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Les calculatrices sont autorisées

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 7 pages.

Notations

On désigne par \ l’ensemble des nombres réels, par ` l'ensemble des entiers naturels et par `

*

l'ensemble ` privé de 0.

Dans tout le problème n est un entier de `

*

. On note a b 1,n l’ensemble des entiers k tels que 1 k n b b . Dans l’ensemble des matrices à coefficients réels, on note ( ) 0

n

\ l’espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes, ( ) S

n

\ l’ensemble des matrices symétriques de 0

n

( ) \ et 0

n,1

( ) \ l’espace vectoriel réel des matrices colonnes à n lignes. O n désigne le groupe des matrices ortho- ( ) gonales de ( ) 0

n

\ .

On rappelle que toute matrice de ( ) S

n

\ est semblable à une matrice diagonale de ( ), 0

n

\ avec une matrice de passage orthogonale.

On note diag( ,..., ) B

1

B

n

la matrice diagonale de 0

n

( ) \ qui admet pour coefficients diago- naux les réels B

1

, …, B

n

dans cet ordre. L’écriture A ( ) a

i j,

signifie que a

,i j

est le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A. On note

t

A la matrice transposée de la matrice A et tr( ) A la trace de la matrice carrée A.

SESSION 2011 PSIM206

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures ____________________

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

C O N C O U R S C O M M U N S P O LY T E C H N I Q U E S

(2)

Dans tout le problème, on considère l’espace euclidien \

n

rapporté à une base orthonormale ( ,..., ) e

1

e

n

% . Le produit scalaire de deux vecteurs

1 n i i i

x x e œ et

1 n i i i

y y e

œ est noté

1 n i i i

x y x y œ

et x désigne la norme du vecteur x. Soient X et Y les matrices de 0

n,1

( ) \ des composantes de x et y dans %, le produit

t

XY appartient à 0

1

( ) \ et son unique coefficient est x y . On écrira

x y

t

XY qui est le produit scalaire canonique des matrices X et Y de 0

n,1

( ) \ .

Objectifs

Dans le problème, on définit les ensembles S

n

(respectivement S

n

) des matrices symé- triques positives (respectivement des matrices symétriques définies positives) ainsi que les endo- morphismes autoadjoints associés et on en donne quelques propriétés.

Dans la première partie, on traite deux exemples et on démontre une propriété de compacité d’une partie de \

n

liée au signe des valeurs propres d’un endomorphisme autoadjoint.

Dans les deux parties suivantes, on définit les ensembles S

n

et S

n

et on démontre diffé- rentes propriétés de leurs éléments : caractérisation par le signe des valeurs propres, racine carrée, propriété de la trace.

Dans la dernière partie, on fait établir des inégalités vérifiées par les endomorphismes auto- adjoints associés aux matrices de S

n

. Les parties III et IV sont indépendantes l’une de l’autre.

Partie I

Étude de compacité

L’espace euclidien \

n

est rapporté à une base orthonormale % ( ,..., ) e

1

e

n

. Soit s un endo- morphisme autoadjoint de \

n

. On considère l’ensemble 4 \ x ‰ \

n

; x s x 1 ^ .

I.1. Dans cette question, on suppose n 2 . On considère le plan euclidien muni du repère ortho- normal 5 ( , , ) O e e

1 2

où O est un point du plan. À tout vecteur x x e

1 1

x e

2 2

de \

2

, on associe le point M du plan de coordonnées ( , ) x x

1 2

dans le repère 5 . On note T l’ensemble des points du plan ainsi associés aux vecteurs de 4 . Soit S la matrice de l’endomorphisme s relativement à la base % .

I.1.1. On suppose que 2 3

3 4

S

 ¬­

ž ­

ž ž ž žŸ ­ ­ ­ ® . Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice S. Pour x x e

1 1

x e

2 2

dans \

2

, calculer le produit scalaire x s x .

Montrer que l’ensemble T est une ellipse dont on donnera une équation réduite. Tracer cette

ellipse dans le plan euclidien muni du repère 5 .

(3)

I.1.2. On suppose que 2 2 2

2 2 4

S

 ¬­

ž ­

ž ž ž žŸ ­ ­ ­ ® . Déterminer les valeurs propres de S. Déterminer l’ensemble T et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère 5 .

I.2. On suppose n entier quelconque de `

*

. On note M

1

, …, M

n

les n valeurs propres réelles (dis- tinctes ou confondues) de s, chaque valeur propre figurant avec son ordre de multiplicité. On veut montrer que 4 est une partie compacte de \

n

si et seulement si tous les M

i

sont strictement positifs.

On ordonne les M

i

dans l’ordre croissant, M

1

"M

n

, et on considère une base orthonormale (F

1

, …, F

n

) de \

n

formée de vecteurs propres de s avec, pour tout i ‰ a b 1, n , ( ) s F

i

M F

i i

.

I.2.1. On suppose M

1

0. Pour

1

n n

i i i

x a F \

œ ‰ , calculer x s x . Montrer que l’ensemble 4 n’est pas vide. Montrer que 4 est une partie bornée de \

n

. Montrer que l’application

x 6 x s x de \

n

dans \ est continue. En déduire que 4 est une partie compacte de

n

.

\

I.2.2. On suppose que 4 est une partie compacte non vide de \

n

.

I.2.2.1. Montrer que l’inégalité M

n

b 0 est impossible.

I.2.2.2. On suppose M

1

b 0 et M

n

0 et, pour tout r ‰ \ , on considère le vecteur

2 1 1

1

r n

n

x r M r

F F

M

.

Montrer que x

r

‰ 4 . Calculer x

r 2

et déterminer sa limite lorsque r tend vers d . En déduire une contradiction avec l’hypothèse 4 compacte.

Dans la suite du problème, on note S

n

(respectivement S

n

) l’ensemble des matrices S de S

n

( ) \ qui vérifient : pour tout X non nul de 0

n,1

( ) \ ,

t

XSX p 0 (respectivement

t

XSX 0 ). Pour

n

( )

S ‰ S \ , soit s l’endomorphisme autoadjoint de \

n

et soit x le vecteur de \

n

de matrices S et X

relativement à la base % . On a donc

t

XSX x s x .

(4)

Partie II

Racine carrée d’une matrice de S

n

Soit S ‰ S

n

( ) \ . On note M

1

, …, M

n

les n valeurs propres réelles de S comptées autant de fois que leur ordre de multiplicité. Soit (;

1

, …, ;

n

) une base orthonormale de 0

n,1

( ) \ formée de vec- teurs propres de S avec : pour tout i ‰ a b 1, n , SX

i

M

i

X

i

.

II.1. On veut montrer que S ‰ S

n

si et seulement si pour tout i ‰ a b 1, n , on a M

i

p 0.

II.1.1. On suppose que S ‰ S

n

. Montrer que pour tout i ‰ a b 1, n , on a M

i

p 0.

II.1.2. On suppose que pour tout i ‰ a b 1, n on a M

i

p 0. Montrer que S ‰ S

n

.

On montre de même, et on admettra, qu’une matrice S ‰ S

n

( ) \ appartient à S

n

si et seu- lement si ses valeurs propres sont strictement positives.

II.1.3. On suppose que S ‰ S

n

et donc que pour tout i ‰ a b 1, n , M

i

> 0. Montrer que S est in- versible et que son inverse S

1

‰ S

n

.

II.2. On suppose de plus que S ‰ S

n

.

II.2.1. Soient D diag( ,..., M

1

M

n

) et % = diag M

1

,..., M

n

, calculer %

2

.

On suppose que N ‰ S

n

vérifie N

2

= D . On note (C

1

, …, C

n

) la base canonique de 0

n,1

( ) \ où C

i

est la matrice colonne dont le coefficient de la ligne i est égal à 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Soient

1 n

i i i

Y y C

œ et N ‰ \ avec N p 0 tels que NY N Y . Montrer que pour tout i ‰ a b 1, n , on a N

2

y

i

M

i

y

i

puis N y

i

M

i

y

i

. En déduire que N % .

II.2.2. Soit U ‰ O n ( ) telle que S UD U

t

. Déterminer une matrice T ‰ S

n

telle que T

2

S . Montrer que T est unique.

On notera T S l’unique matrice T de S

n

telle que T

2

S .

II.3. Une détermination de S . On suppose que S ‰ S

n

et que M

1

, …, M

n

sont les valeurs propres de S. On note 0 b N

1

< " < N

p

les valeurs propres distinctes de S. Pour k ‰ a b 1, p , on définit les po- lynômes d’interpolation de Lagrange aux points N

1

, , ! N

p

par :

a b

‰ ‰

p

( a N

j

)



(5)

II.3.1. Pour i ‰ a b 1, n , calculer L S X

k

( )

i

en distinguant les cas N

k

M

i

et N

k

v M

i

(on rap- pelle que les X

i

définis au début de la partie II, appartiennent à une base orthonormale de vecteurs propres de S avec : pour tout i ‰ a b 1, n , SX

i

M

i

X

i

).

II.3.2. Soit P le polynôme de degré inférieur ou égal à p 1 , à coefficients réels tel que : pour tout k ‰ a b 1, p , ( P N

k

) N

k

. Exprimer P comme une combinaison linéaire des poly- nômes L

k

. Calculer ( ) P S X

i

et en déduire que P S ( ) ‰ S

n

. Montrer que P S ( ) S .

II.3.3. En application des questions précédentes, on prend

7 2 2

2 4 1

2 1 4

S

 ­ ¬

ž ­

ž ­

ž ­

ž ž ž ž Ÿ ­ ­ ­­ ®

. Montrer que

S ‰ S

3

. Exprimer S comme une combinaison linéaire des matrices S et I

3

diag(1,1,1) .

Partie III

Une propriété de la trace des matrices de S

n

III.1. Soit S ‰ S

n

.

III.1.1. On considère la matrice E = diag( ,..., B

1

B

n

) avec : pour tout i ‰ a b 1, n , 0 B

i

p . Soit (

i j,

) ( )

V v ‰ O n . Montrer que tr( E V ) b tr( ) E .

III.1.2. En déduire que pour tout U ‰ O n ( ) , on a : tr( SU ) b tr( ) S .

III.2. Réciproque de la propriété III.1. Soit A ( a

i j,

‰ 0

n

( ) \ telle que pour tout U ‰ O n ( ) , on a tr( AU ) b tr( ) A . On veut montrer que A ‰ S

n

.

III.2.1. Un lemme technique. Soient a, b, R des réels. Montrer qu’il existe un réel K indé- pendant de R, tel que a cos( ) R b sin( ) R a

2

b

2

sin( R K ) .

En déduire que l’inégalité « pour tout R ‰ \ , cos( ) a R b sin( ) R b a » entraîne b 0 .

(6)

III.2.2. On considère l’espace euclidien \

n

rapporté à la base orthonormale % ( ,..., ) e

1

e

n

. Pour p et q entiers tels que 1 b b p q n , on note 1 le plan vectoriel de \

n

engendré par les vecteurs e

p

et e

q

. Soit u l’isométrie de \

n

telle que u induit sur le plan 1 , orienté par la base (e ,e ),

p q

la rotation d’angle R et telle que u induit l’identité sur l’orthogonal de 1 . Écrire la matrice U de u relativement à la base % . Calculer tr( AU ) . En déduire que

n

( ) A ‰ S \ .

III.2.3. D’après III.2.2, la matrice A est symétrique. On note l l’endomorphisme de \

n

de matrice A relativement à la base orthonormale % . On considère une base orthonormale de

\

n

, 9 = ( ,..., ) v

1

v

n

formée de vecteurs propres de l. Pour i ‰ a b 1, n , on notera ( ) l v

i

C

i i

v . On suppose qu’une valeur propre de l est strictement négative et on ordonne la base 9 pour que C

1

0 . Soit u l’isométrie de \

n

définie sur la base 9 par u v ( )

1

v

1

et pour i v 1 ,

( )

i i

u v v . En notant U la matrice de u relativement à la base % , montrer que l’inégalité tr( AU ) b tr( ) A conduit à une impossibilité et en déduire que A ‰ S

n

.

Partie IV

Des inégalités remarquables

Soit S ‰ S

n

et soit T ‰ S

n

telles que T

2

S . On note s et t les automorphismes de \

n

de matrices S et T relativement à la base orthonormale % . Soient s

1

et t

1

les applications réciproques de s et de t. On note 0 b M

1

" b M

n

les n valeurs propres de s.

IV.1. Soit x ‰ \

n

. Montrer l’inégalité (1) :

(1) t x t ( )

1

( ) x

2

b ( ( ) ) s x x s

1

( ) x x .

À quelle condition sur x a-t-on égalité ?

IV.2. On considère le polynôme P défini sur \ par :

2

1 1

, ( ) (

n

)

n

a \ P a a M M a M M

‰ .

Pour chaque i ‰ a b 1, n , déterminer le signe de ( ) P M

i

.

Soit v l’endomorphisme de \

n

défini par v P s ( ) DDDD s

1

. Soit x ‰ \

n

, x v 0 , tel que ( ) s x M

i

x .

Calculer v(x) et montrer que x est vecteur propre de v. En déduire que la matrice V de v relativement

à la base % vérifie V ‰ S

n

.

(7)

IV.3. Soit x un vecteur non nul de \

n

. On considère le polynôme Q défini sur \ par :

2 2 1

1 1

( ) ( ( ) ) (

n

) ( ( ) )

n

a \ , Q a s x x a M M x a s

x x M M ‰ . Déterminer le signe de (0) Q et celui de (1) Q . En déduire l’inégalité (2) :

(2)

1

1 2 4

1

( )

( ( ) ) ( )

4

n n

s x x s x x M M x

M M

b .

IV.4. On suppose que M

1

M

n

. Soient v

1

et v

n

des vecteurs de norme 1 tels que s v ( )

1

M

1 1

v et ( )

n n n

s v M v . Soit x v

1

v

n

. Calculer les produits scalaires ( ( ) ) s x x et s

1

( ) x x . Montrer que le vecteur x vérifie l’égalité dans l’inégalité (2).

Fin de l’énoncé

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