Cours de math´ematiques
Int´egration
1 Cas d’une fonction positive
D´efinition 1. Soitf une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. Le plan est muni d’un rep`ere orthogonal. L’aire (exprim´ee en unit´es d’aire) du do- maine d´elimit´e par la courbe repr´esentative Cf de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’´equa- tions x =aet x=b est appel´ee int´egrale de la fonc- tion f entreaetb et est not´ee :
Z b a
f(x)dx
Cf
a b
Remarque 1.
Z b a
0 dx= 0 et Z a
a
f(x)dx= 0
Exemple 1. Calcul de Z 3
2
(2x+ 1)dx.
Th´eor`eme 1. Soitf une fonction continue et positive sur un intervalle[a;b]. La fonctionF(x) = Z x
a
f(t)dt est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [a;b], de plus c’est l’unique primitive de f sur [a;b]
s’annulant ena.
Remarque 2. Ce Th´eor`eme permet d’affirmer que toute fonction continue positive admet des primitives ! D´emonstration. au programme dans le cas d’une fonctionf monotone, la d´erivabilit´e de la fonctionF ´etant prouv´ee au moyen d’un encadrement d’origine g´eom´etrique de la quantit´eF(x+h)−F(x).
Corollaire 1. Soitf une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]etF une primitive quelconque def sur [a;b], alors :
Z b a
f(x)dx=h
F(x)ix=b
x=a=F(b)−F(a) D´emonstration. au programme.
Exemple 2. Calcul de Z 2
1
x3dx.
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Cours de math´ematiques Int´egration
Propri´et´e 1. Relation de Chasles
Soitf une fonction continue et positive sur un intervalle I et trois r´eels a6b6c de l’intervalle I, alors : Z b
a
f(x)dx+ Z c
b
f(x)dx= Z c
a
f(x)dx
D´emonstration. au programme, au moyen d’une interpr´etation g´eom´etrique.
Propri´et´e 2. Lin´earit´e de l’int´egrale
Soientf etg deux fonctions continues et positives sur un intervalle [a;b] etk un r´eel positif, alors : Z b
a
kf(x)dx=k Z b
a
f(x)dx
Z b a
(f(x) +g(x)) dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx
D´emonstration. au programme, en utilisant le Corollaire 1.
Propri´et´e 3. Soient f et g deux fonctions continues et positives sur un intervalle [a;b]. Si f(x) 6 g(x) pour tout x appartenant `a l’intervalle [a;b], alors :
Z b a
f(x)dx6 Z b
a
g(x)dx
D´emonstration. au programme, au moyen d’une interpr´etation g´eom´etrique.
Corollaire 2. In´egalit´e de la moyenne
Soitf une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. Si m6f(x)6M pour tout x appartenant
`
a l’intervalle[a;b], alors :
m(b−a)6 Z b
a
f(x)dx6M(b−a)
D´emonstration. au programme.
D´efinition 2. Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle[a;b]aveca < b. On appelle valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [a;b] :
1 b−a
Z b a
f(x)dx
Exemple 3. Calcul de la valeur moyenne de la fonction sinussur l’intervalle [0;π].
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Cours de math´ematiques Int´egration
2 Cas d’une fonction de signe quelconque
D´efinition 3. Soit f une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle [a;b], alors l’int´egrale de la fonction f entre a et b est ´egale `a la somme des aires des domaines d´efinis par les intervalles o`u la fonction f garde un signe constant multipli´ees par le coefficient −1 pour les intervalles o`u la fonction est n´egative.
Exemple 4. Interpr´etation g´eom´etrique de Z 3
−2
(x−1)dx.
On admet que toutes les propri´et´es de l’int´egrale vues pr´ec´edemment demeurent valables dans le cas d’une fonction continue de signe quelconque.
Propri´et´e 4. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b], alors :
Z b
a
f(x)dx
6 Z b
a
|f(x)|dx
D´emonstration. au programme.
Propri´et´e 5. Int´egration par parties
Soientu et v deux fonctions continues et d´erivables sur un intervalle [a;b]avec u′ etv′ continues, alors : Z b
a
u(x)v′(x)dx=h
u(x)v(x)ix=b x=a−
Z b a
u(x)′v(x)dx
D´emonstration. au programme.
Exemple 5. Calcul de Z 2
1
xln(x)dx.
On peut ´egalement g´en´eraliser la notion d’int´egrale pour des bornes en ordre d´ecroissant :
D´efinition 4. Soit f une fonction continue un intervalle[a;b], alors : Z a
b
f(x)dx=− Z b
a
f(x)dx
Les propri´et´es de l’int´egrale vues pr´ec´edemment demeurent valables `a l’exception de celles faisant inter- venir l’ordre en particulier l’in´egalit´e de la moyenne !
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