ce cadre p´ eriodique nous voulons ´ etudier le comportement turbulent d’un fluide dans un cube [0, L] ³ et en revenant au mod` ele de cascade d’´ energie nous savons que pour obtenir un comportement turbulent il faut qu’une force ext´ erieure f ~ agite ce fluide.

L’action de la force sur le fluide est effectu´ ee ` a une ´ echelle de longueur ` ₀ > 0 et nous avons

D´ efinition 1.1.2 ( ´ Echelle d’injection d’´ energie) Nous d´ efinissons l’´ echelle d’injec- tion d’´ energie ` <sub>0</sub> > 0 comme l’´ echelle de longueur ` a laquelle la force f ~ agit sur le fluide.

Comme nous avons d´ ej` a mentionn´ e dans l’introduction nous pouvons penser, par exemple,

`

a un agitateur de taille ` 0 qui communique constamment de l’´ energie cin´ etique au fluide.

Une fois que nous avons d´ efini l’´ echelle d’injection d’´ energie nous voulons donc savoir quelle est la relation entre cette ´ echelle et la longueur caract´ eristique L donn´ ee dans la D´ efinition 1.1.1. Ainsi, ´ etant donn´ e que le fluide se trouve dans un cube [0, L] ³ alors il est naturel de supposer que la force f ~ agit sur le fluide ` a l’int´ erieur de ce cube, ce qui nous am` ene ` a supposer que

` ₀ ≤ L. (1.12)

B) La vitesse caract´ eristique U et le taux de dissipation d’´ energie ε.

L’objectif ici est de donner une d´ efinition rigoureuse des quantit´ es U , qui correspond

`

a la vitesse caract´ eristique du fluide, et ε qui est le taux de dissipation d’´ energie. Ainsi, pour ~ u ∈ L ^∞ _t L ² _x ∩ (L ² _t ) _loc H ˙ _x ¹ une solution des ´ equations (1.7) et L > 0 la longueur ca- ract´ eristique du fluide donn´ ee par la D´ efinition 1.1.1, nous d´ efinissons les quantit´ es

1

L ³ k~ u(t, ·)k ² _L

2

, (1.13)

et ν

L ³ k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

, (1.14)

qui correspondent ` a l’´ energie cin´ etique du fluide et au taux de dissipation d’´ energie ` a l’instant t > 0 respectivement. En effet, si nous supposons pour l’instant que la solution

~

u ci-dessus est assez r´ eguli` ere, de sorte que l’in´ egalit´ e d’´ energie (1.11) devient une ´ egalit´ e (voir le livre [6]), et si nous consid´ erons pour simplifier une force nulle, alors, nous pouvons

´ ecrire l’identit´ e

d dt

1

L ³ k~ u(t, ·)k ² _L

2

= − ν

L ³ k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

,

ce qui justifie le nom de “taux de dissipation d’´ energie” pour la quantit´ e _L ^ν

3

k ∇⊗~ ~ u(t, ·)k ² _L

₂

. Nous observons maintenant que les quantit´ es associ´ ees au champ de vitesse, donn´ ees par les formules (1.13) et (1.14) ci-dessus d´ ependent de chaque instant du temps t > 0 et dans des exp´ eriences physiques ces quantit´ es fluctuent fortement (voir les articles [34, 71, 74]). N´ eanmoins, d’apr` es la th´ eorie K41 les moyennes en temps de ces quantit´ es sont cens´ ees pr´ esenter un comportement universel et afin de capturer ce comportement nous consid´ erons les moyennes en temps de la fa¸ con suivante : tout d’abord pour un temps T > 0, dans les expressions (1.15) et (1.16) ci-dessus nous consid´ erons ses moyennes sur l’intervalle de temps [0, T ] :

1 T

Z T 0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt L ³ , et

1 T

Z T 0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt L ³ .

Ensuite, rappelons que nous consid´ erons f ~ une force ext´ erieure stationnaire, alors f ~ agit sur le fluide en introduisant l’´ energie cin´ etique ind´ ependamment du temps et donc, une fois que le fluide est en r´ egime turbulent nous allons supposer qu’il restera dans cet ´ etat au cours du temps. Pour cette raison, nous allons ´ etudier le comportement des quantit´ es ci-dessus dans le r´ egime asymptotique lorsque T −→ +∞ et nous consid´ erons ainsi les moyennes en temps suivantes :

U ² = lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

L ³ , (1.15)

et

ε = ν lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

L ³ , (1.16)

o` u U ² sera l’´ energie cin´ etique moyenne du fluide et ε est le taux moyen de dissipation ( ou plus simplement le taux de dissipation.

Cette moyenne en temps, lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

(·)dt, ´ egalement appel´ ee moyenne en temps long, est tr` es utilis´ ee dans la litt´ erature pour l’´ etude d´ eterministe de la turbulence (voir les articles [22], [25] [44], [60] et le livre [26]).

Remarque 1.1 Observons que comme nous allons consid´ erer cette moyenne en temps

long alors nous avons besoin de consid´ erer des solutions de Leray des ´ equations (1.7) qui

sont globales en temps.

Il est n´ ecessaire maintenant de justifier rigoureusement que les quantit´ es (1.15) et (1.16) ont bien un sens math´ ematique, c’est ` a dire, pour ~ u une solution de Leray quelconque des ´ equations (1.7), nous voulons nous assurer que l’on a bien U ² < +∞ et ε < +∞.

Nous avons donc la proposition suivante.

Proposition 1.1.1 Soit la p´ eriode L > 0, soient f ~ ∈ L ² ([0, L] ³ ) ∩ H ˙ ⁻¹ ([0, L] ³ ) une force donn´ ee et ~ u ₀ ∈ L ² ([0, L] ³ ) une donn´ ee initiale. Soit ~ u ∈ L ^∞ ([0, +∞[, L ² ([0, L] ³ ) ∩ L ² _loc ([0, +∞[, H ˙ ¹ ([0, L] ³ )) une solution de Leray des ´ equations (1.7) associ´ ee aux donn´ ees (~ u ₀ , ~ f ). Alors :

1) U ² = lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

L ³ < +∞ et 2) ε = ν lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

L ³ < +∞.

Preuve.

1) Soit T > 0. Dans l’in´ egalit´ e l’in´ egalit´ e d’´ energie (1.11) nous prenons l’int´ egrale sur l’intervalle de temps [0, T ] et nous obtenons

k~ u(t, ·)k ² _L

2

+ 2ν Z T

0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt ≤ k~ u 0 k ² _L

2

+ 2 Z T

0

Z

[0,L]

³

f ~ (x) · ~ u(t, x)dxdt, d’o` u, comme k~ u(t, ·)k ² _L

₂

est une quantit´ e positive nous pouvons ´ ecrire

2ν Z T

0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt ≤ k~ u 0 k ² _L

2

+ 2 Z T

0

Z

[0,L]

³

f ~ (x) · ~ u(t, x)dxdt, (1.17) et nous allons maintenant ´ etudier le terme 2ν R T

0 k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt. Par l’in´ egalit´ e de Poincar´ e (1.10) nous ´ ecrivons 1

L k~ u(t, ·)k ² _L

2

≤ k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

, d’o` u en int´ egrant en temps et en multipliant par 2ν nous avons la minoration

2ν L

Z T 0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt ≤ 2ν Z T

0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt.

Ainsi, en rempla¸cant cette minoration dans le terme ` a gauche de l’estimation (1.17) nous pouvons ´ ecrire

2ν L

Z T 0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt ≤ k~ u ₀ k ² _L

2

+ 2 Z T

0

Z

[0,L]

³

f ~ (x) · ~ u(t, x)dxdt.

Ensuite, nous divisons chaque terme de cette estimation par T , puis nous appliquons l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz et les in´ egalit´ es de Young dans le deuxi` eme terme ` a droite ci-dessus et nous obtenons alors

2ν L

1 T

Z T 0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt ≤ 1

T k~ u 0 k ² _L

2

+ 2 T

Z T 0

Z

[0,L]

³

f ~ (x) · ~ u(t, x) dxdt

≤ 1

T k~ u ₀ k ² _L

2

+ L

ν k f ~ k ² _L

2

+ ν L

1 T

Z _T

0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt.

Nous prenons maintenant la limite lim sup

T −→+∞

et nous avons l’estimation u ² = lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt ≤ L ²

ν ² k f ~ k ² _L

2

. (1.18)

Finalement, nous divisons chaque terme de cette estimation par L ³ pour r´ ecup´ erer ainsi la vitesse caract´ eristique U ² et nous avons U ² ≤ _L ^{1 k f ~ k}

2 L2

ν

²

< +∞.

2) Comme f ~ ∈ L ² ([0, L] ³ )∩ H ˙ ⁻¹ ([0, L] ³ ) et ~ u(t, ·) ∈ L ² ([0, L] ³ )∩ H ˙ ¹ ([0, L] ³ ), par l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz (en variable d’espace) nous ´ ecrivons

2 Z T

0

Z

[0,L]

³

f(x) ~ · ~ u(t, x)dxdt ≤ Z T

0

k f ~ k _{H ˙}

−1

k~ u(t, ·)k _{H ˙}

1

dt,

d’o` u, par les in´ egalit´ es de Young et comme f ~ est une fonction stationnaire nous obtenons

2 Z _T

0

Z

[0,L]

³

f ~ (x) · ~ u(t, x)dxdt ≤ T k fk ~ ² _˙

H

⁻¹

ν + ν Z _T

0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt.

Maintenant, en rempla¸ cant cette in´ egalit´ e dans le deuxi` eme terme ` a droite de (1.17) nous pouvons ´ ecrire

2ν Z T

0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt ≤ k~ u 0 k ² _L

2

+ T k f ~ k ² _˙

H

⁻¹

ν + ν Z T

0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt, d’o` u nous obtenons

ν Z T

0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt ≤ k~ u 0 k ² _L

2

+ T k f ~ k ² _˙

H

⁻¹

ν , et alors en divisant par T L ³ et en prenant la limite lim sup

T −→+∞

nous pouvons ´ ecrire

ε = ν lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

L ³ ≤ k fk ~ ² _˙

H

⁻¹

νL ³ < +∞,

ce qui termine la preuve de la proposition.

Remarque 1.2 Observons que la preuve du point 1) de la Proposition 1.1.1 est bas´ ee sur l’in´ egalit´ e d’´ energie (1.11) v´ erifi´ ee par le champ de vitesse ~ u et sur l’in´ egalit´ e de Poincar´ e (1.10) qui est valable dans ce cadre p´ eriodique. D’autre part, la preuve du point 2) de la Proposition 1.1.1 repose uniquement sur l’in´ egalit´ e d’´ energie (1.11).

Ainsi nous avons

D´ efinition 1.1.3 Dans le cadre de la Proposition 1.1.1 ci-dessus, o` u nous avons montr´ e que les quantit´ es U et ε ci-dessous sont bien d´ efinies, nous d´ efinissons les quantit´ es moyennes :

1) La vitesse caract´ eristique du fluide : U =

lim sup

T −→+∞

1 T

Z _T

0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt L ³

1 2

. 2) Le taux de dissipation d’´ energie : ε = ν lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

L ³ .

C) Les nombres de Reynolds.

Plusieurs nombres sans dimensions permettent de caract´ eriser le comportement de l’´ ecoulement des fluides (voir le livre [6]) et ici nous allons nous int´ eresser au nombre de Reynolds qui caract´ erise le r´ egime laminaire ou turbulent d’un fluide comme nous l’expliquerons dans cette section.

Ainsi, pour introduire le nombre de Reynolds nous avons besoin de consid´ erer les ´ equations de Navier-Stokes (1.1) que nous avons introduit dans l’introduction de ce chapitre :

ρ

∂ t ~ u + (~ u · ∇)~ ~ u

= µ∆~ u − ∇p ~ _r + f ~ ext , ρ div(~ u) = 0,

o` u ρ > 0 est la constante de densit´ e du fluide et µ = ρν est la constante de viscosit´ e dynamique du fluide.

Dans le cadre de ces ´ equations, le nombre de Reynolds a ´ et´ e mis en ´ evidence par Osborne Reynolds dans l’ann´ ee 1883 [53] et mesure le rapport entre l’ordre de grandeur du terme de transport ρ (~ u · ∇)~ ~ u et l’ordre de grandeur du terme de viscosit´ e µ∆~ u. Nous allons voir que le nombre de Reynolds apparaˆıt naturellement dans les ´ equations de Navier-Stokes ci-dessus.

En effet, pour L > 0 la longueur caract´ eristique du fluide dans le sens de la D´ efinition 1.1.1 et U > 0 la vitesse caract´ eristique du fluide donn´ ee par la D´ efinition 1.1.3, nous d´ efinissons les variables et op´ erateurs adimensionnels suivants

u ~ ⁰ = ~ u

U , p ⁰ _r = 1

ρU ² p r , ~ f ⁰ _ext = L ρU ²

f ~ ext , ∂ _t

⁰

= L

U ∂ t , ~ ∇ _x

⁰

= L ~ ∇, (1.19) et alors les ´ equations de Navier-Stokes ci-dessus se r´ e´ ecrivent, apr` es simplification par le facteur ^ρU _L

²

, comme

∂ _t

⁰

u ~ ⁰ + ( u ~ ⁰ · ∇ ~ _x

⁰

) u ~ ⁰ = µ

ρLU ∆ _x

⁰

u ~ ⁰ − ∇ ~ _x

⁰

p ⁰ _r + ρ ~ f ⁰ _ext .

Le nombre de Reynolds Re est alors d´ efini comme l’inverse de la constante qui se trouve devant le terme de viscosit´ e, c’est ` a dire : ρU L

µ , mais comme la constante de viscosit´ e dynamique est d´ efinie par µ = ρν (o` u ν > 0 est la constante de viscosit´ e cin´ etique) nous avons l’identit´ e _µ ^ρ = _ν ¹ et donc nous avons

D´ efinition 1.1.4 Le nombre de Reynolds Re est d´ efini par Re = U L

ν . (1.20)

Ce nombre sert ` a caract´ eriser la nature du r´ egime du mouvement du fluide : laminaire ou turbulent. En effet, le r´ egime laminaire est caract´ eris´ e par les faibles valeurs du nombre Re, o` u les forces visqueuses sont dominantes : deux particules du fluide qui ´ etaient voisines

`

a un instant donn´ e resteront voisines ` a l’instant suivant et les couches du fluide main-

tiennent leur coh´ esion au cours du temps. Par contre, si le fluide est en r´ egime turbulent

alors on s’attend avoir des valeurs ´ elev´ ees du nombre Re (voir les r´ esultats exp´ erimentaux

dans les articles [34], [74] et le livre [53]) ce qui exprime le fait que le fluide est domin´ e par les force d’inertie, qui tendent ` a produire des tourbillons chaotiques et autres insta- bilit´ es : les particules qui ´ etaient voisines ` a un instant donn´ e ne seront plus voisines ` a l’instant suivant. Voir la Figure 1.1.1 ci-dessous pour une image d’une exp´ erience phy- sique des r´ egimes laminaire et turbulent correspondant ` a diff´ erentes valeurs du nombre de Reynolds.

Figure 1.1 – Exp´ erience r´ ealis´ ee par N.H. Johannesen et C. Lowen avec de l’eau color´ ee introduite dans un tube, [72]. Dans cette exp´ erience, pour faire varier le nombre de Reynolds Re =

^{U L}_ν

, o` u la longueur caract´ eristique L correspond au diam` etre du tube et la constate de viscosit´ e de l’eau est fix´ e par ν ≈ 0, 884 × 10

^−6m_s²

, la vitesse caract´ eristique du fluide U est incr´ ement´ ee par un agitateur ext´ erieur.

Une fois que nous avons d´ efinit le nombre de Reynolds Re ci-dessus, il convient de faire les remarques suivantes.

Remarque 1.3

i) La d´ efinition du nombre de Reynolds n’est pas universelle dans le sens qu’elle d´ epend directement des d´ efinitions de la vitesse caract´ eristique du fluide U et de la longueur L. En effet, si dans la formule (1.19) nous consid´ erons une autre d´ efinition de vitesse caract´ eristique U ⁰ et une autre d´ efinition de longueur L ⁰ alors par la formule (1.20) nous obtenons le nombre de Reynolds Re ⁰ donn´ e par Re ⁰ = ^U

⁰

_ν ^L

⁰

.

ii) Dans le cadre du point i) ci-dessus, observons que pour d´ efinir le nombre de Reynolds Re dans (1.20) on a utilis´ e la longueur caract´ eristique L tandis que pour d´ efinir le nombre de Reynolds (1.5) dans l’introduction de ce chapitre, l’´ echelle d’injection d’´ energie ` <sub>0</sub> a ´ et´ e utilis´ ee. Ce choix entre la longueur L ou l’´ echelle ` ₀ n’empˆ eche pas que le r´ egime turbulent soit caract´ eris´ e par des grandes valeurs du nombre de Reynolds car, ´ etant donn´ e que les quantit´ es L, ` 0 et ν sont fixes alors pour obtenir des grandes valeurs du nombre Re c’est la vitesse caract´ eristique U qui doit incr´ ementer.

iii) Comme la vitesse caract´ eristique du fluide U est d´ efinie ` a partir de la solution ~ u des

´

equations (1.7) alors le nombre de Reynolds Re d´ epend de cette solution ~ u et pour

cette raison ce nombre nous fourni une caract´ erisation a posteriori du r´ egime du

fluide, qu’il soit laminaire ou turbulent.

Revenons maintenant ` a la loi de dissipation d’´ energie (1.6) propos´ ee par la th´ eorie K41.

Nous savons que la loi de dissipation d’´ energie (1.6) que nous souhaitons ´ etablir rigou- reusement propose un encadrement du taux de dissipation d’´ energie ε lorsque le fluide est en r´ egime turbulent.

Nous venons de voir ´ egalement que ce r´ egime turbulent est caract´ eris´ e par des grands nombres de Reynolds ; ce qui nous donne alors un cadre de travail assez naturel et nous supposerons souvent que Re >> 1.

2) La loi de dissipation d’´ energie dans le cadre p´ eriodique

Maintenant que nous avons les ingr´ edients n´ ecessaires nous pouvons ´ enoncer la loi de dissi- pation d’´ energie.

Pour ~ u ∈ L ^∞ ([0, +∞[, L ² ([0, L] ³ ))∩L ² _loc ([0, +∞[, H ˙ ¹ ([0, L] ³ )) une solution de Leray des ´ equations de Navier-Stokes p´ eriodiques (1.7) sur le cube [0, L] ³ , on consid` ere la vitesse caract´ eristique U > 0 et le taux de dissipation ε > 0 donn´ ees par la D´ efinition 1.1.3. La longueur caract´ eristique du fluide L est donn´ ee par la D´ efinition 1.1.1 et ainsi avec ces objets nous pouvons consid´ erer le nombre de Reynolds Re = ^{U L} _ν .

Donc, pour une ´ echelle d’injection d’´ energie ` <sub>0</sub> > 0 donn´ ee par la D´ efinition 1.1.2, l’´ etude d´ eterministe de la loi de dissipation de Kolmogorov (1.6) donn´ ee page 12 nous ram` ene ` a ´ etablir l’encadrement du taux de dissipation ε suivant :

si Re >> 1 alors c ₁ U ³

` 0

≤ ε ≤ c ₂ U ³

` 0

, (1.21)

o` u c ₁ > 0, c ₂ > 0 sont des constantes ind´ ependantes du nombre de Reynolds Re.

Pour ce cadre p´ eriodique, lorsqu’on consid` ere une ´ echelle d’injection d’´ energie ` 0 ´ egale ` a la longueur caract´ eristique du fluide L (c’est ` a dire ` ₀ = L) il est alors possible de d´ emontrer la majoration du taux de dissipation

ε ≤ c 2

U ³

L , (1.22)

qui est obtenue dans diff´ erents contextes techniques o` u c ₂ > 0 est une constante convenable qui reste born´ ee mˆ eme dans le r´ egime asymptotique lorsque le nombre de Reynolds est assez grand (voir l’article [14] de S. Childress, les articles [24], [25], [23] et le livre [26] de C. Foias, R. Temam et. al. ainsi que les articles [44] de W. Layton et [73] de F. Vigneron).

D’autre part, dans l’article [22] de C. Foias, on consid` ere un cadre plus g´ en´ eral o` u l’´ echelle d’injection d’´ energie ` <sub>0</sub> n’est pas forc´ ement ´ egale ` a la longueur caract´ eristique du fluide L. En effet, dans cet article la quantit´ e ` <sub>0</sub> > 0 est d´ efinie par ` ₀ = ^L _n , avec n un param` etre entier positif.

De plus, en consid´ erant une force ext´ erieure particuli` ere f ~ , il est encore possible d’obtenir la majoration

ε ≤ c ₂ U ³

` ₀ , (1.23)

avec c 2 > 0 une constante qui ne d´ epend pas des param` etres ν, n et L.

Si nous comparons cette majoration ci-dessus du taux de dissipation d’´ energie ε avec la ma- joration donn´ ee dans (1.22) nous pouvons observer que cette majoration est plus proche de la loi de dissipation d’´ energie (1.21) car elle fait intervenir une ´ echelle d’injection d’´ energie ` ₀ qui n’est pas forc´ ement du mˆ eme ordre que la longueur caract´ eristique du fluide L.

Maintenant, quant ` a la minoration du taux de dissipation c 1

U ³

` 0

≤ ε,

cette estimation reste encore un probl` eme ouvert que l’on sait pas r´ esoudre, mˆ eme dans le cadre p´ eriodique. En effet, les majorations du taux de dissipation d’´ energie (1.22) et (1.23) reposent essentiellement sur l’in´ egalit´ e d’´ energie v´ erifi´ ee par les solutions de Leray des ´ equations de Navier- Stokes, mais, dans l’´ etat actuel de nos connaissances, nous ne savons pas comment utiliser cette in´ egalit´ e d’´ energie pour ´ etudier la minoration du taux de dissipation d’´ energie ci-dessus.

1.1.2 Le cadre non p´ eriodique

Maintenant nous retournons au cadre d’un fluide non p´ eriodique pos´ e dans l’espace R ³ tout entier. Notre mod` ele d´ eterministe pour ´ etudier la loi de dissipation d’´ energie est alors donn´ e par les ´ equations de Navier-Stokes pos´ ees sur l’espace R ³ :







∂ t ~ u = ν ∆~ u − (~ u · ∇)~ ~ u − ∇p ~ + f , ~ div(~ u) = 0, ν > 0,

~

u(0, ·) = ~ u 0 ∈ L ² ( R ³ ), div(~ u 0 ) = 0,

(1.24) o` u, en suivant les id´ ees expos´ ees dans la section pr´ ec´ edente, dans les ´ equations ci-dessus nous consid´ erons une force ext´ erieure, stationnaire et ` a divergence nulle telle que f ~ ∈ L ² ( R ³ ) ∩ H ˙ ⁻¹ ( R ³ ). Ainsi, si on consid` ere les ´ equations ci-dessus nous avons que les solutions de Leray ~ u v´ erifient

~

u ∈ L ^∞ _loc ([0, +∞[, L ² ( R ³ )) ∩ L ² _loc ([0, +∞[, H ˙ ¹ ( R ³ )),

c’est ` a dire, ces solutions sont localement born´ ees temps et localement de carr´ e int´ egrables en temps (voir le livre [46] pour les d´ etails).

Une fois que nous avons rapidement introduit les ´ equations de Navier-Stokes (1.24) sur tout l’espace R ³ , nous voulons maintenant ´ etablir de fa¸ con rigoureuse l’encadrement (1.21) et il est important de souligner qu’il y a tr` es peu de r´ ef´ erences ` a ce sujet. Une id´ ee sugg´ er´ ee dans les notes de cours [16] de P. Constantin est la suivante.

Tout d’abord, on consid` ere ` 0 > 0 une ´ echelle d’injection d’´ energie donn´ ee par la D´ efinition 1.1.2 page 14 et en s’inspirant de la D´ efinition 1.1.3 page 17, pour ~ u une solution de Leray des ´ equations (1.24) on consid` ere la vitesse caract´ eristique U et le taux de dissipation ε par les expressions :

U =

lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

` ³ ₀

1 2

et ε = ν lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

` ³ ₀ . (1.25)

Ainsi, pour ´ etudier l’encadrement du taux de dissipation ε donn´ e dans (1.21) il nous manque un

ingr´ edient et nous avons besoin de d´ efinir une longueur (que ce soit ` 0 comme dans (1.21) o` u L

comme dans (1.22)) et ceci pose un certain nombre de probl` emes.

En effet, rappelons tout d’abord que dans le cadre d’un fluide p´ eriodique sur le cube [0, L] ³ nous avons vu dans la D´ efinition 1.1.1 que la longueur caract´ eristique du fluide est donn´ ee de fa¸con naturelle par la p´ eriode L > 0, mais, comme nous consid´ erons maintenant un fluide pos´ e sur l’espace R ³ tout entier, alors on perd toute notion physique et math´ ematique de cette lon- gueur caract´ eristique et la d´ efinition ad´ equate de cette longueur est une question qui n’est pas

´ evidente ` a r´ epondre.

Dans ce contexte, comme la force ext´ erieure est une donn´ ee du mod` ele d’un fluide non p´ eriodique, toujours dans [16] il est sugg´ er´ e de consid´ erer une longueur caract´ eristique L c en fonction de la force ext´ erieure f ~ de la fa¸ con suivante : tout d’abord, pour l’´ echelle d’injection d’´ energie ` 0 > 0 nous supposons que la transform´ ee de Fourier de la force ext´ erieure f ~ est localis´ e aux fr´ equences

|ξ| ≤ _` ¹

0

. Cette hypoth` ese sur la force ext´ erieure repr´ esente le fait que, selon le mod` ele de cascade d’´ energie, l’´ energie cin´ etique est introduite dans le fluide par la force ext´ erieure f ~ aux ´ echelles de longueur de l’ordre de ` 0 et donc aux fr´ equences de l’ordre de <sub>`</sub> ¹

0

.

Ensuite, nous d´ efinissons la moyenne en norme L ² de la force f ~ par la quantit´ e F = k f ~ k _L

2

`

3 2

0

, (1.26)

et, toujours en suivant [16], la longueur L _c est d´ efinie comme L _c = F

k ∇ ⊗ ~ fk ~ _L

^∞

. (1.27)

La signification physique de la longueur caract´ eristique L c n’est pas totalement claire mais cette longueur apparaˆıt dans les calculs faits dans [16] et de cette fa¸ con, le but de P. Constantin dans ses notes est de montrer que si l’on consid` ere un fluide pos´ e dans tout l’espace R ³ alors, pour le taux de dissipation ε, pour la vitesse caract´ eristique U (donn´ es dans (1.25)) et pour cette longueur caract´ eristique L c ci-dessus, on peut obtenir l’estimation du taux de dissipation suivante :

ε ≤ c U L _c

1 + 1

√

Re + 3 4Re

, (1.28)

o` u nous observons que, dans le r´ egime asymptotique des nombres de Reynolds Re suffisamment grands, on peut alors obtenir l’estimation du taux de dissipation ε ≤ c U ³

L c

ce qui g´ en´ eralise au cadre R ³ l’estimation (1.22), page 20, obtenue dans le cadre p´ eriodique.

N´ eanmoins, l’estimation (1.28) ci-dessus pr´ esente quelques lacunes d’un point de vue math´ ematique et met en ´ evidence quelques contraintes techniques lorsqu’on consid` ere un fluide pos´ e sur tout l’espace R ³ . Dans la section qui suit nous expliquons plus en d´ etail ces contraintes techniques.

1.1.3 Probl` emes dans le cadre non p´ eriodique

1) Une vitesse caract´ eristique potentiellement mal pos´ ee.

La premi` ere contrainte technique relative ` a l’estimation (1.28) porte sur les solutions de Leray

des ´ equations (1.24). En effet, pour une solution de Leray ~ u quelconque nous devons consid´ erer

les quantit´ es moyennes suivantes U =

lim sup

T −→+∞

1 T

Z _T

0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

` ³ ₀

1 2

et ε = ν lim sup

T −→+∞

1 T

Z _T

0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

` <sup>3</sup> <sub>0</sub> , o` u ` 0 > 0 est l’´ echelle d’injection d’´ energie. N´ eanmoins (en toute g´ en´ eralit´ e) nous ne pouvons pas assurer que la vitesse caract´ eristique U ci-dessus est une quantit´ e bien d´ efinie. En effet, nous allons nous concentrer sur la moyenne en temps long qui apparaˆıt dans la vitesse caract´ eristique U :

u =

lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt

¹₂

, (1.29)

o` u nous observons que l’on a l’identit´ e

U = u

`

3 2

0

, (1.30)

et nous allons maintenant observer que cette moyenne en temps long u est potentiellement mal pos´ ee. En effet, si nous ´ ecrivons l’in´ egalit´ e d’´ energie v´ erifi´ ee par la solution ~ u :

k~ u(t, ·)k ² _L

2

+ 2ν Z t

0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(s, ·)k ² _L

2

ds ≤ k~ u ₀ k ² _L

2

+ 2 Z t

0

Z

R

³

f ~ (x) · ~ u(s, x) dxds, (1.31) o` u, pour le dernier terme ` a droite de cette in´ egalit´ e, comme f ~ ∈ H ˙ ⁻¹ ( R ³ ) et ~ u(s, ·) ∈ H ˙ ¹ ( R ³ ), par l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz nous pouvons ´ ecrire

Z

R

³

f ~ (x) · ~ u(s, x) dx ≤ k f ~ k _{H ˙}

−1

k~ u(s, ·)k _{H ˙}

1

≤ ck f ~ k _{H ˙}

−1

k ∇ ⊗ ~ ~ u(s, ·)k _L

2

,

et de plus, comme f ~ est une fonction stationnaire, par les in´ egalit´ es de Young nous avons 2

Z t 0

Z

R

³

f ~ (x) · ~ u(s, x) dxds ≤ ctk f ~ k ² _˙

H

⁻¹

2ν + 2ν

Z t 0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(s, ·)k ² _L

2

ds.

De cette fa¸ con, en rempla¸ cant cette estimation dans l’in´ egalit´ e d’´ energie (1.31) nous obtenons k~ u(t, ·)k ² _L

2

+ 2ν

Z t 0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(s, ·)k ² _L

2

ds ≤ k~ u ₀ k ² _L

2

+ ctk f ~ k ² _˙

H

⁻¹

2ν + 2ν

Z t 0

k ∇ ⊗ ~ ~ u(s, ·)k ² _L

2

ds, d’o` u nous pouvons en tirer le contrˆ ole en temps suivant pour la quantit´ e k~ u(t, ·)k ² _L

₂

:

k~ u(t, ·)k ² _L

2

≤ k~ u 0 k ² _L

2

+ ct 2ν k f ~ k ² _˙

H

⁻¹

, (1.32)

mais, lorsqu’on applique la moyenne en temps long ` a cette in´ egalit´ e nous avons u ² = lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k~ u(t, ·)k ² _L

2

dt ≤ lim sup

T −→+∞

1 T

Z T 0

k~ u ₀ k ² _L

2

+ 1 T

Z T 0

ct 2ν k f ~ k ² _˙

H

⁻¹

dt

≤ lim sup

T −→+∞

"

k~ u ₀ k ² _L

2

+ T k f ~ k ² _˙

H

⁻¹

2ν

#

= +∞, (1.33)

et nous ne connaissons pas un meilleur contrˆ ole en temps du type (1.32) de la quantit´ e k~ u(t, ·)k ² _L

2

pour assurer que l’on a bien u ² < +∞.