Enoncé G126 (Diophante) Les Pucelles et les Ziguettes
Zig rencontre Puce accompagné de deux filles.On considère les deux va- riantes suivantes :
V1 Puce dit à Zig : ce sont mes filles ; je promène mes enfants deux par deux au hasard ; chaque jour j’en tire deux au sort ; j’ai 4 enfants en tout.
Zig se demande quelle est la répartition la plus probable de ces 4 enfants.
Pouvez-vous l’aider ?
V2 Puce ne dit pas à Zig combien il a d’enfants, mais Zig le sait. Zig calcule qu’il y a 3 fois plus de chances que Puce ait plus de filles que de garçons que le contraire. Combien Puce a-t-il d’enfants ?
Le lendemain, Zig rencontre à nouveau Puce.
Zig dit à Puce : « Quant à moi, j’ai deux enfants qui ne sont pas des jumeaux. L’un d’eux est une fille qui est née un mardi. » Quelle est la probabilité que j’aie deux filles ?
Nota : on admet que la probabilité fille/garçon est 1/2 - 1/2 et que, pour les naissances, les jours de la semaine sont équiprobables.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Jour 1 variante 1
L’événement “il y a f filles parmi 4 enfants et le choix au hasard de deux enfants parmi 4 donne 2 filles” a pour probabilité
2−4C4fC4−f0 Cf2
C42 = 2−4C2f−2,
soit 1/16, 1/8, 1/16 selon quef = 2, 3 ou 4. La probabilité totale est 1/4, probabilité que deux enfants pris au hasard soient deux filles.
Le théorème de Bayes conduit à attribuer aux valeurs possibles de f des probabilités proportionnelles à l part qu’ont ces valeurs dans la probabilité totale, soit 1/4, 1/2 et 1/4 selon quef = 2, 3 ou 4.
La répartition la plus probable (une chance sur deux) est 3 filles pour 1 garçon.
Jour 1 variante 2
Soit n le nombre d’enfants de Puce. Le raisonnement de la variante 1 devient : l’événement “il y af filles parmi nenfants et le choix au hasard de deux enfants parmindonne 2 filles” a pour probabilité
2−nCnfCn−f0 Cf2
Cn2 = 2−nCn−2f−2.
La somme de ces termes pour 2≤f ≤nest 1/4, comme précédemment.
Ainsi la probabilité attribuée à chaque valeurf est q(f) = 22−nCn−2f−2. On nous donne Pr{f > n−f} = 3 Pr{f ≤ n−f}, et comme la somme des probabilités de ces deux événements complémentaires est 1,
P = Pr{f ≤n−f}= 1/4.
J’observe queq(f) =q(n+ 2−f) ; cela conduit à disttinguer deux cas.
Si n est pair, pour k = 0 à n/2−2, on trouve q(n/2−k) dans P et le terme égalq(n/2 + 2 +k) dans 1−P.
La différence 1−2P =q(n/2 + 1) = 22−nCn−2(n−2)/2 = 1/2.
Si n est impair, pour k = 0 à (n−5)/2−2, on trouve q((n−1)/2−k) dansP et le terme égal q((n+ 5)/2 +k) dans 1−P. La différence 1−2P =q((n+ 1)/2) +q((n+ 3)/2) = 22−nCn−1(n−1)/2= 1/2.
Posantn= 2m+ 1 ou 2m+ 2, on est donc amené à chercher des puissances de 2 parmi lesC2mm , ce qui exige qu’il n’y ait pas de nombre premier >2 entrem et 2m, d’oùm= 1 par le postulat de Bertrand.
n= 3 ne convient pas, car alors 1−2P = 1, P = 06= 1/4. Il est d’ailleurs évident que les deux ou trois filles sont alors plus nombreuses que le garçon, unique s’il existe.
n= 4 convient, avec 1−2P = 2−2C22 = 1/2,P = 1/4, (1−P)/P = 3.
Jour 2
Pour chacun des enfants de Zig, le couple (genre, jour de naissance dans la semaine) peut prendre 14 valeurs. Puce combine ces possibilités dans un tableau 14×14, affectant les lignes à l’aîné des enfants et les colonnes au second. La première ligne et la première colonne sont affectées aux filles nées un mardi ; chaque ligne et chaque colonne contient aussi 7 cases
“garçon”.
Alors qu’a priori les 196 cases sont équiprobables, l’indication de Zig limite les possibilités aux cas de la réunion de la première ligne et de la première colonne, soit 27 cases, dont 14 comportent la présence d’un garçon. Ainsi la probabilité que Zig ait deux filles est
13/27
.Sans la précision du mardi, Puce utiliserait un tableau 2×2. Sachant qu’il y a une fille, les possibilités se limitent à 3 cases dont 2 comportent des garçons : la probabilité de deux filles n’est que 1/3, ce qu’on peut retrouver par le théorème de Bayes comme dans la variante 1.
Ce fait est cité qualitativement dans les livres de bridge comme “principe du moindre choix” : par exemple, Dame et Valet d’une couleur sont chez les adversaires, et le déclarant voit l’un jouer la Dame. A-t-il aussi le Valet ? S’il avait aussi le Valet, il aurait équivalemment pu le jouer à la place de la Dame ; il ne l’a pas fait, les probabilités sont en faveur de ce que le Valet soit dans l’autre main, et que le premier adversaire n’ait pas eu le choix entre Dame et Valet.
