Géométrie analitique. De la nature et des propriétés principales des sections planes de toute surface conique du second ordre

G ^ERGONNE

Géométrie analitique. De la nature et des propriétés principales des sections planes de toute surface conique du second ordre

Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 16 (1825-1826), p. 361-372

<http://www.numdam.org/item?id=AMPA_1825-1826__16__361_0>

© Annales de Mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Annales de Mathématiques pures et appliquées » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale.

Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

36I

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

De ^la

^{nature et}

des proprietés principales des sections

planes ^de

^toute

surface conique ^{du second} ordre;

Par M. GERGONNE.

GENERATION DU CONE.

SOIT

^{une droite}

rapportée à

^{trois axes} de direction arbitraire.

Sup-

posons que ^cette droite passe par

l’origine

^des

coordonnées ,

^et

prenons pour ^ses deux

équations

Si m et n sont

donnés ,

^{cette droite sera} absolument déterminée de situation et

unique

^dans

l’espace. ^{Si ,}

^au

contraire,

^{ces deux}

coefficiens sont , à la

fois,

indéterminés et

indépendans,

^les

équa- tions

^ci-dessus

_pourront

, suivant les valeurs

qu’on

voudra attri- buer à m et n,

exprimer

indistinctement toutes les droites

qui

peuvent

^{être menées dans}

l’espace ,

par

l’origine.

Mais m et n, ^sans être déterminés ni

indépendans, peuvent

être liés par ^une

relation ;

^telle que

Alors,

^les

équations (I) n’exprimeront plus

^{ni une droite}

unique

ⁿⁱ

la totalité des droites

qu’on

peut ^{mener dans}

l’espace

^par

l’origine

des

coordonnées,

mais seulement une certaine série de ^ces droi- tes,

c’est-à-dire,

^{des droites se succédant sans}

interruption

^dans

Tom.

XVI , n.° XII , I.er juin

^I826.

47

362

GENERATION

l’espace,

^{et formant}

conséquemment ,

^{par leur}

^ensemble,

^{une sur-}

face

conique ^ayant

^{son sommet ou centre à}

l’origine. Voyons quelle

est

l’équation générale de

^{cette surface.}

En résolvant

l’équation (2)

par

rapport

^{à n, on en}

^tirera

^une

valeur de cette forme

qui , substituée

dans la deruiére des

équations (I) ,

^les

changera

eu celle-ci

qui exprimeront

^, par leur

ensemble ,

l’intersection de deux

plans variables, passant respectivement

^{par les axes}

des y

^{et des x ; la-}

quelle

intersection sera constamment une des

génératrices

^{de la sur-}

face

conique

^{dont il}

s’agit , quelque

valeur d’ailleurs

qu’on

^attri-

bue à m.

Mais, lorsqu’une ligne

^{est donnée par} l’intersection de deux

surfaces 3

^toute combinaison

qu’on

^voudra faire des

équations

^de

ces deux surfaces sera

l’équation

^d’une troisième surface contenant cette même

ligne ; donc,

^toute combinaison

qu’on ^voudra

^faire

des

équations (3)

^sera

l’équation

d’une surface contenant la

géné-

ratrice de la surface

conique qui répond

^{à toute} valeur déterminée

de

in.

DQnc,

^en

particulier, l’équation

résultant de l’élimination de _m,

entre les

équations -(3) ,

^sera

l’équation

^{d’une surface} contenant,

pour

chaque

^valeur

qu’on

voudra donner à _{m ,} l’une des

géné-

ratrices de la surface

conique. lTais ,

^cette

équation,

^{ne renfer-}

mant

plus

^{m , demeurera} constamment la

même , quelque

^valeur

qu’on

^{donne à ce}

paramètre variable ; donc ,

la surface

qu’elle

^ex-

primera contiendra, à

^la

fois ,

^{tontes les}

génératrices,

^{et sera con-}

séquemment l’équation

^{même de la surface}

conique

^{dont il}

s’agit.

La

recherche

de la surface

conique ,

^{lieu de toutes les}

^droites

DU CONE.

363

données

_{par les}

équations (i)

^et

(2) ,

^se

^{réduit donc,}

^{comme l’on}

voit

^, à tirer de

l’équation (2)

la valeur de n , pour la

porter

^dans la dernière des

équations (i)?

^{et à} éliminer ensuite m entre la

première

^{de ces}

équations

^et

l’équation

résultante.

Mais ce calcul revient évidemment à éliminer m et n entre les

équations (i)

^et

^{(2) ,}

^et doit nécessairement conduire au même ré-

sultat ,

^de

quelque

^manière d’ailleurs que ^l’on

procède

^{à l’élimi-}

nation de ^ces deux

paramètres ;

^{donc on}

parviendra également à l’équation

^{de la}

^surface conique

^{dont il}

s’agit,

^{en mettant sim-}

plement

pour ^{m et n,} dans

l’équation (2) ,

^{leurs valeurs données}

par ^les

équations (i) ;

donc finalement

l’équation

de la surface co-

nique

^{dont il}

s’agit,

^{et ,} par

suite, l’équation générale

^{de toutes les}

surfaces

coniques qui

^{ont leur sommet ou centre à}

l’origine ,

^est

équation

^dans

laquelle

^y

désigne

^une fonction tout-à-.{ai t arhi- traire

(*).

Il suit de

là ,

^en

particulier ,

que

l’équation générale

des surfa-

ces

coniques

^du second ordre

qui

^{ont leur sommet ou centre à}

l’origme

^{est de la forme}

(*) ^On

brusque

d’ordinaire cette conclusion , ^en

s’ëtayant

^{d’une certaine}

propriété

^de l’élitniuation. Mats on sent qu’à ^{moins de démontrer} préa-

lablement cette

propriété , à

priori , ^ce

qui

^ne

paraît

^pas

facile ,

^l’élève n’y peut ^voir qu’une ^{sorte de}

qualité occulte,

^dont

l’emploi ,

^{dans les sciences}

exactes , doit ^lui

paraître

^assez surprenant.

Nous ne

prétendons

pas, ^au

surplus ,

que l’on soit tenu de répéter ^le

long

raisonnement que ^{nous venons} de faire toutes les fois qu’on ^{se retrou-}

vera dans les mêmes circonstances; ^{niais nous} pensons que du moinà il fau- dra le répéter ^aussi

long-temps

^{que l’élève ne sera pas en état de le}

suppléer

facilement de lui-même.

364 ^SECTIONS

c’est-à-dire ,

Soit

coupée

^{cette surface} par ^un

plan parallèle

^au

plan

des xy ,

et

conséquemment

par ^un

plan quelconque , puisque

^le

plan

^des

xy ^est

supposé

^{de direction}

quelconque ^{pafw rapport}

à elle. En

désignant par k

^{la distance entre ces deux}

plans ,

^mesurée

paral-.

lèlement à l’axe

des z , l’équation

^{de la}

projection

^{de la}

^section

sur le

plan

des xy ^sera

et cette

section,

^{comme l’on}

sait,

^sera

appelée

D’un autre

côté , si,

^dans

l’équation (4) ,

^{on fait z=o ,}

l’équa-

tion résultante

sera celle de la section de la surface

conique

^{par le}

plan

^des xy ,

c’est-à-dire ,

_par ^un

plan

^{mené par son sommet}

parallèlement

^au

plan coupant. Or,

^{en résolvant cette dernière}

équation

par rap-

port

à y, ^on démontre aisément

qu’elle exprime

DU

C O N E

365

donc,

^un

plan

coupe ^une

surface conique

du second ordre sui-,

vant une

ellipse,

^une

parabole

^{ou une}

hyperbole,

^suivant que ^le

plan parallèle à celui-là ,

conduit par le ^sommet de cette

surface conique ,

^{est hors}

^{d’elle ,}

^{la touche ou} la coupe.

Or ,

^comme

_ce

sont là les trois seuls cas

qui puissent

^se

présenter,

il s’ensuit

qu’on

n’aura

jamais ,

pour ^les sections

planes

^{d’une surface}

conique

^du

second

ordre ,

que les trois courbes que nous venons de

signaler

et que de

plus

^on pourra les avoir ^toutes. On voit en même

temps

que ^la

parabole

tient le milieu entre les

ellipses

^{et les}

hyperbo- les ;

^{de sorte}

qu’elle

^{est à la fois la} dernière des

ellipses

^{et la}

première

^des

hyperboles.

Si l’on

Imagine

que ^la distance k diminue sans

cesse , jusqu’à

devenir

nulle,

^{on verra en outre} _{que le}

point

^{est un cas}

parti-

culier de

l’ellipse ,

que ^deux droites

qui

^se

confondent

^{sont un}

cas

particulier

^{de la}

parabole ,

^et

qu’enfin

^{deux droites}

qui

^{se cou-}

pent

^{sont un cas}

particulier

^de

l’hyperbole.

Si l’on

conçoit

que ^{le sommet de la} surface

conique s’éloigne

^à

l’infini,

^{cette surface deviendra une surface}

cylindrique.

^{On ne}

pourra

plus

^{avoir alors ni} des sections

paraboliques

ni des sections

hyperboliques , qui

^se trouveront

remplacées

par des droites pa- rallèles. Il se pourra aussi alors que le

plan

^{et la surface}

cylindri-

que ^{ne se}

coupent

pas.

A la page ⁶¹ du tome V. du

présent ^recueil,

nous avons dé- montré fort

simplement

que les courbes

comprises

^dans

l’équation

(5)

^{sont telles I.°} que ^les milieux de toutes leurs cordes

parallèles

^à

366

^FOYERS

une

droite

fixe

quelconque

^{sont tous sur une autre droite} que ^nous

avons

appelée ^diamètre,

^et

qui

^{a les}

tangentes

^{à ses extrémités}

parallèles

^{à la droite}

^{fixe ;}

^{2.° que tous les diamètres de}

l’ellipse

et de

l’hyperbole

^se

coupent

^{en un même}

point qui

^{en est le}

milieu _{commun ,} et que ^{nous avons}

appelé

^{le centre de la}

^{courbe ,}

tandis que, dans ^la

parabole,

^{tous les diamètres sont}

parallèles ;

3.°

qu’à

^un

quelconque

des diamètres de

l’ellipse

^{ou de}

l’hyper- bole ,

^{il en}

répond toujours

^{un autre,}

qui

^{en est dit le}

conjugué ,

tels que chacun d’eux contient les ^milieux des

cordes parallèles

à

l’autre ; 4.°

_{que ,}

parmi

^les

systèmes

de diamètres

conjugués

^de

ces deux

courbes ,

^{en nombre}

infini ,

^{il en est} un , ^{et un}

seul ,

dans lequel

^{ces deux}

diamètres , qui

^sont dits alors les diamètres

principaux

^{ou les axes de la}

^{courbe ,}

^sont

perpendiculaires

^l’un

à

l’autre ;

^5.°

qu’enfin, parmi

les diamètres de la

parabole,

^{il en}

est un , ^{et un}

seul, qui

^est

perpendiculaire

^{à la}

tangente

^{à son extré-} mité : c’est le diamètre

principal

^{ou l’axe de la courbe.}

On conclut de là I.°

qu’en prenant

pour ^axes des

coordonnées ,

dans

l’ellipse ,

deux diamètres

conjugués quelconques ,

^et

repré-

sentant leurs

longueurs respectives

par ^{2a et}

2b , l’équation

^de

la courbe

prend

^cette forme fort

simple

ce

qui

^vent

dire que

^dans

l’ellipse,

^{la somme des}

quarrés

^des

rapports

^des deux coordonnées d’un même

point

^aux moitiés des diamètres

conjugués auxquels

^{elles sont}

respectivement parallèles

est constamment

égale à

^l’unité.

2.° Dans les mêmes

circonstances, l’équation

^de

l’hyperbole prend

la

forme

ET

DIRECTRICE. 367

r

la courbe a alors un diamètre réel _2a,

tandis que

^son

conjugué 2b-1

^{a une}

longueur imaginaire,

^{et c’est alors la}

différence

des

quarrés

^des

rapports

des coordonnées d’un même

point

^{de la}

courbe aux moitiés des diamètres

auxquels

^{elles sont}

respective-

ment

parallèles qui

^est constamment

égale à

^l’unité.

3.°

Enfin,

^{dans la}

parabole ,

^{si l’on}

prend

^{un diamètre}

quel-

conque pour ^axe des x et la

tangente

^{à son extrémité} pour ^axe des y ,

l’équation

de la courbe

prend

^{cette forme}

très-simple

Supposons que,

^{dans les}

équations (7), (8), (9) ^{les coordon-}

nées soient

rectangulaires.

^{On tire de}

l’équation (7)

en

ajoutant

tour-à-tour ^aux

deux

membres

on aura

extrayant

^{les racines}

quarrées

des deux membres de ^ces

deux équa-

tions,

^en

remarquant

que, par ^{la nature} de la

courbe ,

^{x ne} pou-

vant être

plus grand

que a, ^les racines des deux membres doi-

vent être de mêmes

signes,

^{on aura}

368 FOYERS

d’où,

^en

ajoutant

^{membre à membre et}

réduisant,

Or,

^{les deux}

^radicaux

^du

premier

^{membre de cette dernière}

équa-

tion

expriment

les distances de l’un

quelconque

^des

points ^de

^la

courbe à deux

points

de l’axe des _{x ,}

pris

à des distances

a2-b2

de

part

^{et d’autre de}

l’origine; ^{donc, la}

^somme des distances des divers

points

^de

l’ellipse

^{à deux}

points fixes, pris

^{sur son}

plan,

est une

quantité

constante. Ces

points

^{sont ce}

qu’on appelle

^les

foyers

^de la courbe.

Ce

qui précède

suppose

qu’on

^a

a&#x3E;b.

^{Dans cette}

hypothèse y

si l’on

répète

le calcul que nous venons de

faire,

^{en traitant b}

et y

comme nous avons traité a et x, ^et vice

versâ ,

^{on s’assu-}

rera de l’existence de deux

foyers imaginaires ,

^{sur le}

plus petit

des deux axes de la courbe

(*).

L’équation (I0) peut

^{être mise sous cette forme}

puis

^sous

^celle-ci

(*)

Voyez ,

^{sur ce}

sujet ,

^la page

3I7

^{du VIII.e volume du}

présent

recueil,

369

ET

DIRECTRICE.

Or,

^le

premier

^{membre de cette}

équation

^{est le}

rapport

^{entre la}

distance de l’un

quelconque

^des

points

de la courbe à l’un des

foyers

et la distance du même

point

^{à une}

perpendiculaire

à l’axe des x menée à la

distance a2 a2-b2

^de

l’origine ; ^{donc, les}

^{distances des}

divers

points

^de

l’ellipse

^{à un}

point fixe

^{et à une droite}

fixe

^sont

dans un

rapport

^{constant. On voit} que ^le

point

^{fixe dont il}

s’agit

ici est l’un des

foyers. ^Quant

à la droite

fixe,

^on s’assurera aisé-

ment

qu’elle

^{en est la}

polaire.

Si ,

^dans

l’équation ^(7),

ainsi que dans les

diverses transformées

que nous en avons successivement

déduites,

^on

change ^+b2

^en

-b2 ,

^{on obtiendra les} transformées

analogues

^{relatives à}

l’hyper-

bole donnée par

l’équation (8);

^{et l’on sera conduit aux deux}

équa-

tions ^D

rnais

ici

^{où x est}

toujours plus grand que a ,

^il

faudra , ^dans

l’extraction des racines ,

^écrire

d’où,

^en

ajoutant

^{et réduisant}

Tom. XVI 48

370 ^FOYERS

Or, ^les radicaux du

premier

^membre

expriment

^les

distances de

l’un

quelconque

^des

points

^de la courbé à deux

points

^{de l’axe des x}

pris

^à des distances

a2+b2

^de

part

^et d’autre de

l’origine ;

^donc

la

différence

des distances des divers

points

^de

l’hyperbole

^{à deux}

points fixes pris

^{sur son}

plan ,

^{est une}

quantité

constante.. Ces

points

^{sont ce}

qu’on appelle

^les

foyers

^de la courbe.

En traitant

l’équation (12)

comme nous avons traité

l’équation (10) ,

^on

’parviendra

^{à lui donner cette forme}

ce

qui,

pour les ^mêmes raisons que

ci-dessuis ,

^montre que les dis-

tances de divers

points

^de

l’hyperbole

^{à un}

point fixe

^{et à une}

droite

fixe

^{sont dans un}

rapport

^constant.

On

voit

qu’ici

^encore

le

point

fixe dont il

s’agit

^{est l’un des}

foyers ,

tandis que la droite fixe en est la

polaire.

L’équation (9)

^{de la}

parabole peut

^être écrite ainsi :

d’où ,

^en

transposant

^et

extrayant

^la

^racine quarrée ^des

deux membres ,

ou _bien

c’est-à-dire

_que les distances des divers

points

^{de la}

parabole ^à

37I

ET

DIRECTRICE.

un

point ^fixe

^{et à une droite}

^fixe

^{sont dans un}

^rapport

^constant.

Le

point

^{fixe est ce}

qu’on appelle

^le

foyer

^{de la}

^{courbe ;}

^{et il est}

facile de s’assurer que la droite fixe est la

polaire

^{de ce}

point.

C’est donc une

propriété

^{commune à toutes les sections}

conrques

que ^{la constance du}

rapport

des distances de leurs divers

points

^à

un

point

^{et à une droite}

^fixe

^;

rapport plus petit

que l’unité pour

l’ellipse , égal

à l’unité pour la

prabole

^et

plus grand

que l’unité pour

l’hyperbole.

La droite

qui

^{va de l’un des}

foyers

^{d’une section}

conique

^{à l’un}

quelconque

^des

points

de la courbe est dite le rayon ^vecteur de

cette

courbe ; l’angle

que ^{fait ce} rayon ^{vecteur avec} l’axe

qui

^con-

tient les

foyers

^est

appelé l’anomalie ;

^{la distance d’un}

foyer

^au

centre est dite

l’excentricité ,

^{et la} double ordonnée

qui

passe par

ce

foyer

^{est ce}

qu’on appelle

^le

paramètre.

Représentons ,

pour

l’ellipse ,

par ^r le rayon vecteur , par 6 l’ano-

malie,

par p le

paramètre

^et par ^{e le}

rapport

de l’excentricité au

demi-grand

^{axe ;} nous aurons

de Iâ

nous conclusons x=rCos.03B8+a2-b2=a03B5+rcos03B8,

^et par ^con-

séquent

En substituant ^toutes ces valeurs

dans l’équation (II) ,

^elle

^deviendra

d’où on tirera

372 ^FOYERS

^ET

DIRECTRICES.

et ^une

transformation analogue , appliquée

^à

l’équation (13)

^con-

duirait exactement au même résultat.

Quant à

^la

parabole ,

^{on a} pour ^cette courbe

d’ou

au moyen de

quoi l’équation (14) ^devient

et donne

Ainsi l’équation (15) qu’on appelle l’équation polaire ^{des sections} coniques

^convient

généralement

^{à toutes ces courbes}

qui

^{sont el-}

lipses, paraboles

^ou

hyperboles,

^suivant

qu’on a 03B5I , 03B5=I

^ou 03B5&#x3E;I.

En

ajoutant à

^ce

qu’on

^{vient de}

^lire,

^les dix pages de

notré

V.e volume

rappelées ci-dessus,

^on obtiendrait un traité de sections

coniques qui ,

^bien

que

fort court, serait néanmoins

presque

^com-

plet.