E 122 Antoine Verroken A. 1. Le nombre de grains de sable est égal à ‘a(n)’ dans la relation de récurrence :
a(n) = a(n-2) + a(n-3) (1)
solution de (1) :
a(n) – a(n-2) – a(n-3) = 0 x^3 – x – 1 = 0 (2) x1 = 1.324717958..
x2 = -0.6623589786 + 0.5622795125*i i = sqrt(-1)
x3 = -0.6623589786 – 0.5622795125*I (3)
solutions réelles de (1) sont données par r^n*sin( n*t ) et r^n*cos( n*t) oú r=sqrt( 0.6623589786^2 + 0.56227995125^2 ) = 0.8688369621
tg(t) = -0.56227995125/0.6623589786 t = 2.437643
a(n) = m*1.324717958^n + p*0.8688369621^n*cos(n*2.437643) + q*0.8688369621^*
sin(n*2.437643) (4)
m,p,q sont des constantes qu’on determine en mettant a(1)=0 , a(2) = 2 ,a(3) = 3
dans (3) ; on obtient m = 1 p = 2 q = 0 (5)
2. Exemples de a(n) :
n a(n) a(n) / n
5 5 1
11 22 2
17 119 7
43 178364 4148
67 152149094 2770882
101 2160059765855 21386730355
B. n | a(n) si n est un nombre premier
(3) ( X – x1 ) * ( X – x2 ) * ( X – x3 ) = X³ - X – 1 (6) x1,x2 et x3 sont des nombres algébriques
développement de (6) donne : x1 + x2 + x3 = 0
x1*x2 + x1*x3 + x2*x3 = -1 x1*x2*x3 = 1
calculer x1^n + x2^n + x3^n n = 2
x1² + x2² + x3² = ( x1 + x2 + x3 )² - 2*( x1*x2 + x1*x3x +x2*x3 ) = 0² - 2*(-1) = a(2)
n = 3
x1³ + x2³ + x3³ = 3 + 0 = a(3)
par induction on prouve que a(n) = x1^n + x2^n + x3^n (7) appliquer le petit théorème de Fermat avec n = p nombre premier
x1^p + x2^p + x3^p == x1 + x2 + x3 = 0 ( mod p )
C. nombres composés m dont m|a(m) : 271441 = 521²
904631 = 7*13*9941 16532714 = 2*11²*53*1289 24658561 = 19*271*4789
