Les calculatrices sont autorisées
Le sujet comporte 7 pages.
Notations
On désigne par \ l’ensemble des nombres réels, par ` l'ensemble des entiers naturels et par `
*l'ensemble ` privé de 0.
Dans tout le problème n est un entier de `
*. On note a b 1,n l’ensemble des entiers k tels que 1 k n b b . Dans l’ensemble des matrices à coefficients réels, on note ( ) 0
n\ l’espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes, ( ) S
n\ l’ensemble des matrices symétriques de 0
n( ) \ et 0
n,1( ) \ l’espace vectoriel réel des matrices colonnes à n lignes. O n désigne le groupe des matrices ortho- ( ) gonales de ( ) 0
n\ .
On rappelle que toute matrice de ( ) S
n\ est semblable à une matrice diagonale de ( ), 0
n\ avec une matrice de passage orthogonale.
On note diag( ,..., ) B
1B
nla matrice diagonale de 0
n( ) \ qui admet pour coefficients diago- naux les réels B
1, …, B
ndans cet ordre. L’écriture A ( ) a
i j,signifie que a
,i jest le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A. On note
tA la matrice transposée de la matrice A et tr( ) A la trace de la matrice carrée A.
SESSION 2011 PSIM206
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures ____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
___________________________________________________________________________________
C O N C O U R S C O M M U N S P O LY T E C H N I Q U E S
Dans tout le problème, on considère l’espace euclidien \
nrapporté à une base orthonormale ( ,..., ) e
1e
n% . Le produit scalaire de deux vecteurs
1 n i i i
x x e et
1 n i i i
y y e
est noté
1 n i i i
x y x y
et x désigne la norme du vecteur x. Soient X et Y les matrices de 0
n,1( ) \ des composantes de x et y dans %, le produit
tXY appartient à 0
1( ) \ et son unique coefficient est x y . On écrira
x y
tXY qui est le produit scalaire canonique des matrices X et Y de 0
n,1( ) \ .
Objectifs
Dans le problème, on définit les ensembles S
n(respectivement S
n) des matrices symé- triques positives (respectivement des matrices symétriques définies positives) ainsi que les endo- morphismes autoadjoints associés et on en donne quelques propriétés.
Dans la première partie, on traite deux exemples et on démontre une propriété de compacité d’une partie de \
nliée au signe des valeurs propres d’un endomorphisme autoadjoint.
Dans les deux parties suivantes, on définit les ensembles S
net S
net on démontre diffé- rentes propriétés de leurs éléments : caractérisation par le signe des valeurs propres, racine carrée, propriété de la trace.
Dans la dernière partie, on fait établir des inégalités vérifiées par les endomorphismes auto- adjoints associés aux matrices de S
n. Les parties III et IV sont indépendantes l’une de l’autre.
Partie I
Étude de compacité
L’espace euclidien \
nest rapporté à une base orthonormale % ( ,..., ) e
1e
n. Soit s un endo- morphisme autoadjoint de \
n. On considère l’ensemble 4 \ x \
n; x s x 1 ^ .
I.1. Dans cette question, on suppose n 2 . On considère le plan euclidien muni du repère ortho- normal 5 ( , , ) O e e
1 2où O est un point du plan. À tout vecteur x x e
1 1x e
2 2de \
2, on associe le point M du plan de coordonnées ( , ) x x
1 2dans le repère 5 . On note T l’ensemble des points du plan ainsi associés aux vecteurs de 4 . Soit S la matrice de l’endomorphisme s relativement à la base % .
I.1.1. On suppose que 2 3
3 4
S
¬
® . Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice S. Pour x x e
1 1x e
2 2dans \
2, calculer le produit scalaire x s x .
Montrer que l’ensemble T est une ellipse dont on donnera une équation réduite. Tracer cette
ellipse dans le plan euclidien muni du repère 5 .
I.1.2. On suppose que 2 2 2
2 2 4
S
¬
® . Déterminer les valeurs propres de S. Déterminer l’ensemble T et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère 5 .
I.2. On suppose n entier quelconque de `
*. On note M
1, …, M
nles n valeurs propres réelles (dis- tinctes ou confondues) de s, chaque valeur propre figurant avec son ordre de multiplicité. On veut montrer que 4 est une partie compacte de \
nsi et seulement si tous les M
isont strictement positifs.
On ordonne les M
idans l’ordre croissant, M
1≤ " ≤ M
n, et on considère une base orthonormale (F
1, …, F
n) de \
nformée de vecteurs propres de s avec, pour tout i a b 1, n , ( ) s F
iM F
i i.
I.2.1. On suppose M
10. Pour
1
n n
i i i
x a F \
, calculer x s x . Montrer que l’ensemble 4 n’est pas vide. Montrer que 4 est une partie bornée de \
n. Montrer que l’application
x 6 x s x de \
ndans \ est continue. En déduire que 4 est une partie compacte de
n
.
\
I.2.2. On suppose que 4 est une partie compacte non vide de \
n.
I.2.2.1. Montrer que l’inégalité M
nb 0 est impossible.
I.2.2.2. On suppose M
1b 0 et M
n0 et, pour tout r \ , on considère le vecteur
2 1 1
1
r n
n
x r M r
F F
M
.
Montrer que x
r 4 . Calculer x
r 2et déterminer sa limite lorsque r tend vers d . En déduire une contradiction avec l’hypothèse 4 compacte.
Dans la suite du problème, on note S
n(respectivement S
n) l’ensemble des matrices S de S
n( ) \ qui vérifient : pour tout X non nul de 0
n,1( ) \ ,
tXSX p 0 (respectivement
tXSX 0 ). Pour
n
( )
S S \ , soit s l’endomorphisme autoadjoint de \
net soit x le vecteur de \
nde matrices S et X
relativement à la base % . On a donc
tXSX x s x .
Partie II
Racine carrée d’une matrice de S
nSoit S S
n( ) \ . On note M
1, …, M
nles n valeurs propres réelles de S comptées autant de fois que leur ordre de multiplicité. Soit (;
1, …, ;
n) une base orthonormale de 0
n,1( ) \ formée de vec- teurs propres de S avec : pour tout i a b 1, n , SX
iM
iX
i.
II.1. On veut montrer que S S
nsi et seulement si pour tout i a b 1, n , on a M
ip 0.
II.1.1. On suppose que S S
n. Montrer que pour tout i a b 1, n , on a M
ip 0.
II.1.2. On suppose que pour tout i a b 1, n on a M
ip 0. Montrer que S S
n.
On montre de même, et on admettra, qu’une matrice S S
n( ) \ appartient à S
nsi et seu- lement si ses valeurs propres sont strictement positives.
II.1.3. On suppose que S S
net donc que pour tout i a b 1, n , M
i> 0. Montrer que S est in- versible et que son inverse S
1 S
n.
II.2. On suppose de plus que S S
n.
II.2.1. Soient D diag( ,..., M
1M
n) et % = diag M
1,..., M
n, calculer %
2.
On suppose que N S
nvérifie N
2= D . On note (C
1, …, C
n) la base canonique de 0
n,1( ) \ où C
iest la matrice colonne dont le coefficient de la ligne i est égal à 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Soient
1 n
i i i
Y y C
et N \ avec N p 0 tels que NY N Y . Montrer que pour tout i a b 1, n , on a N
2y
iM
iy
ipuis N y
iM
iy
i. En déduire que N % .
II.2.2. Soit U O n ( ) telle que S UD U
t. Déterminer une matrice T S
ntelle que T
2S . Montrer que T est unique.
On notera T S l’unique matrice T de S
ntelle que T
2S .
II.3. Une détermination de S . On suppose que S S
net que M
1, …, M
nsont les valeurs propres de S. On note 0 b N
1< " < N
ples valeurs propres distinctes de S. Pour k a b 1, p , on définit les po- lynômes d’interpolation de Lagrange aux points N
1, , ! N
ppar :
a b
p( a N
j)
II.3.1. Pour i a b 1, n , calculer L S X
k( )
ien distinguant les cas N
kM
iet N
kv M
i(on rap- pelle que les X
idéfinis au début de la partie II, appartiennent à une base orthonormale de vecteurs propres de S avec : pour tout i a b 1, n , SX
iM
iX
i).
II.3.2. Soit P le polynôme de degré inférieur ou égal à p 1 , à coefficients réels tel que : pour tout k a b 1, p , ( P N
k) N
k. Exprimer P comme une combinaison linéaire des poly- nômes L
k. Calculer ( ) P S X
iet en déduire que P S ( ) S
n. Montrer que P S ( ) S .
II.3.3. En application des questions précédentes, on prend
7 2 2
2 4 1
2 1 4
S
¬
®
. Montrer que
S S
3. Exprimer S comme une combinaison linéaire des matrices S et I
3diag(1,1,1) .
Partie III
Une propriété de la trace des matrices de S
nIII.1. Soit S S
n.
III.1.1. On considère la matrice E = diag( ,..., B
1B
n) avec : pour tout i a b 1, n , 0 B
ip . Soit (
i j,) ( )
V v O n . Montrer que tr( E V ) b tr( ) E .
III.1.2. En déduire que pour tout U O n ( ) , on a : tr( SU ) b tr( ) S .
III.2. Réciproque de la propriété III.1. Soit A ( a
i j, 0
n( ) \ telle que pour tout U O n ( ) , on a tr( AU ) b tr( ) A . On veut montrer que A S
n.
III.2.1. Un lemme technique. Soient a, b, R des réels. Montrer qu’il existe un réel K indé- pendant de R, tel que a cos( ) R b sin( ) R a
2b
2sin( R K ) .
En déduire que l’inégalité « pour tout R \ , cos( ) a R b sin( ) R b a » entraîne b 0 .
III.2.2. On considère l’espace euclidien \
nrapporté à la base orthonormale % ( ,..., ) e
1e
n. Pour p et q entiers tels que 1 b b p q n , on note 1 le plan vectoriel de \
nengendré par les vecteurs e
pet e
q. Soit u l’isométrie de \
ntelle que u induit sur le plan 1 , orienté par la base (e ,e ),
p qla rotation d’angle R et telle que u induit l’identité sur l’orthogonal de 1 . Écrire la matrice U de u relativement à la base % . Calculer tr( AU ) . En déduire que
n
( ) A S \ .
III.2.3. D’après III.2.2, la matrice A est symétrique. On note l l’endomorphisme de \
nde matrice A relativement à la base orthonormale % . On considère une base orthonormale de
\
n, 9 = ( ,..., ) v
1v
nformée de vecteurs propres de l. Pour i a b 1, n , on notera ( ) l v
iC
i iv . On suppose qu’une valeur propre de l est strictement négative et on ordonne la base 9 pour que C
10 . Soit u l’isométrie de \
ndéfinie sur la base 9 par u v ( )
1v
1et pour i v 1 ,
( )
i iu v v . En notant U la matrice de u relativement à la base % , montrer que l’inégalité tr( AU ) b tr( ) A conduit à une impossibilité et en déduire que A S
n.
Partie IV
Des inégalités remarquables
Soit S S
net soit T S
ntelles que T
2S . On note s et t les automorphismes de \
nde matrices S et T relativement à la base orthonormale % . Soient s
1et t
1les applications réciproques de s et de t. On note 0 b M
1" b M
nles n valeurs propres de s.
IV.1. Soit x \
n. Montrer l’inégalité (1) :
(1) t x t ( )
1( ) x
2b ( ( ) ) s x x s
1( ) x x .
À quelle condition sur x a-t-on égalité ?
IV.2. On considère le polynôme P défini sur \ par :
2
1 1
, ( ) (
n)
na \ P a a M M a M M
.
Pour chaque i a b 1, n , déterminer le signe de ( ) P M
i.
Soit v l’endomorphisme de \
ndéfini par v P s ( ) DDDD s
1. Soit x \
n, x v 0 , tel que ( ) s x M
ix .
Calculer v(x) et montrer que x est vecteur propre de v. En déduire que la matrice V de v relativement
à la base % vérifie V S
n.
IV.3. Soit x un vecteur non nul de \
n. On considère le polynôme Q défini sur \ par :
2 2 1
1 1
( ) ( ( ) ) (
n) ( ( ) )
na \ , Q a s x x a M M x a s
x x M M . Déterminer le signe de (0) Q et celui de (1) Q . En déduire l’inégalité (2) :
(2)
1 1 2 41
( )
( ( ) ) ( )
4
n n
s x x s x x M M x
M M