Terminale S1 DM 7 Pour la rentrée de Noël
Le plan(P)est muni d’un repère orthonormal ³
O;−→i ,−→j´
(unités graphiques 3 cm).
1.On considère la fonction f définie sur[0; +∞[par
⎧⎨
⎩
f(x) = ln (1 +x)
x pour x >0 f(0) = 1
.
Préciser la limite de f en 0.
2.a. Etudier le sens de variations de la fonctiong définie sur [0; +∞[parg(x) = ln (1 +x)− µ
x−x2 2 +x3
3
¶ .
Calculer g(0) et en déduire que surR+: ln (1 +x)≤x−x2 2 +x3
3 .
2.b. Par une étude analogue, montrer que six≥0,alors, ln (1 +x)≥x− x2 2 . 2.c. Etablir que pour toutx strictement positif, on a :−1
2 ≤ ln (1 +x)−x x2 ≤ −1
2 +x 3 En déduire que f est dérivable en zéro et quef0(0) =−1
2. 3.a. Soit h la fonction définie sur sur[0; +∞[parh(x) = x
1 +x −ln (1 +x). Etudier son sens de variation et en déduirele signe de h sur[0; +∞[.
3.b. Montrer que sur ]0; +∞[, f0(x) = h(x) x2 .
3.c. Dresser le tableau de variation def en précisant la limite de f en +∞.
3.d. On désigne par (C) la représentation graphique de f dans le repère orthonormal³
O;−→i ,−→j´ .
Construire la tangente(T) à (C) au point d’abscisse 0.
Montrer que(C)admet une asymptote. Tracer la courbe (C).
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