Démontrez l'équation de Poynting et rappelez la structure d'une onde plane progressive harmonique.

Electromagnétisme dans le vide (PC*)

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Question de cours

Démontrez l'équation de Poynting et rappelez la structure d'une onde plane progressive harmonique.

Exercice Interférences entre ondes électromagnétiques On considère deux ondes planes − →

E

1

( − → r , t) et − →

E

2

( − → r , t) , monochromatiques de pulsation ω , déphasées d'une phase ϕ l'une par rapport à l'autre et se propageant toutes deux dans la direction − u →

_x

.

1. Donnez les expressions des champs électriques et en déduire celles des champs magnétiques − → B

₁

et

− →

B

₂

associés.

2. Calculez les valeurs moyennes temporelles des vecteurs de Poynting − → Π

₁

et − →

Π

₂

de chacune des ondes en x = 0 .

3. Calculez la valeurs moyenne temporelle du vecteur de Poynting − →

Π de l'onde résultante en x = 0 . Commentez le résultat obtenu.

Solution

− →

E

1

( − → r , t) = −−→

E

0,1

cos (ωt − kx) , − →

E

2

( − → r , t) = −−→

E

0,2

cos (ωt − kx + ϕ) . On a −→

rot − → E = −

^∂

−

→ B

∂t

donc on a

^∂

− → B

∂t

= −ksin (ωt − kx)

− → u

x

∧ −−→

E

0,1

donc − →

B

1

( − → r , t) =

¹_c

cos (ωt − kx)

− → u

x

∧ −−→

E

0,1

et − →

B

2

( − → r , t) =

¹_c

cos (ωt − kx + ϕ)

− → u

x

∧ −−→

E

0,1

. On en déduit les vecteur de Poynting − →

Π

₁

=

− → E

₁∧

− →

B

₁

µ₀

=

_cµ¹

0

cos

²

(ωt − kx) h −−→

E

_0,1

∧

− → u

_x

∧ −−→

E

_0,1

i

. Or − → a ∧ − →

b ∧ − → c

= − →

b ( − → a . − → c ) − − → c

−

→ a . − → b

et −−→

E

0,1

. − u →

x

= 0 car div − →

E = 0 donc − → Π

1

=

_cµ¹

0

cos

²

(ωt − kx) E

_0,1²

− u →

x

et

− → Π

2

=

_cµ¹

0

cos

²

(ωt − kx + ϕ) E

_0,2²

− u →

x

.

Leurs valeurs moyennes en x=0 valent D − → Π

1

E

=

_2cµ¹

0

E

_0,1²

− u →

x

et D − → Π

2

E

=

_2cµ¹

0

E

_0,2²

− u →

x

. Pour l'onde totale, le vecteur de Poynting vaut − →

Π = − →

E

1+

− → E

2

∧

− → B

1+

− →

B

2

µ0

= − →

Π

1

+ − → Π

2

+

− → E

1∧

− →

B

2

µ0

+

− → E

2∧

− →

B

1 µ0

et − → E

₁∧

− →

B

₂

µ0

=

_µ¹

0c

cos (ωt − kx) cos (ωt − kx + ϕ) −−→

E

_0,1

∧

− → u

_x

∧ −−→

E

_0,2

=

_µ¹

0c

cos (ωt − kx) cos (ωt − kx + ϕ) −−→

E

_0,1

. −−→

E

_0,2

− → u

_x

donc

−

→ Π (x = 0) = − → Π

1

+ − →

Π

2

+

_µ²

0c

cos (ωt) cos (ωt + ϕ) −−→

E

0,1

. −−→

E

0,2

− u →

x

D − → Π E

= D − → Π

1

E + D − →

Π

2

E +

_µ¹

0c

cos (ϕ) −−→

E

0,1

. −−→

E

0,2

− u →

x

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1