JUILLET-AOÛT 195G - N " 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 4 1 5
NOTULES HYDRAULIQUES
HYDRAULIC BRIEFS
Détermination du point de déferlement pour une onde progressive
en profondeur décroissante
Designation of the breaker-point
for a progressive wave on decreasing d e p t h
L'étude porte exclusivement sur une onde pro- gressive plane et fait appel à la théorie clas- sique du 2° ordre, en considérant comme négli- geables les effets de la loi de décroissance de la profondeur et ceux des réflexions (plages plates). La condition de déferlement est dé- duite de l'étude, de la composante horizontale du mouvement des particules puis mise sous forme d'abaques. Les résultats théoriques sont en bon accord avec les résultats obtenus en laboratoire et dans la nature.
The investigation is confined to plane progres- sive waves and malces use of 2nd order classical theory; the effects of the law of decrease in depth and of reflection (flat beaches) are ne- glected. The conditions for breaking are derived by considering the horizontal motion of particles, and are then presented in graphical form. The theoretical results obtained are in good agreement with observations in the labor- atory and in nature.
HOMMAGE. — L'auteur tient à remercier le Professeur BIESEL, du Laboratoire Dauphinois d'Hydraulique SOGREAH, à Grenoble, qui a bien voulu lire la théorie ci-après et qui'l'a jugée digne d'être publiée. Il tient aussi à remercier le Professeur Dr. P E R BRUUN, de l'Université de Floride, qui lui a suggéré cette présentation.
1. — E x p r e s s i o n m a t h é m a t i q u e d u p h é n o m è n e N o u s c o n s i d é r e r o n s s e u l e m e n t ici u n e o n d e p r o - gressive p l a n e . L ' e x p r e s s i o n m a t h é m a t i q u e est faite e n c o o r d o n n é e s de L a g r a n g e : les coor- d o n n é e s x, z d ' u n e p a r t i c u l e en m o u v e m e n t à u n i n s t a n t d o n n é s o n t e x p r i m é e s e n f o n c t i o n d e ses c o o r d o n n é e s a u r e p o s Ç) et d u t e m p s t.
E t a n t d o n n é q u e n o u s a l l o n s n o u s a t t a c h e r a u m o u v e m e n t l o r s d u d é f e r l e m e n t , c ' e s t - à - d i r e d a n s d e s c o n d i t i o n s de p r o f o n d e u r r e l a t i v e m e n t l i m i - tée, la t h é o r i e d u p r e m i e r o r d r e e s t i n s u f f i s a n t e et n o u s n o u s p r o p o s o n s d ' u t i l i s e r la t h é o r i e du s e c o n d o r d r e , p u i s q u e l ' u t i l i s a t i o n d e s t h é o - ries d ' o r d r e s u p é r i e u r e n t r a î n e r a i t de t r è s g r a n - des c o m p l i c a t i o n s d e c a l c u l .
ACKNOWLEDGEMENT. — The author wants to thank Professor F . BIESEL at Laboratoire Dauphinois
d'Hydraulique, SOGREAH, Grenoble, who has been kind enough to read the. theory here published, and who has found it worth to be published. I also want to thank professor, Dr. P E R BRUUN, University of Florida, who has also requested me to publish the theory.
1. — M a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e w a v e m o t i o n
H e r e is o n l y d e a l t w i t h a p l a n e p r o g r e s s i v e w a v e . T h e m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n of t h e w a v e - m o t i o n i s m a d e i n L a g r a n g i a n c o o r d i n a t e s , w h e r e t h e c o o r d i n a t e s (x. z) of a p a r t i c l e t o a n y t i m e d u r i n g t h e m o t i o n a r e e x p r e s s e d a s f u n c - t i o n s of its c o o r d i n a t e s i n r e s t (?, 0 a n d of t h e t i m e t.
A s w e a r e g o i n g t o t a k e o u r i n t e r e s t i n t h e m o t i o n a t b r e a k i n g , i.e. a t a r e l a t i v e l y l i m i t e d d e p t h , t h e first o r d e r t h e o r y is i n s u f f i c i e n t , a n d it is h e r e c h o s e n t o u s e t h e s e c o n d o r d e r t h e o r y , a s t h e u s e of t h e o r i e s of h i g h e r o r d e r , will i n - volve a v e r y g r e a t c o m p u t a t i o n a l w o r k .
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1956036
4 1 6 LA H O U I L L E B L A N C H E № 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 6
L e s f o r m u l e s d u s e c o n d o r d r e c o n c e r n a n t l ' o n d e p r o g r e s s i v e p l a n e e n p r o f o n d e u r c o n s t a n t e s o n t b i e n c o n n u e s :
T h e s e c o n d o r d e r f o r m u l a s for a p l a n e p r o g r e s - sive w a v e o n c o n s t a n t d e p t h a r e a s i s well k n o w n :
1 +
H c h m ( d — Q
2 s h mal s i n (kt — m l)
16 m sh°-md sin 2 (kt — m l)
3 H- . ch 2 m (d -
32 m s h1 md sin 2 (kt — m E)
H s h m (d — Q
2 s h md cos (kt — m ç) — H2 s h 2 m (d
1 6 m s h2 md
3 H2 s h 2 m (d — l)
32 s h4 m d
(1 a)
COS 2 (kt — 777 Ç) (1 fc) D a n s les f o r m u l e s ( 1 ) , /77 = 2 %/L etk = 2 T T / T ;
L é t a n t la l o n g u e u r d ' o n d e e t T l a p é r i o d e . H e s t l ' a m p l i t u d e , et d la p r o f o n d e u r de l ' e a u a u r e p o s .
E n t r e L, T et d, la r e l a t i o n :
I n t h e f o r m u l a s ( I ) a r e m=2%/L a n d k=2n/T, w h e r e L is t h e w a v e - l e n g t h a n d T is t h e p e r i o d . H is t h e w a v e - h e i g h t a n d d is t h e n a t u r a l d e p t h of t h e w a t e r .
B e t w e e n L, T a n d d t h e r e l a t i o n : JL
T (2)
e s t v a l a b l e .
B i e n q u e les f o r m u l e s ( 1 ) a i e n t été é t a b l i e s p o u r u n e h o u l e e n p r o f o n d e u r c o n s t a n t e , n o u s les u t i l i s e r o n s ici, m a i s , b i e n e n t e n d u , n o u s n ' o b - t i e n d r o n s a u c u n r e n s e i g n e m e n t c o n c e r n a n t l ' i n - fluence d e la f a ç o n d o n t la p r o f o n d e u r d é c r o î t ; ceci n ' a c e p e n d a n t p r o b a b l e m e n t q u ' u n e i m p o r - t a n c e s e c o n d a i r e .
D e m ê m e les f o r m u l e s ( 1 ) s u p p o s e n t q u ' i l n e se p r o d u i t a u c u n e réflexion. L o r s q u e les p l a g e s s o n t plates', le coefficient d e réflexion e s t p e t i t , et p a r c o n s é q u e n t le fait d e n é g l i g e r c e t t e r é - flexion s ' a v è r e , d a n s la p l u p a r t d e s c a s , u n e e r r e u r d ' i m p o r t a n c e s e c o n d a i r e .
2. — L e m o u v e m e n t h o r i z o n t a l d e s p a r t i c u l e s C o n d i t i o n s d e d é f e r l e m e n t
L ' e x p r e s s i o n ( 1 a) d o n n e l ' a b s c i s s e x d ' u n e p a r - ticule d o n t les c o o r d o n n é e s a u r e p o s s o n t (?, 0 - D e p l u s , l ' h y p o t h è s e d u m o u v e m e n t r é g u l i e r i m - p l i q u e q u e si 1 et 2 s o n t d e u x p a r t i c u l e s v o i s i - n e s a y a n t u n e m ê m e v a l e u r Ç, 1 é t a n t a v a n t 2 l o r s q u e l ' e a u e s t a u r e p o s , l a p a r t i c u l e 1 se t r o u - v e r a é g a l e m e n t a v a n t la p a r t i c u l e 2 l o r s q u e l ' e a u s e r a s o u m i s e à u n e o n d e r é g u l i è r e . D e la f o r m u l e (1 a ) , on p e u t d é d u i r e q u e l o r s q u e la p r o f o n - d e u r o* d e v i e n t t r è s p e t i t e , c e t t e c o n d i t i o n n ' e s t p l u s r e s p e c t é e . O h p e u t d o n c f o r m u l e r la r è g l e s u i v a n t e :
Le déferlement commence au point où. pour la première fois, des particules voisines situées sur un même plan horizontal se rejoignent dans la direction horizontale. '
M a t h é m a t i q u e m e n t , ceci s ' é c r i t :
is v a l i d .
T h o u g h t h e f o r m u l a s (1) a r e d e r i v e d for a w a v e m o t i o n o n c o n s t a n t d e p t h , w e w i l l u s e t h e m h e r e , h o w e v e r w e d o n ' t o b t a i n a n y i n f o r m a t i o n of t h e i n f l u e n c e of t h e w a y i n w h i c h t h e d e p t h is d e c r e a s i n g , b u t t h i s m a y p r o b a b l y b e of only s e c o n d a r y i m p o r t a n c e .
B y t h e d e r i v a t i o n of t h e f o r m u l a s ( 1 ) it is a l s o a s s u m e d t h a t n o r e f l e c t i o n o c c u r s . W h e n t h e b e a c h e s a r e flat, t h e coefficient of r e f l e c t i o n will be little, a n d t h e r e f o r e it m a y i n m a n y c a s e s be a n e r r o r of s e c o n d a r y i m p o r t a n c e t o n e g l e c t t h e reflection.
2. — T h e h o r i z o n t a l m o t i o n o f -the p a r t i c l e s C o n d i t i o n o f B r e a k i n g
B y t h e e x p r e s s i o n ( 1 a) is d e s i g n a t e d t h e ^ - c o o r - d i n a t e for a p a r t i c l e w h o s e c o o r d i n a t e s i n t h e s t a t e of r e s t a r e (?, £)• N o w it m u s t b e so for a r e g u l a r m o t i o n , t h a t if 1 a n d 2 a r e t w o c o n s e c u - t i v e p a r t i c l e s w i t h t h e s a m e C-value, a n d 1 is b e f o r e 2 w h e n t h e w a t e r is a t r e s t , t h e n p a r t i c l e 1 m u s t a l s o b e b e f o r e 2 w h e n t h e w a t e r is i n a r e g u l a r w a v e - m o t i o n . F r o m f o r m u l a ( 1 a) o n e m a y find t h a t w h e n t h e d e p t h d h a s b e e n v a r y little, t h i s c o n d i t i o n is n o t fulfilled. O n e m a y n o w f o r m u l a t e t h e f o l l o w i n g t h e o r y :
The breaking will begin at that point, where it at first occurs, that consecutive particles at the same horizontal level are just beginning to pass each other in horizontal direction.
T h i s is m a t h e m a t i c a l l y f o r m u l a t e d :
(3)
JUILLET-AOUT 195f> - № 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 417
3 . — E t a b l i s s e m e n t d ' u n a b a q u e d u p o i n t d e d é f e r l e m e n t A la b a s e d e l ' é t a b l i s -
s e m e n t d ' u n a b a q u e d o n - n a n t le p o i n t d e d é f e r l e - m e n t , n o u s a d m e t t r o n s u n e o n d e a y a n t , e n p r o - f o n d e u r infinie, u n e a m - p l i t u d e H0, u n e l o n g u e u r d ' o n d e L0 et u n e p é r i o d e T ; c e t t e o n d e se d é p l a c e en p r o f o n d e u r d é c r o i s - s a n t e s a n s a u c u n e i n - f l u e n c e p e r t u r b a t r i c e telle q u e la r é f r a c t i o n , la diffraction ou le v e n t . L a p é r i o d e T e s t d o n c c o n s - t a n t e . L ' a m p l i t u d e , l a l o n g u e u r d ' o n d e et l a p r o f o n d e u r de l ' e a u a u p o i n t d e d é f e r l e m e n t s o n t n o t é s p a r H6, L6 et
«V
E n d i f f é r e n c i a n t (1 a ) , on t r o u v e :
theoretical - théorique
experimental (M. Suquerl- expérimental
empirica! (U S Hydrographie office! - empirique
3. — C o m p i l a t i o n o f a d i a g r a m of t h e b r e a k e r p o i n t
As a b a s i s for t h e c o m p i l a t i o n of a d i a g r a m for t h e b r e a k e r - p o i n t , w e w i l l n o w u s e , t h a t w e o n i n f i n i t e d e e p w a t e r h a v e t h e w a v e - h e i g h t H0, w a v e - l e n g t h L0 a n d p e r i o d T , a n d t h a t t h i s w a v e is m o v i n g i n t o d e c r e a s i n g d e p t h w i t h o u t
a n y d i s t u r b i n g i n f l u e n - ces l i k e r e f r a c t i o n , dif- f r a c t i o n o r w i n d - e f f e c t . T h e n t h e p e r i o d T i s c o n s t a n t . T h e w a v e - h e i g h t , w a v e l e n g t h a n d t h e d e p t h of t h e w a t e r a t t h e p o i n t of b r e a k i n g a r e d e n o t e d H6, L6 a n d
«V
B y d i f f e r e n t i a t i n g ( l a ) w e get :
dx
H
m< * y - P cos (kt - m 0 +i£ m»
2 s h md 8 1
s h2 md cos 2 (kt — m E) 3 H2
16 m* eh 2 m (d —
-Q
s h4 md cos 2 (kt — m V) (4)
Il d é c o u l e de la f o r m u l e (4) q u e min dx/dl est a t t e i n t p o u r 'Ç = 0, c ' e s t - à - d i r e à l a s u r f a c e de l'eau et p o u r cos (kf— m l) = 1, c ' e s t - à - d i r e p o u r kt — m l = 0.
dx „ Ï C H l
35,
It a p p e a r s f r o m (4), t h a t min dx/dl i s f o u n d for t = 0, i.e. a t t h e s u r f a c e of t h e w a t e r a n d for cos (kt — m V) = I , i.e for kl— m \ = 0.
= l
De (5) et (3), o n t i r e :
' T U H „ \ l
L t h md \ L
1
s h2 md
+
3 4 s h4 md 1F r o m (5) a n d (3) : 1
V
L b / t h 2 7c db(5)
(6)
L a p é r i o d e T é t a n t c o n s t a n t e , l ' é q u a t i o n s u i - v a n t e p e u t ê t r e o b t e n u e à p a r t i r de l ' é q u a t i o n (2) en f a i s a n t d ' u n e p a r t d = oo et d ' a u t r e p a r t d = rf» :
L„
As t h e p e r i o d T is c o n s t a n t , w e find f r o m (2) by s u b s t i t u t i n g p a r t l y d = oc a n d p a r t l y rt* = dh t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :
2 * 0 * ,
I = t h L ( 7 )
On p e u t c o n s i d é r e r c o m m e a c q u i s q u e l ' é n e r - gie t r a n s p o r t é e p o u r c h a q u e p é r i o d e est c o n s - t a n t e , c ' e s t - à - d i r e q u e :
O n e m a y t a k e for g r a n t e d , t h a t t h e e n e r g y t r a n s p o r t e d p e r p e r i o d i s c o n s t a n t , i.e. :
4 % d
D i a g r a m m e d e d é f e r l e m e n t Breaking
Diagram.
418 L A H O U I L L E B L A N C H E № 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 6
D ' a p r è s c e t t e é q u a t i o n , e t e n f a i s a n t d = co e t F r o m t h i s i s d e r i v e d b y s u b s t i t u t i n g d = M d = db, o n p e u t é c r i r e : a n d d — db :
/ L0 1 ^
H« 1 / L» i l 4 * d6/ L „ s h (4 w df t/ L6)
D ' a p r è s (7) e t ( 9 ) , o n o b t i e n t : F r o m (7) a n d (9) i s d e r i v e d :
(10' H , 1
V L& V ^ s h (4 « d j / L j )
H0 e t L0 é t a n t s u p p o s é s c o n n u s , l ' é q u a t i o n ( 6 ) , l ' é q u a t i o n (7) e t l ' é q u a t i o n (10) p e r m e t t e n t d e t r o u v e r ( d6/ L0) e n f o n c t i o n d e ( H0/ L0) . Ceci e s t facile, e n p r e n a n t 2 % db/h1) c o m m e p a r a m è t r e .
L ' é q u a t i o n (6) d o n n e Hh/Lv, l ' é q u a t i o n (7) L6/ L0 e t l ' é q u a t i o n (10) H6/ H0 e n f o n c t i o n d e ce p a r a m è t r e .
N o u s a v o n s a l o r s :
U n g r a p h i q u e à d e u x é c h e l l e s l o g a r i t h m i q u e s d o n n e l a r e l a t i o n e n t r e d0/ L o e t H0/ L0. E n e x a - m i n a n t d ' u n e p a r t l e s r é s u l t a t s t r o u v é s d a n s l a r é a l i t é p a r l'Office H y d r o g r a p h i q u e ( B i b l i o g r a - p h i e : U . S . H y d r o g r a p h i e Office. B r e a k e r s a n d
surf. P r i n c i p l e s i n f o r e c a s t i n g ) , d ' a u t r e p a r t l e s essais' d e l a b o r a t o i r e r é a l i s é s p a r M. SUQTJET ( b i - b l i o g r a p h i e : F . SUQUET, « E t u d e e x p é r i m e n t a l e d u d é f e r l e m e n t d e l a h o u l e », la Houille Blanche, m a i - j u i n 1950, p p . 342-361), o n c o n s t a t e q u ' i l y a u n e x c e l l e n t a c c o r d e n t r e l e s r é s u l t a t s e t l a t h é o r i e p u b l i é e i c i .
4. — I n t é r ê t d e l a t h é o r i e
L e b o n a c c o r d e n t r e l e s r é s u l t a t s t h é o r i q u e s e t les r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x s e m b l e m o n t r e r q u e n o t r e t h é o r i e , e t e n p a r t i c u l i e r l a c o n d i t i o n ( 3 ) , s o n t v a l a b l e s . P a r c o n t r e , o n p e u t se d e m a n d e r si la s u i t e d u c a l c u l , b a s é s e u l e m e n t s u r l a t h é o r i e d u s e c o n d o r d r e , e s t s u f f i s a m m e n t e x a c t e . D e s s o l u t i o n s p l u s p r é c i s e s p o u r r a i e n t à l ' a v e n i r ê t r e o b t e n u e s ' p a r u n e i n t é g r a t i o n n u m é r i q u e d e s é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s d e l a h o u l e g r â c e à l ' u s a g e d e m a c h i n e s à c a l c u l e r é l e c t r o n i q u e s .
O n p e u t p e n s e r a u s s i q u ' i l s e r a p o s s i b l e d e p r e n d r e e n c o m p t e d e s effets s e c o n d a i r e s t e l l e q u e l a p e n t e d u f o n d , le f r o t t e m e n t s u r le f o n d , le v e n t e t d e s r é f l e x i o n s p a r t i e l l e s .
As H0 a n d L0 a r e a s s u m e d t o b e k n o w n , w e w i l l f r o m ( 6 ) , (7) a n d (10) find ( d „ / L0) a s a f u n c t i o n of ( H0/ L0) . T h i s m a y e a s y b e d o n e , a s o n e t a k e s 2 w db/hb a s a p a r a m e t e r .
F r o m e q u a t i o n (6) i s f o u n d H,,/L,, f r o m (7) L6/ Lf l a n d f r o m (10) H6/ H0 a s f u n c t i o n s of t h e p a r a m e t e r .
W e h a v e t h e n :
(11)
(12) T h e c o n n e x i o n b e t w e e n d0/ L0 a n d H0/ L0 i s s h o w n i n a d o u b l e l o g a r i t h m i c d i a g r a m . C o m - p a r i s o n w i t h p a r t l y e m p i r i c a l d a t a f o u n d b y H y d r o g r a p h i e Office ( L i t t . U . S . H y d r o g r a p h i e Office. - B r e a k e r s a n d s u r f . P r i n c i p l e s of f o r e c a s t - i n g . ) , p a r t l y w i t h l a b o r a t o r y t e s t s m a d e b y M. SUQUET ( L i t t . F . SUQUET, " E t u d e e x p é r i m e n - t a l e d u d é f e r l e m e n t d e l a h o u l e " , la Houille Blanche, M a i - J u i n 1950, p p . 342-361) s h o w s , t h a t t h e r e is a n e x c e l l e n t g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e r e s u l t s m e n t i o n e d a n d t h e t h e o r y h e r e p u b l i s h e d .
4. — J u d g e m e n t o f t h e t h e o r y
T h e good a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s ' a n d t h e e m p i r i c a l d a t a s e e m s t o i n d i c a t e , t h a t t h e t h e o r y h e r e p u b l i s h e d e s p e c i a l l y t h e c o n d i t i o n (3) m a y b e t r u e . O n t h e o t h e r h a n d i t m a y b e q u e s t i o n a b l y , if t h e f u r t h e r d e r i v a t i o n , w h i c h is o n l y b a s e d u p o n t h e s e c o n d o r d e r t h e o r y is sufficiently a c c u r a t e . M o r e e x a c t s o l u t i o n s m a y i n t h e f u t u r e b e o b t a i n e d b y n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n of t h e d i f f e r e n t i a l - e q u a t i o n s of t h e w a v e - m o t i o n b y u s i n g e l e c t r o n i c c a l c u l a t i n g m a c h i n e s .
It m a y t h e n b e a s s u m e d t o o , t h a t i t w i l l b e p o s s i b l e to t a k e i n t o a c c o u n t s u c h s e c o n d a r y effects a s b o t t o m - s l o p e , b o t t o m - f r i c t i o n , w i n d - effect a n d p a r t i a l reflection.
Ho_ = ( H » / Lb) . ( L » / L0)
L0 ( H6/ H0)
C l a ë s D Y R B Y E . C l a ë s D Y R B Y E .
