Ex.3Réflexiond’uneondeélectromagnétiquesurunmiroirparfaitsousincidencenormale Ex.2OEMPPHdanslevideillimité Ex.1Equationdepropagationdesondesélectromagnétiquesdanslevide TDn 6:Propagationdesondesélectromagnétiques Electromagnétisme

Electromagnétisme

TD n

^o

6 : Propagation des ondes électromagnétiques

Ex. 1 Equation de propagation des ondes électromagnétiques dans le

vide

1. Rappeler les équations de maxwell.

2. Simplifier ces équations dans le cas du vide.

3. Montrer alors que l’équation de propagation deEdans le vide est :

∆E− 1 c²

∂E

∂t =0 avec 1

c² =µ0ε0

4. Etudier la structure des OPPH dans le vide, en revenant aux équations découplées du premier ordre.

4.a. Montrer tout d’abord que la relation de dispersion est k=±ω

c 4.b. Montrer que l’onde est transversale.

4.c. Montrer que (u,E,B) forme un trièdre orthonormé direct.

4.d. Montrer que les champs électriques et magnétiques associés à une OPPH sont en phase et dans un rapport 1/c.

4.e. Ces résultats sont-ils généralisables à une OPP ?

Ex. 2 OEMPPH dans le vide illimité

1. Etablir l’équation de propagation du champ électrique dans le vide.

2. Les directions de l’espace sont indiquées par la base orthonormée (e_x,e_y,e_z). On envisage une solution sous forme d’ondes plane progressive harmonique polarisée rectilignement :

E=E0cos(ωt−kz)ex avec E0= cte

Expliquer en quoi cette solution constitue une OEMPPH. Vérifier qu’elle est acceptable à condition quek et ω satisfassent une relation à expliciter.

3. Dans le cas oùk >0, déterminer le champ magnétiqueBassocié à cette onde. Résumer les principales caracté- ristiques de cette onde.

4. Exprimer le vecteur de Poynting. En déduire la puissanceP (moyennée en temps) traversant une surface d’aire S orthogonale à la direction de propagation et orientée dans le sens de la propagation.

5. Exprimer la densité volumique u_em d’énergie électromagnétique de l’onde. Que dire des termes électrique et magnétique ? Moyenneru_em en temps. En déduire la vitessev_ede propagation de l’énergie.

Ex. 3 Réflexion d’une onde électromagnétique sur un miroir parfait sous

incidence normale

L’espace est vide et infini selonz <0 et est limité par un miroir, conducteur parfait enz= 0. On considère uneonde électromagnétique arrivant en incidence normale sur ce miroir.

1. À partir des équations deMaxwell, établir l’équation de propagation du champ électrique dans une zone vide de charge et de courant.

2. Rappeler la solution sous forme d’une onde plane progressive harmonique, se propageant suivant leszcroissants, et polarisée rectilignement suivantex. En déduire l’expression du champ magnétique.

3. Comment est défini un conducteur parfait ? Montrer que l’onde électromagnétique n’y pénètre pas. Comment peut-on alors décrire les courants générés par l’onde incidente dans le métal ?

On donne les relations de passage que doivent vérifier E et B au voisinage d’une interface portant une densité surfacique de chargeσet une densité surfacique de courantsjssont, en notantn_1→2le vecteur normal à l’interface dirigé du milieu 1 vers le milieu 2 :

E2−E1= σ

ε₀n_1→2 et B2−B1=µ0js∧n_1→2

4. Justifier la nécessaire existence d’une onde réfléchie et déterminer l’expression des champs électrique et magné- tique.

5. Déterminer et commenter la structure du champ électromagnétique résultant.

6. Déterminer les densités surfaciques de chargeσet de courantjs. 7. Calculer le vecteur de PoyntingΠ ainsi que sa moyenne temporelle.

8. Calculer l’énergie électromagnétique volumiqueuem de l’onde ainsi que sa moyenne temporelle. Commenter.

9. On place un second plan conducteur parfait, identique au premier, et parallèlement à ce dernier à une abscisse z=−l (oùl >0). Déterminer sans calcul les valeurs de la longueur d’ondeλpour lesquelles l’onde stationnaire dans la cavité devient résonante. Commenter.

Ex. 4 Réflexion d’une onde électromagnétique sur un miroir parfait sous

incidence normale

Une onde électromagnétique se propage suivante_x tout en étant polarisée suivante_y. L’espace est vide et infini selon x <0 et est limité par un miroir, conducteur parfait enx= 0. On admet que l’onde électromagnétique est nulle dans le conducteur parfait.

1. Rappeler sans démonstration l’équation de propagation du champ électrique.

2. Rappeler la solution sous forme d’une onde plane progressive harmonique (champ électrique et champ magné- tique).

Sur le conducteur parfait, l’onde se réfléchie.

3. Ecrire les relations de passage à l’interface avec le conducteur parfait pour le champ électrique total et le champ magnétique total.

4. En déduire l’expression de l’onde (champ électrique et champ magnétique) réfléchie. Commenter sa structure.

5. Calculer le vecteur de PointingΠainsi que sa moyenne temporelle.

6. Calculer l’énergie électromagnétique volumiqueu_em de l’onde ainsi que sa moyenne temporelle. Commenter.

Ex. 5 Onde stationnaire aux abords d’un miroir

Un miroir est composé d’une fine pellicule d’argent qui réfléchit la lumière. L’argent est un excellent conducteur, sa conductivitéσest très élevée.

1. Justifier qualitativement que si la conductivité est grande, alors le champ électrique dans le conducteur est faible.

Le champ électrique est pris nul dans la suite du problème.

2. Rappeler sans démonstration l’équation de propagation du champ électrique.

3. On cherche des solutions à cette équation de la forme :

E=E0sin(ωt) sin(kx)ey

Montrer que ce champ respecte les conditions aux limites imposées sur le miroir plan placé enx= 0.

4. Trouver la relation entreket ω.

5. Établir l’expression du champ magnétique associé.

6. Calculer le vecteur de PoyntingΠ

7. Calculer l’énergie électromagnétique volumiqueu_em de l’onde. Commenter.

Ex. 6 Modélisation simplifiée d’une cavité optique

Le but de cette exercice est d’étudier les modes d’une cavité, comme par exemple celle d’une cavité Laser. L’onde électromagnétique se propage suivant ±ex tout en étant polarisée suivant ey et effectue des allers-retours dans la cavité, délimitée par deux miroirs plans - ce qui simplifie la situation réelle du laser pour laquelle les miroirs sont sphériques - assimilés à des conducteurs parfaits placés en x= 0 etx=L.

1. Rappeler (sans démonstration) l’équation de propagation de d’Alembert unidimensionelle dont est solution le champ électrique.

2. Ecrire les relations de passage à l’interface avec le conducteur parfait. En déduire que le champ électrique total enx= 0 etx=L.

Sur le conducteur parfait, l’onde se réfléchie et effectue donc plusieurs allers-retours dans la cavité. On cherche alors la solution du champ électrique sous forme d’une onde stationnaire :

Etot =E₀sin(ωt)cos(k.x+ψ)e_y

3. Trouver la relation liantω etk.

4. Compte tenu des conditions aux limites, calculerψet les valeurs possibles dek.

5. Quelles sont donc les fréquences propres de la cavité, i.e. les fréquences permettant l’existance d’une onde élec- tromagnétique dans la cavité.

6. Dans le casn= 1, calculer le champ magnétique correspondant.

7. RéinterpréterE_tot en terme d’ondes planes progressives.

8. Calculer le vecteur de PoyntingΠ.

9. Calculer l’énergie électromagnétique volumiqueu_em de l’onde. Commenter.

Ex. 7 Propagation de la lumière dans le vide et réflexion de la lumière

sous incidence oblique

La lumière se propage en faisant un angleα= ^π₄ avecex etez, tout en étant polarisée suivantey. L’espace est vide selon x <0 et est limité par un miroir, conducteur parfait enx= 0.

1. Écrire l’onde incidente (champ électrique et magnétique) sous forme d’une onde plane progressive harmonique.

2. Rappeler la relation de dispersion, i.e. le lien entreω et k.

Sur le conducteur parfait, l’onde se réfléchie.

3. Écrire les relations de passage de l’interface avec le conducteur parfait.

4. Quelle est la direction de l’onde réfléchie ? 5. En déduire l’onde réfléchie.

6. Calculer le champ électrique totalEtot. Commenter sa structure.

7. Calculer le vecteur de PoyntingΠ.

8. Calculer l’énergie électromagnétique volumiqueuem de l’onde. Commenter.

Ex. 8 Onde dans un métal

A suffisamment basse fréquence, un métal est localement neutre et sa conductivitéγ est réelle. On peut y négliger le courant de déplacement devant le courant de conduction.

1. Etablir l’équation de diffusion vérifiée par le champ électrique dans le métal.

2. Le métal est illimité dans l’espace. On envisage une onde dont le champ électrique s’écrit, en complexe : E=E0exp[i(ωt−kz)]ex

où E0 est une constante réelle positive. Etablir la relation de dispersion en faisant intervenir une distance ca- ractéristique notéeδ(épaisseur de peau). Donner l’expression du champ électrique. Quelle est la signification de δ?

3. Établir l’expression du champ magnétiqueB de l’onde. Les champsEet Bsont-ils en phase ? 4. Etablir l’expression du vecteur de Poynting moyenné en temps.

5. On raisonne sur un volume parallélépipédique d’épaisseur dz, d’extensions L selon x et l selon y. Déterminer l’expression de la puissanceP (moyennée en temps) cédée à ce volume de métal par l’onde (effet Joule).

6. En réalisant un bilan énergétique sur le volume, vérifier la cohérence des résultats des deux questions précédentes.

Ex. 9 Réflexion de la lumière sur un métal réel

Considérons une onde électromagnétique provenant de x=−∞de la formeEi=E0exp(j(ωt−kz))ex et arrivant enz= 0 sur un métal de conductivitéσ'5,7×10⁷S·m⁻1 (non considéré comme infini).

Cette onde donne naissance à :

— une onde réfléchie (se propageant selon−ez dans l’espacez <0) de la formeEr=rE₀exp(j(ωt+kz))ex;

— une onde transmise (se propageant selon +e_zdans l’espacez >0) de la formeE_t =tE₀exp(j(ωt−k_tz))e_x avec k_t=^1−j_δ (δ=» ₂

µ0σω est l’épaisseur de peau)

1. Déterminer les champs magnétiques complexes associées à cette onde. On poseraα=»_2ωε

0

γ .

2. Comme le modèle adopté ici est réaliste (métal réel), il n’y a pas de courant surfacique. Traduire les relations de passage des champs.

3. En déduire l’expression derett. Vers quelles valeurs tendent-ils dans le cas d’un conducteur parfait ?

4. Calculerαpour une fréquence hertziennef '320 MHz et en déduire l’expression appochée, au premier ordre en αdu coefficient de réflexion r (sous la formea+ib). Quel est alors le déphasage de l’onde réfléchie sur l’onde incidente ? Montrer que tout se passe comme si l’onde incidente faisait un aller-retour dans le métal à la célérité dans le vide sur une profondeurz_P à déterminer. Interpréter.

5. Calculer les trois vecteurs de Poynting moyens enz= 0, puis définir et exprimer en fonction deα(sans le supposer petit) les coefficients de réflexionRet de transmissionT en énergie. Établir et expliquer la relation simple entre Ret T. Montrer que l’expression approchée deT, compte tenu du fait queα1, s’exprimer très facilement en fonction deα. A.N. pourf '320 MHz. Commenter.

Ex. 10 Le guide d’onde : dispersion dues aux conditions aux limites

Le guide d’onde de longueur infinie est de section rectangulaire a, b : 0 < x < a et 0< y < b. Il est fait de métal assimilé à un conducteur parfait. On admet que le champ électrique et magnétique à l’intérieur du métal est nul.

L’intérieur du guide d’onde est remplie d’air assimilté à du vide.

1. À partir des relations de passage des champs, justifier que la composante tangentielle au métal du champ électrique est nulleveE_t=0et que la composante normale au métal du champ magnétique est nulleB_n=0.

2. Dans la suite, on cherche des solutions de la formeE=A(x, y) exp(j(ωt−k_gz)e_y. Montrer queAne dépend pas dey. Montrer que l’équation dontAest solution est :

d²A dx² +

Åω² c² −k_g²

ã A= 0

Compte tenu des conditions aux limites, montrer que ^ω_c2² −k_g²>0. Montrer alors que :

E_n=A_0,nsinnπx a

exp(j(ωt−k_g,nz)e_y avec k²_g,n=ω²

c² −n²π² a² Commenter l’expression du champ, àxfixé d’une part et àz fixé d’autre part.

3. Calculer la vitesse de phase et la vitesse de groupe.

4. Calculer le champ magnétiqueveBn en justifiant la nécessité de revenir aux équations de Maxwell pour ce calcul.

Vérifier que la forme proposée vérifie les conditions aux limites.

5. Calculer la puissance moyenne temporelle du vecteur de Poynting et montrer que :

<Π>= A²_0,nkg,n

2µ0ω sin²nπx a

ez

Commenter cette expression. En déduire que

< P >=A²_0,nkg,nab 4µ0ω Commenter.

6. Montrer que l’énergie électromagnétique moyenne par unité de longueur du guide est :

<dUem

dz >= ε0A²_0,nab 4

7. Déduire des deux expressions précédentes la vitesse de propagation de l’énergiev_e. 8. Réinterpréter l’expression deE_n comme une superposition de deux OPPH.

E_n=−jA_0,n 2 exp

j

ωt−k_g,nz−nπ a x

e_y+jA_0,n 2 exp

j

ωt−k_g,nz+nπ a x

e_y

Réinterpréter alors la forme deB_n.

Ex. 11 Onde dans un câble coaxial

On étudie un guide d’onde constitué de deux armatures métalliques cylindriques coaxiales, d’axe ez et de rayons respectifs R1 et R2 > R1. Les régions r < R1 et r > R2 sont remplies de métal parfait (conductivité infinie). La région [R1, R2] est occupée par du vide. Dans cette zone vide, on veut propager une onde électromagnérique dont le champ électrique s’écrit :

E(r, θ, z, t) =f(r) cos(ωt−kz)er avec f(R1) =E0∈R⁺ On donne :

∇∧A= ï1

r

∂A_z

∂θ −∂A_θ

∂z ò

e_r+ ï∂A_r

∂z −∂A_z

∂r ò

e_θ+ ï1

r

∂(rA_θ)

∂r −1 r

∂A_r

∂θ ò

e_z

et

∆f =1 r

∂

∂r Å

r×∂f

∂r ã

+ 1 r²

∂²f

∂θ² +∂²f

∂z²

1. A l’aide des équation de Maxwell (préciser la ou lesquelles), déterminer la fonctionr7→f(r).

2. Déterminer le champ magnétiqueBde l’onde.

3. Etablir la relation de dispersion pour l’onde envisagée. Commenter.

4. Déterminer l’expression du vecteur de Poynting. En déduire le flux d’énergie (moyenné en temps) à travers une section transversale du câble.

5. Calculer la densité volumique d’énergie électromagnétique de l’onde, puis la moyenner dans le temps.

6. En déduire la vitesse moyennevede propagation de l’énergie dans le câble.

Ex. 12 Système GPS et ionosphère

Le système de localisation GPS (global position system) est si précis qu’il est nécessaire de prendre en compte la dispersion due à la traversée de l’ionosphère. L’ionosphère, d’épaisseurH, est un plasma globalement neutre.

Terre

•satellite

D

H

Le plasma est un gaz ionisé. Il contient :

— des électrons de massem, de charge−eet de densité particulairen(nombre d’électrons par utité de volume) ;

— des ions de masseM, de charge +eet de densité particulairen.

Le plasma est suffisamment dilué pour considérer que ses éléments constitutufs sont sans interaction.

1. Lors du passage de l’onde dans le plasma, à quelle condition l’effet du champ magnétique de l’onde sur les charges est-il négligeable devant celui du champ électrique ?

2. On néglige l’effet du champ magnétique sur les charges. En un point donné du plasma, le champ électrique de l’onde s’écrit, en complexe E = E₀exp(iωt). En étudiant le mouvement des charges, établir l’expression de la conductivité complexeγ(ω) du plasma. Commenter.

3. On envisage une onde électromagnétique plane pseudo-progressive harmonique, dont le champ électrique s’écrit : E=E0exp[i(ωt−k·r)]

Ecrire les équations de Maxwell en complexes. Montrer que la relation de dispersion s’écrit : k²= ω²−ω²_p

c² où la grandeurωp, appelée pulsation de plasma, est à définir.

4. Pourquoiωp joue-t-elle le rôle d’une pulsation de coupure ? 5. Calculer la vitesse de groupe, définie par

vg =dω dk

et correspondant à la vitesse de déplacement de l’enveloppe d’un paquet d’onde.

6. Un train d’onde électromagnétique est envoyé par un satellite vers la Terre. Quel tempsτ met-il pour parcourir la distanceD?

L’espace est assimilé à du vide en dehors de l’ionosphère. La fréquence de l’onde est telle quef fp, oùfp= ^ω_2π^p, ce qui permet un calcul approché avec un développement limité.

7. Pour prendre en compte la dispersion ionosphérique, on envoie deux trains d’onde de fréquences f1 et f2 et on mesure l’écart ∆tentre leurs temps de parcours. Exprimer ∆t avecf2> f1fp.

8. Montrer queD=cτ−d, avec

d= f₁²f₂²c∆t f²(f₂²−f₁²) On trouve quedest de l’ordre de quelques mètres. Commentaire.

Ex. 13 Onde hertzienne dans l’eau de mer

On étudie la propagation d’ondes hertzienne dans l’eau de mer. On admet que l’eau est totalement neutre (ρ= 0).

Sa permittivité diélectrique relativeεr= 80 et sa conductivitéσ= 6,23 S·m⁻¹sont supposées réelles.

1. Quel est le domaine de fréquence des ondes hertziennes ? Donner les équations de Maxwell dans le milieu di- électrique (remplacer ε0 par ε0εr). Comment se situe la conductivité du cuivre comparée à celle de l’eau de mer ?

2. Déterminer l’équation de propagation vérifiée par le champ électrique.

3. Etablir la relation de dispersion.

4. Déterminer la fréquence de coupure au-delà de laquelle il n’y a pas d’absorption. Quelle est la vitess de phase dans ce cas ?

5. La fréquence d’une onde estf = 100 MHz. Déterminer la valeur de la pulsation spatialek. Déterminer la distance caractéristique d’absorption de l’onde et sa vitesse de phase. Y a-t-il dispersion ? Pourquoi n’utilise-t-on pas d’ondes hertziennes pour les communications sous-marines ?