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Problème de synthèse 1 - Antenne de Communication
Corrigé page 9
A. Données
Ce problème traite de l’asservissement de position de l’axe de gisement d’une antenne de poursuite devant assurer le pointage sur des satellites en mouvement ou géostationnaires. Le schéma de principe de l’asservissement est donnée sur la figure 1
— Les deux potentiomètres délivrent une tension proportionnelle aux anglesθcet θs avec :u1 = k·θcetu2=k·θs;
— L’amplificateur de différence délivre une tensionuproportionnelle à la différence des tensions (gainµ).
— Le moteur commandé par la tensionuprovoque par l’intermédiaire d’un réducteur la réduction de l’antenne.
— θs: l’angle de rotation de l’antenne ;
— ωs: la vitesse de rotation de l’antenne ;
— ωm: la vitesse de rotation du moteur ;
— Jm : le moment d’inertie de l’équipage mo- bile solidaire du moteur ;
— Js:le moment d’inertie de l’équipage mobile solidaire de l’antenne ;
— N: le rapport de réduction ;
— r: la résistance d’induit du moteur ;
— λ: la constante de couple du moteur ;
— Cm:le couple exercé par le moteur ;
— Cr : le couple résistant ramené sur l’arbre moteur ;
— E: la force contre électromotrice ;
— Tous les frottements mécaniques sont négli- gés ;
— L’inductance du moteur est négligée.
On donne
— e= λ·ωm
— Cm =λ·i
— u=r·i+e(inductance négligée)
— J·dωm
dt =Cm−Cr
— ωm = N·ωs
— J = Js N2 +Jm
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B. Étude de l’ensemble moteur-réducteur
Dans cette première partie on suppose que le couple résistantCrest nul.
Q1.Justifier les relations ci-dessus, écrire ces équations dans le domaine de Laplace.
Q2.Tracer le schéma bloc du moto-réducteur (entréeu(t), sortieωs(t)).
Q3.Mettre le schéma bloc sous la forme ci-dessous :
H(p)
+− K0 1
p
U(p) Ωc Ωs
Ωcétant une variable fictive équivalente à une consigne de vitesse Q4.DéterminerK0et H(p)en fonction des paramètres du système.
Pour la suite on prendraK0 =20s−1 C. Étude de l’asservissement de position
Q5.Mettre l’asservissement de position sous la forme ci dessous
+− Θc
ε A
+− Ωc
K0
1
p Ωs B(p) Θs
Q6.ExprimerAetB(p)en fonction des données.
Q7.Fonction de transfert
Q7a. Déterminer la Fonction de Transfert en Boucle Ouverte( FTBO)BO(p) = Θs(p) ε(p) Q7b. Déterminer la Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF)BF(p) = Θs(p)
Θc(p)
Q7c. Préciser l’ordre de la FTBF, mettre sous forme canonique, déterminer les coefficients caracté- ristiques en fonction deK0etA
Q8.Précision
On pose A=20 s−1pour la suite.
Q8a. Le système est-il stable
Q8b. Déterminer l’erreur de positionεspour une consigne d’entrée de type échelon unitaire (l’an- tenne pointe un satellite « fixe »).
Q8c. Déterminer l’erreur de traînageεtpour une consigne en rampeθc(t) =c·tavecc=2.10−3rad/s (l’antenne suit un satellite mobile)
Q8d. Tracer, dans les deux cas, l’allure de la réponse temporelle.
D. Procédure de recherche d’un satellite
Dans cette partie, nous allons étudier la procédure de recherche d’un satellite.
La position de consigne représente la position théorique présumée du satellite.
Pour faciliter la recherche, on explore la position théorique en effectuant un balayage sinusoïdal autour de cette position de consigneθcen superposant àθcun signal sinusoïdalαe(t) =b·sinωb·t.
L’amplitude du balayage est deb=0,25°, sa période 10 secondes.
On le voit, cette procédure de recherche nécessite que l’on étudie la réponse du système à une entrée
Q9b. Pour quelle valeurA0deA, la cassure du diagramme asymptotique d’amplitude se trouve- t-elle sur l’axe des pulsations ?
Q9c. Déterminer alors le déphasage pourA= A0puis évaluer la marge de phase, qu’en pensez- vous ?
Q10.Réponse fréquentielle de la FTBF
Q10a. Rappelez l’allure de la réponse temporelle en régime permanent d’un système linéaire sou- mis à une entrée sinusoïdaleαe(t), d’amplitudebet de fréquence f.
BF(p) αe(t) αs(t)
Q10b. Tracer les diagrammes de Bode de la FTBF.
Q10c. À partir des diagrammes de Bode, déterminer la réponse temporelleαs(t)en régime per- manent.
E. Comportement de l’antenne en présence d’une perturbation
L’asservissement de position doit lutter contre les couples de perturbations appliquées à l’axe de gisement de l’antenne par l’action du vent.
Deux types d’actions perturbatrices sont envisagés dans la suite de l’étude :
— action du vent de vitesse constantev0auquel correspond un couple :
— Cr1=Γ0=175 000 N·mpourv1 =15 m·s−1,
— Cr2=Γ0=310 000 N·mpourv2 =20 m·s−1;
— vent soufflant en rafales avec une vitesse comprise entre15et20 m·s−1. On modélise le couple résistant crée par ce vent par une fonction sinusoïdale de fréquence0,2 Hzvariant entreCr1 et Cr2.
Q11.Reprendre le schéma bloc du moto-réducteur en faisant intervenir le couple résistant.
Q12.Mettre ce schéma bloc sous la forme suivante :
H(p) U(p)
+− Ωc
K0 +− 1
p
Ωs
Cr(p) d
Q13.Exprimerden fonction des données.
Pour la suite on prendrad =5×10−9m−2·kg−1 Q14.Asservissement de position
Q14a. Tracer le schéma bloc de l’asservissement de position en prenant en compte le couple résis- tant.
Q14b. Mettre ce schéma sous la forme :
+− Θ(p)
A1(p)
ε +− 1
p
Θs
D(p) Cr(p)
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Q14c. pourA=20 s−1, montrer queA1(p) = p20 20+1
etD(p) = 1 4·109 p
20 +1 .
Q15.DéterminerΘs(p)en fonction deΘc(p)etCr(p).
Q16. On se place dans le cas ou l’antenne vise un satellite fixe (θc(t) = θ0 ) sous un vent violent (v0 =20 m·s−1), déterminer l’erreur de viséeε(t) =θ0−θs(t)sous ces conditions. Conclure.
Q17.On se place dans le cas ou l’antenne vise un satellite mobile (θc(t) =a·t) sous un vent violent (v0 =20 m·s−1), déterminer l’erreur de viséeε(t) =θc(t)−θs(t)sous ces conditions. Conclure.
On se place maintenant dans le cas d’un vent en rafale entre15et20 m·s−1avec une fréquence de fv=0,2 Hz, l’antenne étant dans sa position initiale (θc(s) =0).
Pour étudier cette réponse temporelle, nous avons besoin d’étudier la fonction de transfert G(p) = Θ(p)
Cr(p) pour une entrée de consigneΘc(p) =0.
Q18.Tracer les diagrammes de Bode deG(p) Q19.Réponse à la perturbation sinusoïdale.
Q19a. Déterminer à partir des diagrammes, le module et l’argument deG(p)pour la pulsation correspondant à fv.
Q19b. En déduire l’équation deθs(t)en régime permanent.
Q19c. Quel pourrait-être le risque avec un tel vent ? F. Correction de l’asservissement de position
On constate qu’il est nécessaire de corriger le fonctionnement du système afin d’être plus précis et de rejeter les perturbations. On ajoute dans la boucle de position un correcteur
C(p) = ka p
1+ p
ω1
+− Θc
C(p)
ε Ωc +− K0 +− 1
p
1 p Ωs Θs
Cr(p) d
Dans un premier temps, on suppose quecr(t) =0.
F.1. Stabilité
Q20. Montrer que la fonction de transfert en boucle ouverte est de la forme : T(p) = Θs(p) ε(p) = K′·(p+a)
p2·(p+b)
Q21.Justifier que pourω1 =K0, le système est juste instable.
Q22.Tracer l’allure des diagrammes asymptotiques de Bode de p+a
p+bdans les deux cas suivanta>b (prendrea=10·b) eta <b(prendreb=10·a).
Q23.En déduire que pour que le système soit stable il fautω1 <K0pour toutka >0.
Q24.
Q24a. Tracer les diagrammes de Bode deT(p)avecka =1,K0=20 rad·s−1etω1=2,5 rad·s−1.
Q25a. On se place dans le cas ou l’antenne vise un satellite fixe (θc(t) =θ0) sous un vent violent (v0 =20 m·s−1), déterminer l’erreur de viséeε(t) =θ0−θs(t)sous ces conditions.
Q25b. On se place dans le cas ou l’antenne vise un satellite mobile (θc(t) = a·t ) sous un vent violent (v0=20 m·s−1), déterminer l’erreur de viséeε(t) =θc(t)−θs(t)sous ces conditions.
Q26.Conclure.
G. Étude Informatique complémentaire (à rendre la semaine prochaine) G.1. Étude algébrique préalable
Le critère de Routh est un critère algébrique qui permet de déterminer le signe des racines d’un polynôme, le critère est présenté en annexe page 6.
Q27.Déterminer la fonction de transfert en boucle ferméeF(p) = Θs(p) Θs(p). Q28.À partir de la description en annexe, construire le tableau de Routh.
Q29.Vérifier que le système est stable pour toutka >0etω1< K0. G.2. Etude Informatique
Q30.Écrire le code python qui à partir des coefficients du polynôme du dénominateur de degré n ([bn,bn−1,bn−2, . . . ,b2,b1,b0]) construit le tableau de Routh et retourne le booléen, stable /instable.
Q31.Vérifier le résultat précédent pourka =1,K0=20 s−1etω1=2,5 s−1puisω1 =25 s−1.
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H. Annexes
A-1. Critère de Routh
Le critère de Routh est un critère algébrique permettant de déterminer à partir du polynôme du dénominateur de la fonction de transfert le signe des racines de ce polynôme sans avoir à résoudre l’équationD(p) =0.
Pour une fonction de transfert en boucle fermée s’écrivant, BF(p) = N(p)
D(p) = am·pm+am−1·pm−1+..+a1·p1+a0
bn·pn+bn−1·pn−1+· · ·+b1·p1+b0, on déduit l’équation caractéristique :
D(p) =0 bn·pn+bn−1·pn−1+· · ·+b1·p1+b0 =0.
Condition nécessaire
Énoncé (Condition nécessaire de stabilité) Pour que le système soit stable, il faut que tous les coefficients de l’équation caractéristique soient du même signe quebn. Cette condition est une condition suffisante pour les systèmes du premier et du second ordre.
Tableau de Routh
Le critère de Routh permet de déterminer le signe des racines d’un polynôme à partir du tableau 0 construit à partir des coefficients du polynôme. On ordonne les lignes suivant les puissances décrois- santes du polynôme depnàp0.
Les deux premières lignes sont constituées des coefficients du polynôme :
— La première est constituée des coefficients de même parité que le degréndu polynôme, rangés suivant les puissances décroissantes ;
— La deuxième est constituée des coefficients de même parité quen−1, rangés suivant les puis- sances décroissantes.
Remarque :le tableau 0 est construit pour un polynôme de degré pair, pour un polynôme de degré impair les deux premières lignes se terminent différemment (le terme enp0est sur la seconde ligne).
pn bn bn−2 bn−4 … … b3 b1
pn−1 bn−1 bn−3 bn−5 … … b2 b0
pn A11= bn A12 =bn−2 A13=bn−4 … … A1k =b2 A1l =b0 pn−1 A21= bn−1 A22 =bn−3 A23=bn−5 … … A2k =b1 0
pn−2 A31 A32 A33 … … … 0
pn−3 A41 A42 A43 … … 0 0
... ... ... ... … … 0 0
A(i−2)1 A(i−2)2 … … A(i−2)(j+1) 0 0 A(i−1)1 A(i−1)2 … … A(i−1)(j+1) 0 0
pn−i+1 ... ... … Aij ... 0 0
... ... ... ... … … 0 0
p1 A(n−1)1 A(n−1)2 0 0 0 0 0
p0 An1= b0 0 0 0 0 0 0
A31 =
A21 · A11 12
21 A22
= −1
bn−1 · bn bn−2 bn−1 bn−3
= −(bn·bn−3−bn−1·bn−2) bn−1
le suivant :
A32 = −1
A21 · AA11 A13
21 A23
= −1
bn−1 · bbn bn−4
n−1 bn−5
Pour la ligne suivante :
A41 = −1
A31 · AA21 A22
31 A32
A42 = −1
A31· AA21 A23
31 A33
Pour le terme de la ligne i et de la colonne j :
Aij = −1
A(i−1)1 · AA(i−2)1 A(i−2)(j+1)
(i−1)1 A(i−1)(j+1)
On poursuit le remplissage jusqu’à la lignep0.
La première colonne est appelée colonne des pivots et le termeA(i−1)1est le pivot de tous les termes de la lignei.
On remarquera que :
— les termes du triangle inférieur droit sont nuls ;
— que le termeb0se propage (une ligne sur deux) le long de la diagonale du triangle jusqu’à la lignep0.
Énoncé (Critère de Routh) Le système est stable si tous les termes de la colonne des pivots sont du même signe queA11=bn. Il y a autant de racines à partie réelles positives que de changement de signe dans la colonne des pivots.
Le critère de Routh, est un critère de stabilité absolue, il ne permet pas de préciser les marges de stabilité du système.
Remarque :le critère de Routh est très utile lorsque les coefficients du polynôme sont des para- mètres de réglage de l’asservissement pour déterminer les valeurs limites de ces paramètres comme sur l’exemple ci-dessous.
Exemple
+− G(p) = K p·(p2+p+3)
E(p) S(p)
BF(p) = G(p) 1+G(p)
= K
p3+p2+3·p+K
On construit le tableau de Routh p3 1 3
p2 1 K p1 A31 0 p0 K 0
etA31 = −1 1
1 3 1 K
=3−K
Le système est donc stable pour0< K<3.
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