D 175 Antoine Verroken
1. Bennin a prouvé que chaque triangle possède un ou trois “ égalisateurs L “ et que chaque égalisateur L passe par le centre du cercle inscrit du triangle.
Le cercle inscrit touche BC en P , et BP = s – b ; s = ( a + b + c ) / 2 ; a,b,c côtés du triangle.On en déduit les coôrdonnées des points K , I , H :
K : milieu de BC
I : centre du cercle inscrit.
H : milieu de AP
Posons M = sqrt( s * ( s – a ) * ( s – b ) * ( s – c ) / c^2 ) B = sqrt( 1/s* ( s – a ) * ( s – b ) * ( s – c ) )
(1) yK = M xK = sqrt( a^2 – 4 * M^2 ) / 2
(2) yI = B xI = s – b
(3) yH = ( s – b ) * M / a xH = [ c + ( s – b ) / a * sqrt( a^2 – 4*M^2 ]/2
2. point de rencontre des deux droites L et L’ ( = K – H ).
a. comme L passe par le centre du cercle inscrit, on controle si I se trouve sur la droite KH en égalisant les pentes des deux droites KI et IH :
y k – y i y i – y h
(4) --- = --- x k – x i x i – x h
(1) , (2) ,(3) dans (4) donne une égalité; donc le point de rencontre des droites L et L’ est I , le centre du cercle inscrit.
b. comme la longueur ‘ z ‘ de l’égalisateur L est donnée par : z^2 = c^2 – ( a + b – c )^2 / 4 = c^2 – ( r + t )^2
et que L passe par I on pourrait établir des équations qui détermineraient les points d’ intersection de L avec les côtés du triangle; cela donnerait la possi- bilité d’établir l’équation de L et de déterminer le point de rencontre de L avec KH.
a b
z
r
t
c
z^2 = c^2 – ( a + b – c )^2 / 4 = c^2 – ( r + t )^2 C
P N K
I H
B Q A
NQ = L KH = L’ P point de tangence I centre cercle inscrit
