Institut Galil´ee 2010-2011 Fili`ere MACS2
Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale I
Feuille de TD 1 : Rappels de calcul int´ egral
Exercice 1
Existe-t-il une fonction g int´egrable surRtelle que, pour tout n∈N et toutx∈R,ne−n|x|≤g(x) ? Exercice 2
Soit f ∈L1(R). On consid`ere l’application
T f : R → R x 7→ R1
0 f(x−y)dy .
1.Montrer que sif est continue `a support compact, T f est continue.
2. Soit (fn)n∈N une suite de fonctions conti- nues `a support compact qui converge vers f dans L1(R). Montrer que (T fn)n∈Nconverge versT f uni- form´ement sur R. En d´eduire que T f est continue sur R.
3. En d´eduire que le produit de convolution sur L1(R) n’admet pas d’´el´ement unit´e.
Exercice 3
Soit h ∈ Rn. On d´efinit l’op´erateur de translation parh, not´eτh, agissant sur une fonctionf :Rn→R, par : ∀x∈Rn, (τhf)(x) =f(x−h).
Le but de cet exercice est de d´emontrer le r´esultat suivant.
Si f ∈Lp(Rn) avec 1≤p <+∞, alors
h→0limkτhf−fkp= 0,
i.e.τhf tend versf dansLp(Rn)lorsquehtend vers 0.
Soit 1≤p <+∞.
1.Montrer que, sif est continue `a support compact dans la boule B(0, M) centr´ee en 0 et de rayonM, et si |h| ≤1, alors
∀x∈Rn, |f(x−h)−f(x)|p ≤1B(0,M+1)(x)2pkfkp∞,
o`u B(0, M + 1) est la boule centr´ee en 0 de rayon M+ 1.
2.En d´eduire que, pourf continue `a support com- pact, on a
h→0limkτhf−fkp = 0.
3.D´emontrer le r´esultat ´enonc´e plus haut pour une fonction quelconque dansLp(Rn), 1≤p <+∞.
4.Que se passe-t-il pour p=∞? Exercice 4
Soient I un intervalle ouvert de R et f ∈ L1loc(I).
On suppose que :
∀ϕ∈C0∞(I), Z
I
f(x)ϕ(x) dx= 0.
Soit [a, b]⊂I un intervalle.
1. En utilisant un argument de densit´e, montrer que :
∀g∈C0(I), suppg⊂[a, b], Z
[a,b]
f(x)g(x) dx= 0.
2.Soit ε >0. Soit hε∈C0(]a, b[) telle que
Z
[a,b]
|f(x)−hε|dx≤ε.
Montrer que :
∀g∈C0(]a, b[), Z
[a,b]
hε(x)g(x) dx
≤ε||g||∞.
3. En choisissant bien g ∈ C0(]a, b[), montrer que R
[a,b]|hε|dx≤ε.
4.En d´eduire que f = 0 presque partout surI.
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