Puissance de Pb par rapport ) à (

D1895. Alignements en cascades*****

Soit un triangle ABC non isocèle dont les pieds des hauteurs sont respectivement Ha,Hb et Hc et les milieux des côtés opposés aux sommets sont Ma,Mb et Mc.

Les droites [HbHc] et [BC] se coupent au point Pa, Les droites [HcHa] et [CA] se coupent au point Pb et les droites [HaHb] et [AB] se coupent au point Pc,

Q1 Démontrer que les points Pa,Pb et Pc sont sur une même droite perpendiculaire à la droite d’Euler du triangle ABC Q2 Démontrer que les trois points symétriques de Ha (puis de Hb et enfin de Hc) par rapport aux trois droites qui joignent les milieux des côtés du triangle ABC sont sur une même droite Da (puis Db et enfin Dc).

Démontrer que les trois droites Da,Db et Dc sont concourantes en un point remarquable de la géométrie du triangle.

Q3 Démontrer que les trois points symétriques de Ma (puis de Mb et enfin de Mc) par rapport aux trois droites qui joignent les pieds des hauteurs du triangle ABC sont sur une même droite Δa (puis Δb et enfin Δc).

Démontrer que les trois droites Δa ,Δb et Δc sont concourantes en un deuxième point remarquable de la géométrie du triangle.

PROPOSITION Thérèse Eveilleau

Q₁ Remarque

Dans le cas d’un triangle isocèle en A, les droites (HcH_a) et (AC) seraient parallèles et non sécantes.

Idem en B ou en C.

Le triangle n’étant pas isocèle, les points d’intersection Pa, Pb et Pc existent.

- Soit (C) le cercle de centre O, circonscrit au triangle (ABC).

- Soit (C’) le cercle d’Euler de centre O’, du triangle (ABC) qui passe par les trois pieds des hauteurs et par les milieux des côtés du triangle (ABC).

- Soit H l’orthocentre du triangle (ABC).

Le centre de (C’) est le milieu de [OH].

Nous allons montrer que Pa, Pb, Pc sont sur l’axe radical des cercles (C) et (C’) Puissance de Pb par rapport ) à (C) : P(C⁾(Pb) = Pb A* PbC (*)

Puissance de Pb par rapport ) à (C’) : P(C’⁾(Pb) = PbHc * Pb Ha (**)

Comme les angles en H_c et H_a sont droits, les points A, C , et H_c et H_a sont cocycliques. sur le cercle (C1) Il s’ensuit que P(C1⁾(Pb) = Pb A* PbC ET P(C1⁾(Pb) = PbHc * Pb Ha



Avec (*) et (**) on conclut que Pb a même puissance par rapport aux cercles (C) et (C’) . P_b est donc situé sur l’axe radical des deux cercles(C) et (C’)

Il en est de même pour les points P_a et P_c.

Ces trois points P_a , P_b et P_c sont donc alignés.

L’axe radical des deux cercles (C) et (C’) est perpendiculaire

à la droite passant les centres de ces deux cercles dont à la droite (OO’) qui est la droite (OO’).

Notons que H est le milieu de [OO’].

Q₂

Remarque : Le symétrique de Hc par rapport à (MaMb) est C.

Le point Hc, comme nous l’avons vu en Q1 est situé sur le cercle d’Euler du triangle (ABC). Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle MaMbMc.

Les projetés orthogonaux de Hc, sur les trois côtés de MaMbMc, sont donc alignés sur (D) la droite de Simson associée à Hc, dans le triangle MaMbMc.

Les points I, J et S symétriques de Hc se déduisent des projetés par une homothétie de centre Hc et de rapport 2.

Ils sont situés sur la droite homothétique de (D).

C’est la droite de Steiner de Hc associée au point Hc.

On sait que l’orthocentre H’ de MaMbMc est situé sur la droite de Steiner.

Ces points sont alignés sur une droite passant par C.

Il en sera de même pour les autres points Hb et Ha : alignement sur deux droites passant respectivement par A et B.

Ces droites sont concourantes en H’ orthocentre de MaMbMc et centre du cercle circonscrit à (ABC).

Nota : Le point H’ orthocentre du triangle médian, est le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC).

Ceci car les hauteurs de (ABC) sont les médiatrices de (ABC).

Q₃

Observons les projections M,N et P de Ma sur els trois côtés du tringle orthique HaHbHc.

Le point Ma étant situé sur le cercle d’Euler circonscrit au triangle HaHbHc, on déduit comme précédemment que els points M, N et P sont alignés sur (D1) la droite de Simson associée au point Ma.dans le triangle HaHbHc.

Les points Q,R et S symétriques de ces points par rapport aux côtés du triangle orthique se déduisent de M, N et P par une homothétie de centre Ma et de rapport 2.

Ils sont alignés sur une droite qui est la droite de Steiner de associée à Ma.

Et comme ci-dessus :

On sait que l’orthocentre H1 de HaHbHc est situé sur la droite de Steiner.

Cette droite (QRS) passe par l’orthocentre H1 du triangle HaHbHc.

 Les trois points symétriques de Ma (puis de Mb et enfin de Mc) par rapport aux trois droites qui joignent les pieds des hauteurs du triangle ABC sont alignés.

Ces trois droites sont concourantes en l’orthocentre H1 du triangle orthique HaHbHc.