1 : Révisions et logique

Lycée Louis-Le-Grand,Paris Pour le 10/09/2020 MPSI 4– Mathématiques

A. Troesch

DM n

1 : Révisions et logique

Problème 1– (d’après Bac C 1990)

On considère la fonctionf définie surr0,1spar :

fp0q “0, fp1q “1 et fptq “ t´1

lnptq sitPs0,1r.

On appelleC la courbe représentative def dans un repère orthonormép0,~i,~jq. Le but du problème est d’étudierf et de calculerI“

ż¹

0

fptqdt.

Question préliminaire

En revenant à la définition de la dérivabilité, et sans utiliser le théorème de dérivation des composées, exprimer la dérivée enx0 deg:xÞÑfpax`bqen fonction de f<sup>1</sup>pax<sup>0</sup>`bq, sous l’hypothèse adéquate de dérivabilité def.

Établir une règle similaire pour la dérivation dexÞÑfpx²q.

Partie I – Étude def

1. (a) Montrer quef est continue en0et en 1. (b) Montrer quef est dérivable surs0,1r.

(c) Étudier le signe def¹ surs0,1r(on pourra introduire et étudier une fonction auxiliaire bien choisie).

(d) Étudier la dérivabilité et la tangente en0. 2. (a) Prouver que pour toutuP“

0,¹₂‰ ,

0ď ´lnp1´uq ´ ˆ

u`u² 2

˙ ď 2u³

3 . (b) En déduire la dérivabilité en1deg:xÞÑ 1

fpxq, et déterminerg¹p1q.

(c) Montrer quef est dérivable en1et calculerf¹p1q. Déterminer l’équation de la tangente en1à la courbeC. (d) Déterminer la position de la tangente en 1par rapport à la courbeC au voisinage du point1.

3. À l’aide des informations précédentes, et sans calculer d’autre valeur, tracer l’allure de la courbeC.

Partie II – Calcul de l’intégraleI Pour tout élémentxdes0,1s, on pose

Ipxq “ ż¹

x

fptqdt et Jpxq “ ż¹

x

fptq t dt.

On ne cherchera pas à calculer ces intégrales.

1. SoitK la fonction définie surs0,1spar :

Kpxq “Jpx²q ´Jpxq.

(a) Montrer queK est dérivable surs0,1set que

K¹pxq “ 1

xpfpxq ´2fpx²qq.

1

(b) En réexprimantxÞÑfpxq ´2fpx²q, en déduire que

Ipxq “ żx²

x

t´1 tlnptq dt.

2. Calculer, pour toutxPs0,1r, l’intégrale żx

x²

´1 tlnptq dt.

3. Montrer que pour toutxPs0,1r,

ˇ ˇ ˇ ˇ

żx

x²

dt lnptq

ˇ ˇ ˇ ˇ

ď ´x lnpxq. 4. En déduire la limite lorsquextend vers0deIpxq.

5. Montrer que pour toutxPs0,1s,|I´Ipxq| ďx. En déduire queI“lnp2q.

Problème 2– Logarithme discret, méthode d’Adleman (d’après CG)

Sim1 etm2 sont deux entiers tels quem1ďm2, on désigne par vm¹, m2w l’ensemble des entiersk tels quem1ďkď m2.

Sia,b etnsont trois entiers, on notea”brnslorsqueaetb sont congrus modulon, c’est-à-dire lorsqueb´aest un multiple den.

Dans tout le problème,pdésigne un nombre premier.

Partie I – Définition du logarithme discret

Pour toutAPN, on notepA modpqle reste de la division euclidienne de Aparp. C’est l’unique entier dev0, p´1w congru àA modulop.

Un entier xP v1, p´1w est appelé une racine primitive modulo plorsque l’ensemble des px^k modpq pourk PNest l’ensemble v1, p´1w, c’est-à-dire lorsque les puissances de x, calculées modulo p, décrivent v1, p´1wtout entier.

Ainsi, pourp“5 :

‚ 1 n’est pas racine primitive modulo 5, puisque ses puissances valent toujours 1

‚ 2 est racine primitive modulo 5 puisque :

p2⁰ mod 5q “1, p2¹ mod 5q “2, p2² mod 5q “4, p2³ mod 5q “3.

‚ 3 est racine primitive modulo 5 puisque :

p3⁰ mod 5q “1, p3¹ mod 5q “3, p3² mod 5q “4, p3³ mod 5q “2.

‚ 4 n’est pas racine primitive modulo 5 puisquep4^k mod 5q,kPN, vaut alternativement 1ou 4. 1. On prend dans cette question p“7. Déterminer les racines primitives modulo 7.

On admet désormais que, quel que soit le nombre premier p, il existe au moins une racine primitive modulo p. Dans la suite, on désigne parg une racine primitive modulo p.

2. (a) Montrer que l’ensemble des pg^k modpq, pourkP v0, p´2w, estv1, p´1w.

(b) Soit AP v1, p´1w. Justifier l’existence et l’unicité d’un entieraP v0, p´2wtel queA“ pg^a modpq.

aest appelé logarithme de base g modulopde A; on le noteℓpAq.

(c) Soitbun entier naturel congru à amodulop´1. Calculerpg^b modpq.

3. Décrire un algorithme élémentaire permettant le calcul deℓpAq.

Partie II – Calcul du logarithme discret par la méthode d’Adleman

Cette partie exploite le fait que la connaissance des logarithmes de quelques entiers permet de déterminer rapidement le logarithme de tout entier.

1. On se place dans le cas p“113, on admet queg“55 est une racine primitive modulop. On donneℓp2q “60 etℓp3q “5. Trouverℓp54q.

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On suppose choisis, pour la suite de cette partie, des nombres premiers distinctsp1, . . . , p_n strictement inférieurs àpet des entiersa1, . . . , an tels que, pour toutiP v1, nw, les facteurs premiers depg^ai modpqappartiennent àtp1, . . . , pnu.

Pour chaqueiP v1, nw, on a ainsi une relationpg^ai modpq “p^e1^i,1p^e2^i,2, . . . , p^en^i,n, où lese_i,j, pour pi, jq P v1, nw², sont des entiers naturels.

2. Montrer que, pour toutiP v1, nw:

ai “ei,1ℓpp1q `ei,2ℓpp2q ` ¨ ¨ ¨ `ei,nℓppnqpmodulopp´1qq.

3. On prend dans cette question p“53,g“20(racine primitive admise),n“2,p1“2,p2“5. (a) À l’aide deg etg³, déterminerℓp2qet ℓp5q.

(b) En déduireℓp40q.

(c) Combien d’entiers dev1,52wpeuvent-ils s’écrire sous la forme2^α5^β, avecαetβ, entiers naturels ? 4. SoitAP v1, p´1w.

(a) Montrer que :tpg^sA modpq |sP v0, p´2wu “ v1, p´1w.

(b) On suppose connusPNtel quepg^sA modpqse factorise à l’aide dep1, . . . , p_n uniquement. Si on suppose connusℓpp¹q, . . . , ℓppnq, en déduireℓpAq.

(c) Avecp“53etg“20, déterminerℓp30q.

5. On revient au cas général.

(a) Quel est le nombre d’entiers de v1, p´1wqui sont une puissance de p1?

(b) En déduire la probabilité pour qu’un entiersP v0, p´2wsoit tel quepg^sA modpqsoit une puissance dep1. (c) Montrer que la probabilitéP pour qu’un entier sP v0, p´2wsoit tel quepg^sA modpqse factorise à l’aide

dep1et p2 uniquement vérifie : plnpp´1qq²

2pp´1qplnpp¹qqplnpp²qq ďP ď 1 p´1

ˆlnpp´1q lnpp¹q `1

˙ ˆlnpp´1q lnpp²q `1

˙ . (d) Généraliser le résultat de la question précédente au cas dennombres premiersp1, . . . , p_n.

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