) la suite définie par

Soit (𝑆₍) la suite définie par 𝑆₍ = 4𝑛 − 1 2𝑛 + 1 .

Soit 𝑃(𝑛) : « On peut écrire 2𝑛 + 1 comme produit d’un nombre fini d’𝑆_> ».

On note alors 𝑑(2𝑛 + 1) ce produit.

Démontrons par récurrence (forte) que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑃(𝑛) est vraie.

Initialisation : 𝟏 = 𝑺_𝟏 , 𝟑 = 𝑺_𝟒𝑺_𝟕 et 𝟓 = 𝑺_𝟒^𝟐𝑺_𝟕 . Donc 𝑃(0), 𝑃(1) et 𝑃(2) sont vraies.

Et on a : 𝑑(1) = 𝑆_K , 𝑑(3) = 𝑆_M𝑆_N et 𝑑(5) = 𝑆_M^P𝑆_N .

Hérédité : Supposons 𝑃(𝑛) vraie jusqu’à un certain rang 𝑘 ≥ 2. 𝑃(𝑘 + 1) est-elle vraie ? 2(𝑘 + 1) + 1 = 2𝑘 + 3.

- si 𝟐𝒌 + 𝟑 est de la forme 𝟒𝒑 − 𝟏 :

2𝑘 + 3 = 4𝑝 − 1 ⟺ 𝑘 = 2(𝑝 − 1) donc 𝒌 𝐞𝐬𝐭 𝐩𝐚𝐢𝐫.

2𝑘 + 3 = 4𝑝 − 1 ⟺ 𝑝 =𝑘 2+ 1.

2𝑘 + 3 = 4𝑝 − 1 ⟺ 2𝑝 + 1 = 𝑘 + 3 On a alors : 2𝑘 + 3 =2𝑘 + 3

𝑘 + 3 × (𝑘 + 3) =4𝑝 − 1

2𝑝 + 1× (𝑘 + 3) = 𝑆_b(𝑘 + 3).

Or, 𝑘 ≥ 2 ^cdcKefg 2𝑘 + 1 ≥ 𝑘 + 3.

D′où, par hypothèse de récurrence : 𝒅(𝟐𝒌 + 𝟑) = 𝑺_𝒌

𝟐c𝟏

𝒅(𝒌 + 𝟑) . Donc 𝑷(𝒌 + 𝟏) est vraie.

- si 𝟐𝒌 + 𝟑 est de la forme 𝟒𝒑 + 𝟏 :

2𝑘 + 3 = 4𝑝 + 1 ⟺ 𝑘 = 2𝑝 − 1 donc 𝒌 𝐞𝐬𝐭 𝐢𝐦𝐩𝐚𝐢𝐫.

2𝑘 + 3 = 4𝑝 + 1 ⟺ 𝑝 =𝑘 + 1 2 . 2𝑘 + 3 = 4𝑝 + 1 ⟺ 3𝑝 + 1 =3𝑘 + 5

2 . 2𝑘 + 3 = 4𝑝 + 1 ⟺ 2𝑝 + 1 = 𝑘 + 2 . 2𝑘 + 3 = 4𝑝 + 1 =3(4𝑝 + 1)

3 = 12𝑝 + 3

3 =4(3𝑝 + 1) − 1 3 =4(3𝑝 + 1) − 1

2(3𝑝 + 1) + 1×2(3𝑝 + 1) + 1

3 = 𝑆_qbcK× (2𝑝 + 1) = 𝑆_qbcK(𝑘 + 2).

Or, 𝑘 ≥ 2 ^cdcKefg 2𝑘 + 1 ≥ 𝑘 + 3 > 𝑘 + 2.

D′où, par hypothèse de récurrence : 𝒅(𝟐𝒌 + 𝟑) = 𝑺𝟑𝒌c𝟓

𝟐 𝒅(𝒌 + 𝟐) . Donc 𝑷(𝒌 + 𝟏) est vraie.

Conclusion : ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑃(𝑛) est vraie.

On a alors : • Si 𝑛 est impair, 𝒅(𝟐𝒏 + 𝟏) = 𝑺𝒏c𝟏

𝟐 𝒅(𝒏 + 𝟐) . • Si 𝑛 est pair, 𝒅(𝟐𝒏 + 𝟏) = 𝑺𝟑𝒏

𝟐 c𝟏𝒅(𝒏 + 𝟏) .

Applications numériques : - Si 𝑛 = 3, 𝑑(7) = 𝑆_P × 𝑑(5) donc 𝟕 = 𝑺_𝟐𝑺_𝟒^𝟐𝑺_𝟕 . - Si 𝑛 = 4, 𝑑(9) = 𝑆_N × 𝑑(5) donc 𝟗 = 𝑺_𝟒^𝟐𝑺_𝟕^𝟐 .

- Si 𝑛 = 5, 𝑑(11) = 𝑆_q × 𝑑(7) donc 𝟏𝟏 = 𝑺_𝟐𝑺_𝟑𝑺_𝟒^𝟐𝑺_𝟕 . - Si 𝑛 = 6, 𝑑(13) = 𝑆_K{ × 𝑑(7) donc 𝟏𝟑 = 𝑺_𝟐𝑺_𝟒^𝟐𝑺_𝟕𝑺_𝟏𝟎 . - Si 𝑛 = 7, 𝑑(15) = 𝑆_M × 𝑑(9) donc 𝟏𝟓 = 𝑺_𝟒^𝟑𝑺_𝟕^𝟐 .

Programme Python donnant la décomposition d’un entier impair Il renvoie les indices des S

.

Application numérique

a) Calculer 𝑓(𝑛) pour les huit nombres premiers 𝑛 = 61, 67, … ,97.

Remarque : Dans mon interprétation de 𝑓, les fractions répétées sont comptées plusieurs fois.

𝑓(61) = 𝟕 et 𝑓(67) = 𝑓(71) = 𝑓(77) = 𝑓(81) = 𝑓(87) = 𝑓(91) = 𝑓(97) = 𝟖.

Remarque : Le fait qu’une valeur diffère des sept autres me laisse penser que mon algorithme de construction ne fournit pas forcément des solutions minimales...

Il donne : 61 = 𝑆_M^P𝑆_N^P𝑆_•𝑆_Kq𝑆_M‚ et 67 = 𝑆_P𝑆_q𝑆_M^P𝑆_ƒ𝑆_N𝑆_„𝑆_KN. b) Calculer 𝑓(𝑛) pour les entiers impairs de 2011 à 2021 (bornes incluses).

𝑓(2 011) = 𝑓(2 013) = 𝑓(2 015) = 𝑓(2 017) = 𝑓(2 019) = 𝑓(2 021) = 𝟏𝟐.