Si F0 est vide, on peut poser f = 1 partout et si F1 est vide f = 0 partout

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cours 12, le mercredi 2 mars 2011

Densit´e des fonctions continues

Lemme d’Urysohn métrique. Si F0 et F1 sont deux fermés disjoints dans un espace métrique (X, d), il existe une fonction continue f sur X, à valeurs dans [0,1], telle que f = 0sur F0 etf = 1 sur F1.

Preuve. — Si F0 et F1 sont non vides, on posera

∀x ∈X, f(x) = d(x,F0) d(x,F0) +d(x,F1).

Il faut v´erifier que le d´enominateur ne s’annule pas : si d(x,F0) = 0, alors x ∈ F0

puisque F0 est ferm´e, donc x /∈ F1 puisque les deux ensembles sont disjoints, et alors d(x,F1)>0. La fonction f est donc continue, et v´erifie les conditions voulues.

Si F0 est vide, on peut poser f = 1 partout et si F1 est vide f = 0 partout.

Remarque.Le lemme d’Urysohn reste vrai pour certains espaces topologiques généraux, par exemple pour un espace topologique compact K quelconque. Le problème dans ce cas est qu’aucune fonction réelle continue sur K n’est donnéea priori, et la preuve est beaucoup plus délicate.

Dans un espace topologique X où le lemme d’Urysohn est vrai, on voit que deux fermés disjoints F⁰et F¹pourront être séparés par deux ouverts disjoints, à savoir U⁰={f <1/2}

et U¹ = {f > 1/2} : le vrai lemme d’Urysohn consiste à montrer qu’inversement, cette propriété de séparation des fermés disjoints permet de construire une fonction f continue sur X. On dit qu’un espace topologique est normal quand il possède cette propriété de séparation. Tout espace topologique compact est normal.

Proposition.Soient (X, d)un espace m´etrique,µune mesure sur la tribu bor´elienneBX

de X, et Bun bor´elien deX contenu dans un ouvert W de mesure finie ; pour toutε >0, il existe une fonction continue ϕ sur X, nulle en dehors de W, telle que

0≤ϕ≤1, Z

X

|ϕ−1B|dµ < ε.

Preuve. — Consid´erons la mesure finie ν sur (X,BX) d´efinie par

∀A ∈ BX, ν(A) =µ(A∩W) ;

c’est aussi la mesure à densité dν(x) = 1W(x) dµ(x). Soit B un borélien de X contenu dans W ; d’après le lemme précédent, on peut encadrer B,

F⊂B⊂V,

de fa¸con que ν(V\F)< ε, et on peut supposer V ⊂ W (sinon, on remplace l’ouvert V par l’ouvert V1 = V∩W qui donne un meilleur encadrement). On note que V\F⊂W, donc V\F = (V\F)∩W et

µ(V\F) =µ (V\F)∩W

=ν(V\F)< ε.

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Comme F⊂V, les fermés F et V^c sont disjoints. D’après le lemme d’Urysohn, il existe une fonction continue ϕsur X telle queϕ= 0 sur le fermé V^c, ϕ= 1 sur F et 0≤ϕ≤1 sur X ; on en déduit que

1F ≤ϕ≤1V,

et comme 1B admet le mˆeme encadrement 1F ≤1B ≤1V, on a

|ϕ−1B| ≤1V−1F =1V\F, ce qui permet de conclure,

Z

X

|ϕ−1B|dµ≤ Z

X

1V\Fdµ=µ(V\F)< ε.

Un peu plus loin dans le cours, on utilisera la proposition précédente pour montrer que l’espace des fonctions continues à support compact est dense dans l’espace normé L¹(R,B, λ) ; on aura aussi densité dans l’espace de Hilbert L²(R,B, λ) pour les mêmes raisons.

Remarque. Si A est un borélien deRet µune mesure sur R qui donne une mesure finie aux parties bornées deR, on peut trouver pour toutε >0 un ouvert V tel queµ(V\A)< ε, mais on ne peut pas écrire cette approximation comme différence des deux mesuresµ(V) et µ(A), qui peuvent être toutes les deux infinies. Pour trouver V, on applique le résultat des mesures finies à chaque Aⁿ = A∩]−n, n[,n≥0, qu’on approche par un ouvert Vⁿ ⊂]−n, n[

tel que Aⁿ ⊂Vⁿ etµ(Vⁿ)−µ(Aⁿ)<2⁻ⁿ⁻¹ε, et on consid`ere l’ouvert V =S

nVⁿ. En appliquant le résultat précédent au borélien complémentaire A^c, on voit qu’on peut trouver un encadrement F⊂A⊂V tel que µ(V\F)< ε.

Pour une telle mesure µ, et en particulier pour la mesure de Lebesgueλsur R, on peut d´efinir les ensembles n´egligeables comme ceux qui sont contenus dans des ouverts de mesure arbitrairement petite.

III.3. Classe monotone, unicité de mesures III.3.1. Théorème de classe monotone

D´efinitions.Un π-syst`eme de parties de E est une classe P ⊂ P(E) qui est stable par intersection finie.

Un λ-système L de parties de E contient E comme élément, est stable par union dénombrable croissante et différence propre, c’est-à-dire que :

— la classe L admet E pour ´el´ement, E∈ L;

— si (Bn) ⊂ L est une suite croissante d’éléments de L, la réunion S

nBn est dans L;

— si A et B sont deux ´el´ements de L et si A ⊂B, alors B\A∈ L.

Comme le λ-système L contient E, il est stable par passage au complémentaire : pour tout A ∈ L, le complémentaire A^c = E\A apparaˆıt comme ^hhdifférence propreⁱⁱ de deux éléments de L. La classe L est stable par union disjointe : si A,B sont disjoints et éléments de L, alors A∪B est dans L; en effet, le complémentaire A^c est dans L, contient B, donc L contient la différence propre A^c \B = A^c∩B^c, et par conséquent la classe L contient le complémentaire A∪B.

Exemple fondamental. Si on a deux mesures finies µ et ν sur (E,F) et de mˆeme masse, µ(E) =ν(E), la classe des A∈ F sur lesquelsµ et ν co¨ıncident,

L ={A∈ F :µ(A) = ν(A)}

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est un λ-syst`eme de parties de E. Cet exemple sera le plus important pour nos applica- tions.

La famille formée de l’ensemble vide et des intervalles fermés bornés [a, b] de R est stable par intersection finie ; cette famille est un π-système de parties de R.

Remarque. Si un λ-syst`eme L ⊂ P(E) est stable par intersection finie, alors c’est une tribu de parties de E.

Preuve. — On a E∈ L par hypothèse, et on a dit queLest stable par complémentaire ; si le λ-système L est stable par intersection finie et complémentaire, il est stable par réunion finie. Si (An)⊂ L est une famille dénombrable, on voit que sa réunion S⁺∞

n=0An

s’obtient comme réunion de la suite croissante d’éléments de L donnée par Bn= A0∪. . .∪An ∈ L,

et il en r´esulte que L est une tribu.

Il existe plusieurs variantes de théorèmes de classe monotone. Nous allons énoncer la forme qui nous sera la plus utile, car on la reverra dans la partie ^hhprobabilitésⁱⁱ du cours, à propos de la notion d’indépendance. On commence par un lemme technique assez facile.

Lemme B2.Soit Lun λ-système de parties de E, qui contienne un ensemble fixé B; la classe DB de parties de E définie par

DB ={A⊂E : A∩B∈ L}

est un λ-syst`eme.

Preuve. —Elle est facile et tout à fait semblable à celle du lemme B1 du cours précédent.

La classe DB contient E d’après l’hypothèse, puisque E∩B = B∈ L. Elle est stable par différence propre, car si A1 ⊂A2 sont dans DB,

(A2\A1)∩B = (A2∩B)\(A1∩B)∈ L,

donc A2\A1 ∈ DB. Si (A_n) est une suite croissante d’éléments de DB, on écrit [

n

An

∩B =[

n

An∩B

∈ L, ce qui montre que S

nAn est dans DB. La classe DB est donc un λ-syst`eme.

Théorème de classe monotone. Si un λ-système L contient un π-système P, alors L contient la tribu σ(P) engendrée par P.

Preuve. — Désignons par L0 le plus petit λ-système contenant P (c’est le λ-système engendré par la classe P, mais nous n’utiliserons pas cette notion en dehors de cette preuve. Son existence se démontre comme celle de la tribu engendrée, en remarquant que toute intersection de λ-systèmes est un λ-système) ; évidemment, L0 est contenu dans le λ-système L, puisque L contient P par hypothèse. Si on montre que L0 est stable par intersection, on aura gagné d’après la remarque précédente : la classeL0 sera une tribu contenant P, donc contenant σ(P) et finalement

σ(P)⊂ L0 ⊂ L,

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le λ-syst`eme L contient bien la tribu engendr´ee par P, comme promis.

La preuve de la stabilité de L0 par intersection finie se fait en deux temps, comme on a déjà fait une autre fois. Dans un premier temps, on fixe P∈ P et on considère

DP ={B⊂E : B∩P∈ L0}.

Cette classe contient P et est un λ-syst`eme d’apr`es le lemme B2 : on a donc L0 ⊂ DP, pour tout P∈ P, ce qui nous dit que :

∀P∈ P, ∀B∈ L0, B∩P∈ L0. Ensuite, on fixe B∈ L0 et on pose

DB ={A⊂E : A∩B∈ L0}.

C’est à nouveau unλ-système, et il contient encore P, grâce au premier pas de la preuve ;

`a nouveau, on conclut que L0 ⊂ DB, pour tout B ∈ L0, ce qui donne maintenant la stabilit´e de L0 par intersection finie, cqfd.

III.3.2. R´esultats d’unicit´e

Lemme. Si deux mesures finies sur (E,F), de mˆeme masse µ(E) =ν(E), co¨ıncident sur une classe C, stable par intersection et qui engendre la tribu F, elles sont ´egales.

Preuve. — On considère la classeP =C de parties de E formée des éléments deC; c’est un π-système ; comme on a supposé que µ(E) =ν(E), on voit que

L ={B∈ F :µ(B) =ν(B)}

est un λ-système qui contient le π-système P, donc par le théorème de classe monotone, la classe L contient la tribu engendrée par P, qui est égale à F d’après l’hypothèse.

Ainsi, µ=ν.

Lemme 2. On suppose que µ et ν sont deux mesures sur (E,F), et on suppose que C est une classe de parties de E telle que

— la classe C est stable par intersection finie et engendre la tribu F;

— pour tout C∈ C, on a µ(C) =ν(C)<+∞;

— il existe une suite croissante (Cn) dans C dont la r´eunion est E.

Alors les deux mesures µ etν sont ´egales.

Preuve. — Pour tout entier n≥ 0 les deux mesures finies µn et νn sur (E,F) d´efinies par

∀A ∈ F, µn(A) =µ(A∩Cn), νn(A) = ν(A∩Cn)

sont égales d’après le lemme précédent ; pour tout A∈ F, on a A∩Cn%A donc par la monotonie des mesures µet ν,

µ(A) = lim

n µ(A∩Cn) = lim

n µn(A) = lim

n νn(A) = lim

n ν(A∩Cn) =ν(A).

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Corollaire. Si deux mesures sur (R,B) donnent une même mesure finie à tous les intervalles [a, b], a≤b, elles sont égales.

Si deux mesures sur (R,B) donnent une même mesure finie à tous les intervalles semi-ouverts ]a, b], a≤b, elles sont égales.

Si deux mesures finies sur (R,B) donnent une même mesure à tous les intervalles de la forme ]−∞, x], pour x∈R, elles sont égales.

Preuve. — La classe C formée des [a, b] et de l’ensemble vide est stable par intersection, engendre la tribu borélienne, et R est réunion de la suite [−n, n] d’éléments de C. On peut déduire le deuxième énoncé du premier, ou bien refaire la même preuve, cette fois avec la classe C formée des ]a, b]. Pour la dernière affirmation, comme les mesures sont supposées finies, on obtient les mesures de tous les ensembles ]a, b] par différence.

Exemple d’application.Supposons que f, fonction borélienne définie sur R, à valeurs réelles ou complexes, est Lebesgue-intégrable sur tout intervalle fermé borné [a, b], et vérifie

∀a, b∈R,

Z b

a

f(x) dx= 0.

Alors, la fonction f est nulle Lebesgue-presque partout (et r´eciproquement, toutes ces int´egrales sont nulles quandf est nulle presque partout).

Preuve. — Si f est à valeurs complexes, on voit que ses parties réelles et imaginaires ont aussi des intégrales nulles sur tout segment ; si le résultat est établi dans le cas réel, on déduira que Ref et Imf sont nulles presque partout, donc f aussi. Si f est à valeurs réelles, on considère les deux mesures µ⁺ etµ⁻ sur (R,B_R) qui sont définies par dµ⁺(x) =f⁺(x) dx et dµ⁻(x) =f⁻(x) dx. On a pour tous a≤b

µ⁺([a, b]) = Z b

a

f⁺(x) dx, µ⁻([a, b]) = Z b

a

f⁻(x) dx.

donc

µ⁺([a, b])−µ⁻([a, b]) = Z b

a

f⁺(x)−f⁻(x) dx =

Z b

a

f(x) dx= 0.

D’après les résultats d’unicité, on en déduit que µ⁺ =µ⁻. Considérons alors A⁺={f⁺ >0}, A⁻ ={f⁻ >0} ∈ B.

On a

µ⁺(A⁺) =µ⁻(A⁺) = Z

R

1A⁺(x)f⁻(x) dx= 0,

car on constate que1A⁺(x)f⁻(x) = 0 pour toutx. On constate aussi que1A⁺(x)f⁺(x) = f⁺(x), donc

Z

R

f⁺(x) dx= Z

R

1A⁺(x)f⁺(x) dx=µ⁺(A⁺) = 0,

et commef⁺ est≥0 il en r´esulte qu’elle est nulle Lebesgue-presque partout. On obtient de mˆeme que f⁻ est nulle Lebesgue-presque partout, donc f aussi.

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Corollaire. La mesure de Lebesgue λ sur R est la seule mesure µ sur (R,B) qui est telle que µ([a, b]) =b−a pour tous a < b.

Remarque. On pourrait prouver ce dernier résultat, ainsi que le premier lemme de la section, ^hhà la mainⁱⁱ à partir des résultats d’approximation, sans utiliser le théorème de classe monotone, dans le cas de mesures sur la tribu borélienne de R : en deux coups de monotonie de la mesureµ, supposée finie sur les bornés, on arrive à calculer la mesure pour µ de tous les ensembles G^δ, à partir des mesures des intervalles. Comme tout borélien B est contenu dans un G^δ de même mesure, la mesure µ est complètement déterminée par ses valeurs sur les intervalles.

Corollaire. La mesure de Lebesgue λI sur un intervalle non vide I ⊂ R est la seule mesure µ sur (I,BI) qui est telle que µ([a, b]) =b−a pour tous a < b ´el´ements de I.

Preuve. — La classe des segments [a, b] contenus dans I est un π-système de parties de I, de mesure finie égale à b−a; pour pouvoir appliquer le lemme 2, on doit vérifier deux choses : vérifier que ces segments engendrent la tribu borélienne de I, et vérifier qu’il existe une suite croissante de segments dont la réunion est égale à I.

La tribu borélienne de I est la tribu trace de B_R, elle est donc engendrée par les traces d’une classe génératrice pour B_R, par exemple tous les intervalles J = [c, d]∩ I, où c < d sont deux réels. Elle est donc engendrée par les intervalles J⊂I.

Pour atteindre nos deux objectifs, il suffit de voir que tout intervalle J contenu dans I est réunion finie ou dénombrable d’intervalles [a, b]. Si α≤β sont les bornes de J (finies ou infinies), quatre cas se présentent. Si α, β ∈ J, alors J = [α, β] ; si α ∈ J et β /∈ J, alors α < β, J = [α, β[ et il existe une suite croissantebn de points tels queα < bn< β, qui tend vers β, donc b_n∈J et

J =[

n

[α, bn].

Le cas α /∈ J et β ∈ J est identique, en introduisant une suite (a_n) de points de J qui décroˆıt vers α; dans le dernier cas, l’intervalle J est égal à ]α, β[ et on voit que J est la réunion des segments [a_n, b_n].

Fonction de r´epartition

On a dit qu’une mesure µ sur (R,B_R), finie sur tous les boréliens bornés, est complè- tement caractérisée par la donnée des valeurs µ(]a, b]) que prend la mesure µ sur les intervalles de la forme

]a, b], a, b∈R, a≤b.

On peut donc caract´eriser une mesure finie µ sur R au moyen de la fonction x∈R→Fµ(x) =µ(]−∞, x]) ;

en effet, si la fonction Fµ est donn´ee, on retrouve les mesures des intervalles ]a, b], µ(]a, b]) = Fµ(b)−Fµ(a)

pour tous a≤b. Dans le cas d’une mesure infinie, on ne peut pas utiliser des intervalles partant de−∞, dont la mesure peut être infinie et ne permet plus de calculer lesµ(]a, b]) par différence ; mais on a supposé que la mesure des bornés est finie pourµ, ce qui permet de considérer

Fµ,0(x) =µ(]0, x]) si x≥0, Fµ,0(x) =−µ(]x,0]) si x <0 ;

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on voit que Fµ,0(x) =µ(]u, x])−µ(]u,0]) pour tout u≤min(x,0). Notons que Fµ,0(0) = µ(]0,0]) =µ(∅) = 0. On a ici encore

µ(]a, b]) = Fµ,0(b)−Fµ,0(a)

pour tous a ≤b. Quand µ est une mesure finie sur R, on voit que Fµ,0 = Fµ−Fµ(0) : les deux fonctions F_µ,0 et F_µ ne diffèrent que d’une constante, et elles auront donc les mêmes propriétés de croissance, continuité, et le cas échéant, la même dérivée.

Exemple. La mesure de Diracδc au pointc∈Rest définie en posantδc(B) = 1 sic∈B et δc(B) = 0 si c /∈ B. La fonction F = Fδc correspondante est égale à F(x) = 0 pour x < c et F(x) = 1 pour tout x ≥ c. Noter qu’au point de saut, la convention adoptée donne la valeur 1, qui est égale aux valeurs de F aux points plus à droite : la fonction est continue à droite.

Pour la mesure de Lebesgue, Fλ,0(x) =x pour tout r´eel x.

Proposition. Soit µ une mesure sur (R,B), finie sur les bornés ; la fonction F_µ,0 est croissante et continue à droite. Si µ est finie, on a le même résultat pour Fµ.

Preuve. — Posons F = Fµ,0. La croissance de F est facile `a d´emontrer : si x ≤ y, l’ensemble ]x, y] a une mesure ≥0, et on a dit que

F(y)−F(x) =µ(]x, y])≥0.

Montrons la continuité à droite en un point x≥ 0, par exemple. Considérons une suite (xn) qui tend vers x par la droite, ce qui permet de supposer que xn décroˆıt vers x; pour toutn, on a 0≤x≤xn, donc F(xn) =µ(]0, xn]). On voit que la suite d’ensembles (]0, xn]) décroˆıt vers l’ensemble ]0, x],

]0, x] =\

n

]0, xn]

(si t est dans l’intersection, on a 0 < t ≤ xn pour tout n, qui entraˆıne 0 < t ≤ x

à la limite ; l’autre inclusion est claire) ; on sait que la continuité décroissante de la mesure n’est pas toujours vraie, mais elle est vraie quand l’un des ensembles de la suite décroissante est de mesure finie, ce qui est vrai pour tous les bornés ]0, xn] d’après l’hypothèse sur µ. On a donc bien

µ(]0, x]) = lim

n µ(]0, xn]),

c’est-à-dire que F(x) = lim_nF(x_n). Cela prouve la continuité à droite de F.

Autres propri´et´es de la mesure de Lebesgue

Proposition. La mesure de Lebesgue est, à un multiple près, la seule mesure sur Rinva- riante par translation et finie sur les bornés. Autrement dit, la mesure de Lebesgue est la seule mesure µsur (R,B) invariante par translation telle queµ([0,1]) = 1.

Preuve. —Supposons queµest invariante par translation etµ([0,1]) = 1. Si on donne un entier n≥1, les intervalles

]k/n,(k+ 1)/n], k= 0, . . . , n−1

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sont tous de même mesure puisqueµest invariante par translation, et contenus dans [0,1], donc µ(]0,1/n])≤1/n. On en déduit que µ(]−1/n,1/n]) tend vers 0, doncµ({0}) = 0 et µ(]0,1]) = 1 ; il en résulte que

µ(]0,1/n]) = 1/n

pour tout entier n≥1. Si x >0, on ´ecritx=k/n+r, avec 0≤r <1/n donc k/n≤µ(]0, x])≤(k+ 1)/n

et on en d´eduit µ(]0, x]) = x pour tout x > 0 ; il en r´esulte que µ(]a, b]) = b−a par translation, pour tous a≤b. Doncµest la mesure de Lebesgue.

III.3.3. Changements de variable sur R Changement de variable lin´eaire sur R

Proposition. On considère le changement de variable linéaire y = ax+b, où a 6= 0; pour toute fonction f borélienne positive sur R, on a

Z

R

f(ax+b)|a|dx= Z

R

f(y) dy.

Pour toute fonctionf borélienne réelle ou complexe, la fonctionf est Lebesgue intégrable si et seulement si x → f(ax+ b) est intégrable, et dans ce cas on a la même égalité d’intégrales.

Preuve. — Définissons l’application T : R → R en posant T(x) = ax+b pour tout x réel ; l’application T est continue, donc borélienne ; considérons la mesureµ=|a|λsurR; comme le membre de gauche de l’égalité à démontrer s’écrit

Z

R

f(ax+b)|a|dx= Z

R

f(Tx) dµ(x),

il s’agit de v´erifier que l’imageν de la mesure µpar T co¨ıncide avec λ. Pour cela il suffit de calculer

ν([u, v]) =µ(T⁻¹([u, v])) =|a|λ(T⁻¹([u, v])).

On a

x∈ T⁻¹([u, v]) ⇔ (u≤ax+b≤v) ⇔ (u−b≤ax≤v−b) ;

sia > 0, l’image inverse T⁻¹([u, v]) est [(u−b)/a,(v−b)/a], de longueur (v−u)/a, donc µ T⁻¹([u, v])

=|a|λ T⁻¹([u, v])

=|a|(v−u)/a=v−u;

sia <0, l’image inverse est [(b−v)/|a|,(b−u)/|a|], de même longueur (v−u)/|a|, donc à nouveauµ(T⁻¹([u, v])) =v−u. L’image étant identifiée, le résultat découle de la formule du calcul d’une intégrale par rapport à une mesure image.

Cons´equence. La mesure de Lebesgue λ sur R est invariante par translation et par le retournement x→ −x.

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Changements de variables plus g´en´eraux, sur R

On a vu que la mesure de Lebesgue λJ sur J est la seule mesure telle queµ([a, b]) =b−a pour tout a ≤b, a, b∈J.

Proposition. Si ϕ est une bijection d’un intervalle ouvert I sur un intervalle ouvert J, de classe C¹, on aura pour toute fonction bor´eliennef : J→[0,+∞]

Z

I

f(ϕ(x))|ϕ⁰(x)|dx= Z

J

f(y) dy.

Preuve. —Siϕest continue et bijective, elle est monotone. Supposons par exemple pour le reste de la preuve queϕest d´ecroissante. On va montrer que l’image parϕde la mesure µ sur I d´efinie par dµ(x) = |ϕ⁰(x)|dx est la mesure de Lebesgue λJ de l’intervalle J.

Pour cela, il suffit de tester tous les intervalles ferm´es [u, v] contenus dans J, o`u u≤ v.

Comme ϕ est bijective, il existe α, β ∈ I tels que ϕ(α) = u et ϕ(β) = v; comme ϕ est suppos´ee d´ecroissante, on aβ < α et

ϕ⁻¹([u, v]) = [β, α].

On a donc, en d´esignant par ν l’image deµ par ϕ, ν([u, v]) =µ(ϕ⁻¹([u, v]) =µ(β, α) =

Z α

β

|ϕ⁰(x)|dx

=− Z α

β

ϕ⁰(x) dx=ϕ(β)−ϕ(α) =v−u= λJ([u, v]).

Le résultat découle maintenant de la formule d’intégration par rapport à une mesure image,

Z

J

f(y) dy= Z

J

f(y) dν(y) = Z

I

f(ϕ(x))|ϕ⁰(x)|dx.

Remarque. L’apparition de la valeur absolue de la dérivée peut surprendre, et sembler contredire la pratique de l’intégrale de Riemann. Ç a n’est bien sûr pas le cas. Si ϕ est une bijection décroissante de classe C¹ de l’intervalle [a, b] sur [α, β], on a β = ϕ(a), α=ϕ(b), et pour toute fonction f continue sur [α, β], on a pour la théorie de Riemann

Z β

α

f(y) dy= Z a

b

f(ϕ(x))ϕ⁰(x) dx = Z b

a

f(ϕ(x))|ϕ⁰(x)|dx.