A2834. Une limite singulière
Dans un repère Oxy orthonormé, on trace sur l’axe des abscisses positives les points
A0,A1,A2,A3,…An les uns à la suite des autres et sur l’axe des ordonnées positives les points
B0,B1,B2,B3,…Bn les uns à la suite des autres de sorte que la ligne brisée
B0A0B1A1B2A2B3A3….BnAn délimite les 2n + 1 triangles
OA0B0, B0A0B1, A0B1A1, B1A1B2,…., An-1BnAn
qui ont tous la même aire (voir figure ci-dessus pour n = 5)
Déterminer la limite de OBn /OAn quand n tend vers l’infini.
Solution de Paul Voyer
Ça ressemble à pi/2.
Nommons u
n = OA
n et v
n = OB
n
L'aire du triangle A
n-1A
nB
n est u
nv
n/2 = OA
0OB
0/2 que l'on peut fixer à 1.
L'aire du triangle OA
nB
n = n+1.
On peut écrire : u
n = (2n+1)/v
n
v
n = 2n/u
n-1
u
n-1=(2n-1)/v
n-1
D'où u
n = [(2n+1)/2n]u
n-1 et v
n = [2n/(2n-1)]v
n-1
u
n = 3.5.7…/2.4.6… et v
n = 2.4.6…/1.3.5…
OB
n/OA
n = v
n/u
n =
...
7
².
5
².
3 . 1
²...
6
² 4
²
2 = ...
7
* 6 5
* 6 5
* 4 3
* 4 3
* 2 1
2 tend vers
2
. La limite est le produit de Wallis.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_Wallis
