D403 ‒ Une bien jolie couverture
Trouver le triangle d'aire minimale qui couvre n'importe quel triangle dont les longueurs des côtés n'excèdent jamais la valeur 1.
Ébauche de solution proposée par Patrick Gordon
Le triangle cherché doit a minima couvrir le triangle équilatéral de côté 1 donc se superposer à celui-ci. L'aire minimale est donc au moins égale à √3/4.
Le triangle équilatéral de côté 1 (nous l'appellerons le "triangle E" par commodité) est suffisant pour couvrir certains des triangles qui ont 0 ou 1 côté de longueur 1.
Si un triangle a 0 côté de longueur 1, amenons-le à en avoir 1 par homothétie. On raisonnera donc par a fortiori dans le cas suivant.
Si un triangle a 1 côté de longueur 1, alignons ce côté, soit AB, sur l'un de ceux du triangle E. Les côtés AC et BC sont par hypothèse < AB et les angles en A et B sont donc inférieurs à l'angle en C de par la loi des sinus. Il en résulte que C > 60°. Si A et B sont < 60°, ABC "tient" dans le triangle E.
Sinon, on raisonnera par a fortiori dans le cas d'un triangle qui a 2 côtés de longueur 1.
Si un triangle a 2 côtés de longueur 1, soit AB et BC pour fixer les idées, il ne "tient" pas dans le triangle E, sauf si l'angle de ces deux côtés est de 60° (cet angle ne peut dépasser 60° car le 3ème côté dépasserait 1). La configuration courante sera donc :
La donnée du demi-angle ABC (noté ) détermine tous les angles de la figure. Dans le cas limite où = 30°, le triangle ABC est équilatéral et "tient" donc dans le triangle E.
Si < 30°, l'idée est de prolonger le triangle ABC de manière à former un triangle équilatéral A'BB' (non entièrement tracé : il manque les segments AA' et BA', implicites) avec donc un angle de 60° en B'. La longueur de B'C, notée x, résulte de la donnée de
Ce triangleA'BB' est le plus petit possible qui couvre ABC. Calculons en effet son aire, en voyant comment x résulte de la donnée de
La loi des sinus dans le triangle ACB' donne :
B'C = x = sin (30° – AC / sin 60° = 4 sin sin (30° – √3 = 2/√3 cos (30° – 2
D'où le côté du "triangle couvrant" A'BB' : 1 + x = 2/√3 cos (30° – 2
Pour qu'il couvre tous les triangles de type ABC (deux côtés égaux à 1, le troisième < 1), il faut prendretel que+ x soit maximal. On montre aisément que cela se réalise pour = 15° et l'on calcule 1 + x = 2/√3 = 1, 1547. D'où une aire de (2/√3)²√3/4 = √3/3
Soulignons que le triangle A'BB' est bien le plus petit qui couvre tous les ABC de donné.
Une mise en place avec BC sur l'un des côtés du triangle E demanderait une hauteur qui pourrait aller jusqu’à 1 pour = 0, d'où un côté de 2/√3. Ce n'est plus le triangle E (qui a pour côtés 1), mais le triangle équilatéral que nous venons de trouver.
Une autre idée aurait pu être de mener la perpendiculaire à BC en B et de la croiser par une droite BA' à 60° ( = 30°). Mais on aurait eu BA' = 2 donc CA' = √3 et par conséquent une aire de √3/2.
