le 9 Janvier 2010 UTBM MT26
Final automne 2008
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE. (12 points)
1) D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0 de la fonction f(x) = ln(x2−5x+ 6) et d´eterminer sur quelintervalle ce d´eveloppement est valable.
R´eponse :
(2 points) f(x) = ln(6)−∑+∞
1 1
n(21n +31n)xn sur [−2,2[ (crit`ere s´eries altern´ees en -2).
2) Justifier le fait qu’une s´erie enti`ere∑
n≥0anxn de rayon de convergenceR est continue sur ]−R, R[.
R´eponse :
(2 point). La convergence est normale sur tout disque de centre 0 et de rayon r < R donc uniforme (Soit r < r′ < R, ∀|x| ≤ r, |anxn| ≤ |an(r′)n|(rr′)n avec
|an(r′)n| born´e par d´efinition du rayon de convergence). Or tout point de ]−R, R[
appartient `a un tel disque.
3) Soit∑
n≥0anxn une s´erie enti`ere de rayon de convergence R ∈R. On d´efinit (bn)n≥0 par
∀n∈ N, b2n =an et b2n+1 = 0. Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere ∑
n≥0bnxn. Justifier.
R´eponse : (2 point) ∑
bnxn =∑
anx2n qui converge si x2 < R et diverge si x2 > R. Donc
∑bnxn converge si x <√
R et diverge si x >√
R, donc R′ =√ R.
4) D´eterminer le d´eveloppement de Fourier complexe de la fonction 2π-p´eriodique d´efinie sur ]0,2π] parf(x) =e2x. En d´eduire le d´eveloppement de Fourier r´eel def.
1
R´eponse :
(2 points) cn = 2π1 ∫2π
0 e2x−inxdx= 2π1 [e(2−in2−in)x]2π0 =−2π1 12−−ein4π.
Rappel :Soit f :R−→ R une fonction continue par morceaux,T p´eriodique (ω = 2πT ) On d´efinit les coefficients de Fourier complexesde f pour n∈Z:
cn(f) = 1 T
∫ T
0
f(t)e−inωtdt.
5) D´eterminer une fonction de la variable complexef(x+iy) =p(x, y) +i.q(x, y) holomorphe sur Cavec p(x, y) =xy.
R´eponse :
(2 points) On veut∀(x, y)∈R2, ∂x∂p(x, y) =y = ∂y∂q(x, y) donc q(x, y) = y22 +k(x).
Il suffit alors que ∂q∂x(x, y) = k′(x) = −∂p∂y(x, y) = −x d’o`u k(x) = −x22 par ex. On peut donc consid´erer f(x+iy) = (xy) +i.(y2−2x2)
6) D´eterminer le domaine de d´erivabilit´e au sens complexe de la fonction d´efinie sur C par f(z) =z.(1−z).¯
R´eponse :
(2 point)f(x+iy) = x−x2−y2+iy. ∂P∂x(x, y) = 1−2x, ∂Q∂y(x, y) = 1. ∂Q∂x(x, y) = 0,
∂P
∂y(x, y) = −2y. Les condictions de Cauchy ne sont v´erifi´ees qu’en 0.f est clairement d´erivable en 0. Donc le domaine est {0}.
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2
DEUXIEME PARTIE (CHANGER DE FEUILLE !).
Exercice 1 (5 points)
Soit l’´equation diff´erentielle
(E) x.y′′+ 2.y′+x.y= 0
avec les conditions initiales : y(0) = 1 , y′(0) = 0.
1) D´eterminer les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere au voisinage de 0 de E ainsi que leur rayon de convergence.
R´eponse :
(3 points) Apr`es avoir remplac´e, on trouvea1 = 0, a0 = 1 etan+1 =−(n+2)(n+1)an−1 . On trouve donc y =∑
p≥0
(−1)p (2p+1)!)x2p
2) Reconnaˆıtre ces solutions.
R´eponse :
(2 point) y = sin(x)x
Exercice 2 (5 points)
Soit la fonction impaire, 2π-p´eriodique telle que ∀x∈]0, π]par : f(x) =x.
1) Tracer la courbe repr´esentative de cette fonction sur[−3π,3π].
R´eponse : (1 point)
2) Calculer les coefficients de Fourier r´eels et donner le d´eveloppement de Fourier correspon- dant de f.
R´eponse :
(1 points) bn = 2(−1)nn+1.
3) Vers quelle fonction converge le d´eveloppement de Fourier def? Cette convergence est-elle uniforme ? Pourquoi ?
R´eponse :
3
(1 point) D’apr´es le th´eor`eme de Dirichlet la somme est
S(x) =
{ f(x) pour x̸=π+ 2kπ (k∈Z) 0 sinon
4) En d´eduire ∑+∞
p=0 (−1)p
2p+1 et∑+∞
n=0 1 n2. R´eponse :
(1 point) + (1 point) en π2, ∑+∞
p=0 (−1)p
2p+1 = π4. Parseval :∑+∞
n=0 1
n2 = π62.
D´eveloppements usuels en s´eries enti`eres autour de 0.
ex =∑+∞
n=0xn n!, cosh(x) =∑+∞
p=0 x2p (2p)!, sinh(x) =∑+∞
p=0 x2p+1 (2p+1)!, cos(x) =∑+∞
p=0
(−1)px2p (2p)! , sin(x) =∑+∞
n=0(−1)px2p+1 (2p+1)! , (1 +x)α= 1 +∑+∞
n=1
α(α−1)...(α−n+1) n! xn,
1
1−x =∑+∞
n=0xn, ln(1 +x) =∑+∞
n=1
(−1)n+1xn
n ,
arctan(x) =x+∑+∞
n=1(−1)n1.3....(2n2.4...(2n)−1)x2n+12n+1.
4
