Calcul de TF via r´esidus
Maximilien Dreveton July 29, 2016
R´ef´erences Amar p.248
Candelpergher (Calcul Int´egral) p.131 pour les exemples.
0.1 Recasages
Passe `a l’aise 236 Illustrer par des exemples quelques m´ethodes de calcul d’int´egrales de fonctions d’une ou plusieurs variables r´eelles.
239 Fonctions d´efinies par une int´egrale d´ependant d’un param`etre. Exemples et applications.
240 Produit de convolution, transformation de FOURIER. Applications.
245 Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.
0.2 D´eveloppement (pr´esent´e `a l’oral le jour J) Th´eor`eme 0.1. f ∈L1(R) on noteF(f)(x) =R
Rf(t) exp(−2iπxt)dt
Hypoth`eses : f se prolonge `a{x∈C:Im(z)≥0}en une fonction m´eromorphe ayant un nombre fini de pˆoles, et tel que lim|z|→∞f = 0.
Alors pour x <0 on a :
F(f)(x) = 2iπ X
a∈A+f
Res(z7→f(z)e−2iπzx, a)
O`u A+f est l’ensemble (fini) des pˆoles de f sur le demi plan sup´erieur.
Proof. On applique le th´eor`eme des r´esidus `az7→f(z)e−2iπzx sur le contour : droite de -R `a R et demi cercle.
On suppose que f n’admet pas de pˆole sur l’axe r´eel (sinon on les ´evite, comme f est L1 ¸ca va marcher, mais c’est plus lourd `a r´ediger).
Pour R assez grand, ce contour entoure tous les r´esidus de f. Donc :
1
Z
γ
f(z)e−2iπzxdz = 2iπ X
a∈A+f
Res(z7→f(z)e−2iπzx, a) (1)
= Z R
−R
f(t)e−2iπtxdt+ Z π
0
f(Reiθ)e−2iπxReiθiReiθdθ (2) (3) On montre que la deuxi`eme int´egrale tend vers 0 quand R tend vers l’infini.
| Z π
0
f(Reiθ)e−2iπxReiθiReiθdθ| ≤Mf(R) Z π
0
Re2πxRsinθdθ (4)
o`u Mf(R) = sup{|g(z)|,|z| = R Im(z) ≥ 0} → 0 quand R tend vers l’infini (par hypoth`ese).
Z π
0
Re2πxRsinθdθ = 2 Z π/2
0
Re2πxRsinθdθ (5)
≤2 Z π/2
0
Re2πxRπ2θdθ (6)
≤2R 1
4xR(e2πxRπ2θ−1) (7)
≤ 1
2x2 (8)
≤ 1
x (9)
D’o`u le r´esultat
On propose une application : Proposition 0.2.
∀t∈R Z
R
e−2iπtx 1
1 +x2dx=πe−2π|t|
∀x∈R Z
R
e−2iπtx x
1 +x2dx=−iπsgn(t)e−2π|t|
Proof. On applique le r´esultat pr´ec´edent pourx <0 puis on conclut par parit´e/imparit´e.
Le seul r´esidu `a calculer est en i.
Pour la deuxi`eme int´egrale, on remarque que la fonction consid´er´ee n’est pas dans L1, mais l’int´egrale est bien d´efinie. Dans le thm, on n’a pas utilis´e l’hypoth`eseL1, juste que la TF avait un sens.
2
Pout t <0 on a : Z
R
e−2iπtx 1
1 +x2dx= 2iπ Res
z7→e−2iπtz 1 1 +z2, i
(10)
= 2iπ ev
z7→e−2iπtz(z−i) 1 +z2, i
(11)
=πe2πt (12)
Idem pour l’autre int´egrale.
0.3 (Seule) question du jury
Comment calculer la deuxi`eme int´egrale `a partir de la premi`ere via les distribution ? (en gros on d´erive 1+x1 2 au sens des distributions)
3
