ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES ET MODÈLE DE LA TURBULENCE

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ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES ET MODÈLE DE

LA TURBULENCE

Claude Bardos

To cite this version:

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 5 , supplément au n° 8, tome 39, août 1978, page C5-53

ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES ET MODÈLE DE LA TURBULENCE

C. BARDOS

Université Paris-Nord, 93000 Saint-Denis, France

Résumé. — On expose les principaux résultats de régularité sur les équations de Navier-Stokes et

d'Euler ; le problème d'apparition de singularités au bout d'un temps fini en dimension trois et le problème d'existence de solutions faibles pour tout temps sont discutés à partir de la notion de solutions statistiques qui remonte à Kolmogorov.

Abstract. — We give a review of the main regularity results on Navier-Stokes and Euler equations.

Eventual appearance of singularities after finite time in dimension three and existence of weak solutions for any time are discussed via the notion of statistical solutions introduced by Kolmogorov.

On se propose de décrire une série de résultats. Certains sont classiques concernant le mouvement d'un fluide incompressible dans un ouvert Q de IR" (« = 2 ou 3) et de montrer comment s'introduisent les solutions statistiques qui conduisent à l'évaluation de l'indice de Kolmogorov.

On désignera par u = (ul, u2, ..., w„) le champ des

vitesses du fluide. La trajectoire des particules s'obtient en intégrant l'équation différentielle

x'(t) = u(x(t), t) (1) et l'équation du mouvement s'écrit

^ + u.Vu = - Vp -f v Vu , V.u = 0 , u(x, 0) = u0(x)

et

(2) avec la condition aux limites :

u |a o = si v > 0 ou u.n \ea = 0 si v = 0 , (3)

n désignera la normale extérieure à l'ouvert Q. Pour v > 0 l'équation (2) est l'équation de Navier-Stokes et pour v = 0 c'est l'équation d'Euler. On considérera également le modèle très simplifié obtenu en dimen-sion 1

du du d2u . ,.s

-T-+ u—- v -T= 0 (4)

ot dx ex

u est alors un scalaire et l'équation (4) est l'équation de Burger Hopf.

Une quantité qui joue un rôle fondamental dans la théorie est le rotationnel de u, to = V A U qui décrit le tourbillon, pour v = 0 (2) est en général équivalent au système

Sco ,-, ,-, -r—I- u.vco = œ.vu

et

V . K = 0 , V A u = a , u.n \aa = 0 (5)

u(x, 0) = u0(x).

Dans un certain sens a> gouverne explicitement tout le mouvement. En particulier si x(t) et y{t) sont deux trajectoires, on peut décrire la quantité

<p{t)= \x(t) -y(t)\

en fonction de u>. On pose K(t) = sup | œ(x, t) |. On suppose que Q est un ouvert borné simplement connexe alors si a> e L°°(Ï2) on ne peut en général en déduire que le gradient de u (u solution des équations V A u = œ, Vu = 0, u.v \eQ = 0) appartienne à

L°°(£2) et donc que u soit lipschitzienne. Néanmoins on a la relation suivante :

| u(x) - u(y) \£K\x-y\ Log ^ D_ K{t) (6)

où K désigne une constante ne dépendant que Q et où D est le diamètre de l'ouvert Q. On écrit ensuite

£ | É | * ' ( 0 - / < 0 | =

= | u(x(t), t) - u(y(t), t) | ^ K<p(t) Log ^ . K(t). (7) L'inéquation (7) s'intègre explicitement pour donner D ^ exp(tfj |V A «(.,*) I . d j ) ^

Xj |V

A

«J (8)

relation qui lie la dispersion de paire avec la croissance du rotationnel. En dimension 2 a> = V A u s'identifie à un vecteur perpendiculaire au plan (xl,x2) et le

C5-54 C . BAKDOS

terme o. V u est alors identiquement nul. Le rotationnel ralisation particulièrement intéressante au cas de n est donc conservé le long des trajectoires; dans variable d'espace a été donnée par Kruckov [13].

l'inégalité (8) La condition (12) permet en utilisant des arguments de

compacité classique (cf. Lions [18], Ch. 1 ) de passer à la limite dans le terme non linéaire. Cette méthode

K I :

1

v

A u(., S )

1 ,

ds _{fournit la preuve la plus simple de l'existence d'une}

solution pour v = O. L'énergie de la solution :

peut être remplacé par Kt

1

V A uo

1 ,

et cette relation

permet de prouver la régularité pour tout temps de la solution.

Enfin il convient de remarquer que, pour toute

solution u régulière on a l'inégalité d'énergie : est constante pour O t < T*. Ensuite elle décroît

et tend vers zéro pour t -+

+

W . Ceci correspond à la

dissipation d'énergie au travers du choc.

lu(x, t ) 1 2 d x + v [ dX(/* / V u ( x , s ) 12dx) = pour On les espère équations bien entendu d'Euler avoir et de des Navier-Stokes. résultats analogues On est cependant loin du compte, mais en désignant par 52 un ouvert de Rn, il vient

THÉORÈME 2.- Soit uo(.) E Hh(SL) vérifiant la relu-

On posera tion V .uo = O. Alors il existe une fonction uv(. , t ) possédant les propriétés suivantes.

C

(1) uv est solution dans un sens faible de l'équation de Navier-Stokes.

~ ( t ) est borné, dans L1([O,

+

ooQ indépendamment (2) uV vérifie la majoration a priori de D.

Pour l'équation de Burger-Hopf on connaît le

l,

1

_uv(x,

₀

_l2

_dx

₊

théorème suivant :

THÉORÈME 1. - Pour toute donnée initiale rio(.)

₁

V v ( x t )

1

régulière il existe une unique fonction u(t, x ) ( t

2

O, X E R )

appartennnt à l'espace C ( R , : Lm(IW) n BV) (BV est l'espace des fonctions à variations donnkes, solution au sens des distributions

de

l'équation

vérifiant en plus la condition d'entropie.

On pose T* = sup (- dUo/dx). Sur l'ouvert

) O , T* ( x R la fonction u(x, t ) est régulière (aussi régulière que la donnée initiale, éventuellement ana- lytique si la donnée initiale est analytique). Ensuite la solution présente des singularités de première espèce. Cette solution est la limite pour v -+ O de la solution de l'équation

(3) S i uo(.) est assez petit par rapport à v (nombre de Reynold petit) cette fonction est régulière (analytique pour t > O et x E

a).

(4) Si SL = R3, u v ( . , t ) est régulière dans l'ouvert

[O, T*[ x Rn ( T * ne dépend que de la donnée initiale et est indépendant de v). Dans cet ouvert uv(. , .)

converge vers la solution de l'équation d'Euler.

THÉORÈME 3. - (1) II existe une constante C ne dépendant que de l'ouvert 52 possédant la propriété suivante pour toute fonction. uo E C',a(SL) possédant

les propriétés

8% 8% a'% il existe sur l'intervalle [O, ( C

II

uo

II

'[

une unique - + q T - v - = O

,

u,(x,O) = u O ( x ) . ( I l ) fonctiont -+u(.,t)solutiondel'équationd'Euler:

at ax2

au

Enfin on a - + u . V u = _at - p . u ( x , O ) = u o ( x ) ,

J - a

Cette fonction vériJie la majoration a priori :

où ûv(k, t) désigne la transformée de Fourier spatiale

de u,(x, t).

1

( 1

1

a

5

II

O

II

1 , - Ct

II

O

II

I , (14)

É Q U K ~ I O N S DE NAVIEK-SI'OKES ET MODÈLE DE LA TURBULLNCE CS-55

devient infini. De plus si u(x, t) est une fonction, solution de l'équation d'Euler et si pour tout t E [O, T[ le rota-

tionnel V A u appartient a C0."(52) la solution est sur

l'intervalle [O, T [ aussi régulière que les données

initiales, elle est indéfiniment dérivable si les données initiales sont indéjîniment dérivables, elle est analytique si les données initiales sont analytiques.

Commentaires et idées des démonstrations.

-

La démonstration du théorème 2 a été donnée en partie par Leray [17] puis par Kato et Fujita [12] et finalément pour le point B) par Kato [ll]. De même, il existe plusieurs démonstrations des résultats du théorème 3. L'existence des solutions appartenant à des espaces de Holder ou de Sobolev convenables a été donnée la première fois par Lichtenstein [21]. Ensuite il y a un travail très complet de Ebin et Marsden [8]. Dans [8] on utilise cependant soit le fait que l'ouvert est borné, soit le fait que l'énergie totale du fluide à

l'instant initial est finie, ce qui ne semble pas lié au phénomène (cf. Bardos et Frisch 141). On montre cependant qu'il n'y a pas de perte de régularité Cm. L'analyticité a ensuite été étudiée par Bardos, Bena- chour et Zemer [3], Benachour [7j et Benachour et Bardos [6].

Il convient de remarquer que l'espace des fonctions u E C 1.a(S2) vérifiant les relations V. u = O, u .n

I,,

= O peut être muni d'une norme équivalente définie par :

II

V A u

llo,a

si 52 est borné et simplement

connexe

Il

V A u

lo.,+

II

u

Io,,

dans les autres cas

.

(15) Ce sont les expressions figurant dans le second membre de (15) qui sont choisies comme norme dans l'énoncé du théorème 3. En introduisant les trajec- toires du mouvement c'est-à-dire les solutions de l'équation x'(t) = u(x(t), t), I'équation (5) s'écrit :

d

-

o(x(t), t) = ( o . Vu) (x(t), t)

.

dt (16)

Comme l'application o -+ Vu est un opérateur d'ordre zéro cela conduit à comparer l'équation (16) avec une équation de la forme (17) o' = 0 2 , qui explose au temps

Mais l'opérateur o + Vu n'est pas local, même lorsque l'ouvert S2 est simplement connexe et borné. On ne peut utiliser la norme du sup, et c'est ainsi que s'introduisent les espaces de Holder. Les démons- trations se font à partir de majorations a priori qui s'établissent de la manière suivante. On étudie des équations du type transport :

w

-

+

v v o = g at

ou v(.x, t) est un champ de vecteurs défini dans

a

x [O,

T]

( T > O), tangent au bord de l'ouvert. (1 8) est équivalent à l'équation :

L'intégration de la seconde équation (19) conduit alors à la majoration apriori :

(On désigne par ( w

1,

l'expression

On utilise donc les relations :

d o

- +

u v o = o v u

at (23)

pour obtenir à partir de (20) et (21) les inégalités a priori :

II

'('1

II

1,a

S

II

UO

Il

1.a

+

C (II U ([:,a

+

II

VP 110,~) d~

.

(24) Finalement en remarquant que

On peut montrer une estimation du type

L'utilisation de (24), (26) et du lemme de Gronwall permet de terminer la démonstration de l'existence d'une solution dans l'espace C '*"(8).

Il est essentiel de remarquer que la démonstration est valable même si 52 n'est pas borné ou si le fluide est d'énergie totale infinie (cf. [4] et [6] pour les détails). L'analycité se démontre de manière analogue en étendant les solutions et les caractéristiques (tra- jectoires) au domaine complexe.

Bien entendu les deux problèmes fondamentaux qui restent ouverts en dimension 3 sont les suivants :

CS-56 C. BARDOS

6 ) Montrer qu'il existe, pour tout temps t > O une solution (éventuellement faible) de l'équation d'Euler et décrire le type de régularité de cette solution.

c) Etudier pour une solution faible la dissipation de cette énergie, qui est totalement dissipée par les singularités.

Si aucun de ces problèmes n'est prêt d'être résolu, c'est probablement le point 6 ) qui a donné lieu aux développements les plus intéressants. La méthode naturelle pour prouver l'existence d'une solution faible serait de passer à la limite dans l'équation de Navier-Stokes

au,

- -

a t v Au,

+

u, Vu, = - Vp

,

Vu, = O (27)

en faisant tendre v vers zéro. On peut extraire une sous-famille telle que u, -+ u dans L,O,(R+ ; L2(Q)) (par exemple). Mais comme cette convergence ne se produit qu'au sens faible, on ne peut pas prouver que

converge (en aucun sens) vers u Vu. Pour prouver cette convergence l'étape essentielle serait une esti- mation du type (12). i.e. un contrôle de comportement asymptotique de la transformée de Fourier spatiale de u (uniforme en t, v). D'un autre côté, il semble que la transformation de Fourier ne soit pas assez locale pour mener à bien le calcul. En particulier il serait bon de pouvoir parler d'énergie en un point et de la transformée' de Fourier de cette énergie. On peut aborder le problème en introduisant des solutions statistiques. On introduira une famille de données initiales u(x, o ) aléatoires

On considère les corrélations :

où ui et uj sont des composantes de u,.

On dira que la distribution des vitesses est homogène et isotrope si :

(1) Les expressions ( ui(x), uj(x

+

r) ) sont indé- pendantes de x.

3

(2) L'expression

1

( ui(x), u'(x

+

r) ) ne dépend

i = 1

que de

1

r

1.

On remarque alors que si U(x, O) est une distri- bution de vitesse homogène et isotrope, il en est de même de u(x, t, o ) solution de l'équation de Navier- Stokes avec données initiales u,(x, o). On pose alors :

et on a la relation :

qui se déduit trivialement des équations de Navier- Stokes.

On introduit ensuite

et on appelle spectre d'énergie la fonction R3

E(k, t) ne dépend que de k. La conjoncture essentielle sur E(k, t) est due à Kolmogorof (1941) et peut s'énoncer comme suit :

On pose ~ , ( t ) = vR(0, t). ~ ( t ) est uniformément borné dans L1(O, a), alors on a :

où C est une constante universelle.

Il convient de remarquer que (29) implique l'asser- tion :

qui signifie en gros que u est uniformément, en moyenne, dans l'espace de Holder C0.1'6(R3). Un résultat de ce type conduirait à des théorèmes de compacité et à l'existence de solutions, pour tout temps pour l'équation d'Euler. Nous allons donner une idée

de l'argument de Kolmogorov. L'idée de base est que les singularités ou un mauvais comportement de la transformation de Fourier peut apparaître par concen- tration de l'énergie dans des régions de plus en plus petites. On introduit des tailles caractéristiques de tourbillon ln puis t, le temps nécessaire à la dislocation d'un tourbillon.

On pose

EQUATIONS Dl: NAVIER-STOKES ET MODÈLE DE LA TURBbLENLE CS-57

%

Zonc de dissipation

dissipation et correspond a des échelles beaucoup plus petites que In, et ainsi la variation d'énergie dU(t)/dt est égale à l'énergie qui est transférée d'un tourbillon de taille In dans un tourbillon de taille ln+

,,

finalement cette énergie transformée est proportionnelle a l'énergie contenue dans ln, elle-même proportionnelle à V,2. On obtient donc : t,, v) ~ 0 . 7 V) = dt

-

V2(l,, t,, v)/t, et t,=I,/V,

.

Ce qui donne V.2/( V,l[n)

-

4tn7 V)

soit finalement V,

-

~(t,, f,,'/3. Soit la relation (30). La relation (29) s'obtiendrait en admettant que V: est proportionnelle a l'énergie concentrée dans une région autour de k, = 1,-

'

.

Bien entendu un des points importants est d'essayer de vérifier cette théorie. On va construire des équations satisfaites par :

Mais comme les équations de Navier-Stokes sont non linéaires les moments d'ordre deux, U(t, r) par exemple, s'expriment en fonction de moment d'ordre trois et ainsi de suite. On obtient un système infini d'équations. Une des idées naturelles est de supposer, que les moments d'ordre quatre s'expriment en fonction des moments d'ordre deux comme si u était une distribution de vitesse gaussienne (Approximation quasi-normale de Millionschtchikov (1941).) Cette approximation a le défaut de ne pas préserver le spectre d'énergie. Ceci peut être corrigé en tenant compte, par une analyse phénoménologique, de l'interaction avec les moments d'ordre plus élevés (cf. Lesieur et P. L. Sulem [16] et les références données dans ce travail). On obtient alors pour E(k, t ) l'équa- tion :

L'intégrale porte sur le domaine A, du plan p, q tel que k, p, q puisse former un triangle

où xyz sont les cosinus des angles intérieurs du triangle de côté k, p, q. La quantité est dite temps de relaxation des corrélations triples. Divers choix pour cette quantité sont possibles. Le plus simple

O,,, = 8, = constante, correspond au M.R.C.M.

(Markovian, Randon, Coupling Mode1 Frisch, Lesieur et Brissaud [14]). La positivité du spectre est assurée, et on montre que l'équation (31) s'obtient comme conséquence exacte d'un modèle probabiliste obtenu en modifiant les termes non linéaires de Navier-Stokes par des coefficients de couplage aléatoires

aua

I

-

+

-

1

@,,(t) (u" Vua) - y Aua = Vpa Vu" = O .

at N r , p = l

(32)

Dans (32) sont des bruits blancs gaussiens convenablement choisis, de valeur moyenne nulle et de covariance

( @(t), @(tl)

:,

= 0, 6(t - t') On montre alors la relation

Dans (33) Ea(k, t ) est défini par

Ea(k, t) =

I2

)

û(I k

1

a, t)

1'

1

k

I 2

d a . (34) Une étude assez complète de l'équation de Navier- Stokes M.R.C.M. a été faite ; on obtient les résultats suivants :

1" L'énotropie (Le.)

vérifie pour v = 0, l'équation :

elle devient donc infinie au bout d'un temps fini, ce qui correspond à l'apparition de singularités dans le tourbillon. (Comme pour l'équation de Burger.)

C5-58 C. BAKDOS

3" L'énergie V(0, t) a été aussi calculée numéri- dû à Youdovich, cf. Youdovich [23], Lions [18], p. 93 quement, et pour v = O elle est constante jusqu'à T*, et Bardos [l]) d'une fonction u solution des équations :

ensuite elle décroît.

au

Pour tester théoriquement l'hypothèse de Kolmo-

+

U Vu =

-

VP, V.u = O dans R+ x 52

V '

gorov, on a également considéré-(cf. Bardos, Frisch

Penel et Sulem

[q

et surtout les références données u(x, O) = u,(x) donné dans W1."(SL), u. v

,

I,

= O dans ce travail) une équation pour les moments : u E C(R+ ; H1(SL)), V A u E Lm(R+ x SL)

.

Il n'est pas évident de prouver à partir de (41) que des solutions de l'équation de Burger. En faisant des

la solution est régulière dès que est régulière. hypothèses similaires pour obtenir une fermeture En en,t, on ne peut déduire de A Lw(R+

on arrive à l'équation de Burger M.R.C.M. _{que le gradient de u est uniformément borné. Pour}

d u

a2

prouver ce dernier point, il est indispensable de

-

+

- ( U ( t , O)

-

U(C, x ) ) ~ = O (36) travailler dans les espaces de Holder et d'utiliser at

axz

_{la relation (8). Ceci a été fait pour la régularité Ca par} Schaeffer [22] et Kato [IO], puis toujours en étendant dont une étude théorique _{a pu être faite. les caractéristiques au domaine complexe, par Bardos,} Les résultats les plus frappants sont les suivants. _{Benachour et Zemer [3], Bardos et Benachour [6]}

1. L'entropie, dans le cadre analytique.

Il reste cependant, même en dimension deux des

a

2

~ ( t ) =

-

~ ( t , O) problèmes ouverts importants. Voici le plus significatif.

dx2 On sait que pour tout t > O la solution de l'équation est solution de I'équation de ~ a v i e r - s tokes

elle explose au bout d'un temps fini T* (Lesieur [15]). 2. Le spectre d'énergie Û(t, k) vérifie la relation :

Û(t, k)

6

LI**

k2

1

2

1

dx pour O

5

t (38)

-"

'(*) pour

r

2

T*

Û(t, k)

-

-

kZ

(Bardos, Frisch, Penel et Sulem [5]).

3. L'énergie Û(0, t) est constante pour O

6

t

5

T* ensuite elle décroît et est totalement dissipée pour t -+ co (Folas Penel[20]).

Finalement je vais donner quelques résultats supplé- mentaires concernant la dimension deux. La différence fondamentale est que le terme u.Vu est identiquement nul ainsi on obtient la relation, pour le tourbillon

V Au,

+

u, AU, = - _VP 9 vu, = O

est régulière et uniformément bornée en v dans Lm(R+ ; L2(Q)). On souhaiterait prouver que lorsque

v -+ Ou, converge (dans n'importe quel sens) vers la solution de l'équation d'Euler. Ici aussi la difficulté est la convergence de termes non linéaires du type ui(x) ui(x). 11 est d'autre part certain qu'on ne peut avoir une estimation dans HYSL) s > 112 car la condition aux limites u(x, t)

,

I,

= O persisterait, ce qui n'est pas. On est donc conduit à chercher les estima- tions dans des espaces du type HS(Q) (s < 112). Ce qui revient à des résultats de régularité à la Kolmogorov. Ici il n'existe aucune démonstration, bien que des études numériques très poussées aient été faites, et aient conduit aux approximations de couches limites

et aux équations de Prandlt. Cependant il existe dans le cas du dernier espace un argument dimensionnel dû à Von Karman, ressemblant beau cou^ à celui d e

au

Kolmogorov, qui prédit une certaine régularité uni-

- + u v o = o , _A

_".

_t v . u = o . _{(40) forme.}

Bien entendu si l'on change de condition aux limites De (40) on déduit que la norme du rotationnel est dans I'équation de Navier-Stokes on peut faire dispa- conservée dans (LP(SL)) (1

6

p

5

+

co), ceci permet raître la couche limite et obtenir une très bonne de prouver l'existence (et l'unicité, d'après un argument convergence (cf. [l 1, [18], [22]).

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physique mnth. T o m e 3 (1963).

Bibliographie 2

- L'argument de K o r . ~ o ü o ~ o v a été repris dans un travail de FRISCH SULEM et NELKIN. A simple mode1 of intermittent fully developed turbulence (Reprint observatoire d e Nice, soumis pour publication au Journal of fluid mechanic). O n suppose qu'à chaque étape les tourbillons ne remplissent qu'une fraction ( pfois plus petite) de l'espace. Cela permet d'introduire et d e justifier un terme correctif dans la loi d e KOLMOGOROV, puis d e faire un lien avec les ensembles d e dimension fractionnaire introduits par MANDELBROT au sujet de la turbulence.

- L n séminaire sur les différents aspects d e la Turbulence a été organisé en 1976-77 par CHORIN MARSDEN et SMALE à Berkley un

certain nombre d'exposés rédigés par SMALE. CHORIN, MARODEN, RATIUS, SAFFMAN BOWEN et WILLIAMS sont disponibles.

- Un article de revue sur les pbs mathématiques relatifs à I'équation E EULER et de NAVIER-STOKES a été publié par l'auteur dans les Proceeding of the Seminar of Indiana University Blooming- ton Indiana (à paraître en lecture notes chez Springer-Verlag).