Discr´ etisations des

TH` ESE

en vue d’obtenir le grade de

Docteur de l’´Ecole Normale Sup´erieure de Lyon Sp´ecialit´e : Math´ematiques

Laboratoire : Unit´e de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees (UMR 5669 CNRS)

´Ecole doctorale : Math´ematiques et Informatique fondamentale

pr´esent´ee et soutenue publiquement le 17 juin 2005 par

Tomasz MIERNOWSKI

Titre :

Dynamique discr´ etis´ ee et stochastique. G´ eom´ etrie conforme.

Directeur de th`ese : Monsieur ´Etienne GHYS Apr`es avis de : Monsieur Frank LORAY

Monsieur Arnaldo NOGUEIRA Devant la Commission d’examen form´ee de :

Monsieur ´Etienne GHYS, Membre/Directeur Monsieur Frank LORAY, Membre/Rapporteur Monsieur Arnaldo NOGUEIRA, Membre/Rapporteur Monsieur Vlad SERGIESCU, Membre

Monsieur Abdelghani ZEGHIB, Membre

de cette th`ese.

Merci ´egalement `a Frank Loray et Arnaldo Nogueira qui ont bien voulu accepter de rapporter ce travail. Leur remarques constructives m’ont permis d’am´eliorer `a la fois le contenu math´ematique et la syntaxe de ces pages.

Vlad Sergiescu et Abdelghani Zeghib me font l’honneur de faire partie du jury. Je les en remercie tr`es chaleureusement.

Le sujet de la derni`ere partie de cette th`ese m’a ´et´e propos´e par Tomasz Komorowski.

Jeszcze raz dzi¸ekuje bardzo za po´swi¸econy mi czas oraz za pomoc w redakcji pracy, kt´ora do´s´c nieoczekiwanie znalaz!la si¸e r´ownie˙z tutaj.

Merci `a Thierry Barbot pour sa relecture attentive du deuxi`eme chapitre et pour ses conseils avis´es.

Je voudrais encore une fois adresser mes remerciements `a Arnaldo Nogueira pour sa gentillesse et sa compr´ehension qui m’ont permis de travailler en toute tranquillit´e pendant la derni`ere ann´ee de pr´eparation de cette th`ese. Ici aussi merci `a Myl`ene et Mike pour leurs choix respectifs, tellement importants pour moi.

Ma gratitude s’adresse aussi `a l’ensemble des membres de l’UMPA qui ont su cr´eer un environnement tr`es sympathique et convivial. Merci `a G´erard et Herv´e pour avoir r´ecup´er´e mes nombreuses b´evues informatiques. Merci aussi `a Virginia, H´el`ene et Sabrina pour leur aide sur le plan administratif.

Last but not least, merci pour tout `a Myl`ene, George, Fran¸cois, Lumi, Mike, Andr´es, Ana, ´Edouard, Victor, Aliosza et Pierre.

Tefitka, merci...

Introduction 3 1 Discr´etisations des hom´eomorphismes du cercle 7

1.1 Introduction . . . 7

1.2 Hom´eomorphismes du cercle et nombre de rotation . . . 9

1.3 Discr´etisations - notations et premi`eres remarques . . . 10

1.4 Exemple de la rotation . . . 13

1.5 Hom´eomorphismes rationnels - longueurs des cycles . . . 16

1.6 Hom´eomorphismes rationnels - temps de stabilisation . . . 20

1.7 Diff´eomorphismes irrationnels - le cas g´en´erique . . . 26

1.8 Diff´eomorphismes diophantiens - le cas pr´evalent . . . 28

1.9 Propri´et´es ergodiques des discr´etisations . . . 31

1.10 Autres remarques . . . 33

1.11 Simulations num´eriques . . . 36

2 Discr´etisation de la dynamique sur le tore 38 2.1 Introduction . . . 38

2.2 Hom´eomorphismes respectant l’aire et permutations . . . 40

2.3 Dynamique chaotique et applications al´eatoires . . . 42

2.4 R´esultats num´eriques . . . 45

3 M´etriques analytiques mixtes 52 3.1 Introduction . . . 52

3.2 M´etriques g´en´eriques . . . 55

3.3 Les r´esultats classiques . . . 57

3.4 Cas d´eg´en´er´e transverse . . . 60

3.5 Classification des godrons g´en´eriques. . . 65

4 Th´eor`eme central limite 72 4.1 Introduction . . . 72

4.2 Notation and formulation of the main result . . . 75

4.3 Auxiliary lemmas . . . 76

4.4 Transport operator Qand its properties . . . 78

4.5 Rate of convergence of {QⁿY}n≥0. . . 80

4.6 Tightness . . . 84

4.7 Limit identification . . . 87

Bibliographie 92

1

Cette th`ese comporte trois parties ind´ependantes traitant de sujets distincts.

Dans la premi`ere partie de ce travail, compos´ee des chapitres 1 et 2, on ´etudie certains aspects du processus de discr´etisation d’un syst`eme dynamique. Soit f : (M, d)→(M, d) un hom´eomorphisme d’une vari´et´e riemannienneM. Une discr´etisation de l’action de cet hom´eomorphisme, avec une pr´ecision ε > 0, consiste en la donn´ee d’un ensemble fini de points Eε ⊂M et d’une projection Pε : M → Eε, qui v´erifie d(Pε(x), x) ≤ε, pour tout x∈M. De plus, on suppose qu’il existe une constanteC >0 telle que min{d(x, y) :x, y∈ E_ε} > Cε, c’est-`a-dire que l’ensemble E<sub>ε</sub> n’est pas “trop dense” dans M par rapport `a la pr´ecision ε. Ceci d´efinit une application discr`ete fε = Pε◦f :Eε → Eε, qui approche l’hom´eomorphismef quand εtend vers 0. L’application f<sub>ε</sub> ainsi construite sera aussi ap- pel´ee “une discr´etisation” du syst`eme continuf :M →M. L’´etude des discr´etisations est importante, particuli`erement du point de vue des simulations num´eriques qui constituent un outil puissant dans l’analyse des syst`emes dynamiques. Dans ce cas, l’espace continu M est automatiquement remplac´e par un ensemble fini de points, qui forment l’univers de l’ordinateur. Les valeurs de l’applicationf sont aussi arrondies pour qu’elles puissent ˆetre trait´ees par l’arithm´etique finie de la machine.

Fixons une discr´etisation f_ε : E_ε → E_ε. L’ensemble E_ε ´etant fini, l’orbite de tout point x ∈ E_ε est pr´ep´eriodique sous l’action de f_ε. La dynamique de l’application f_ε est donc caract´eris´ee par le nombre de cycles p´eriodiques, ainsi que leurs longueurs, la taille des bassins d’attraction des cycles (nombre de points attir´es par un cycle donn´e), le nombre d’it´erations def_εn´ecessaires pour envoyer tout point de l’ensembleE_εsur le cycle p´eriodique correspondant (que l’on appelle “le temps de stabilisation” de l’action def_ε).

La question qui se pose alors est de d´eterminer si le comportement asymptotique, quand ε→0, des grandeurs mentionn´ees ci-dessus, refl`ete en un certain sens les propri´et´es de la dynamique continue de d´epart.

Le chapitre 1 est enti`erement consacr´e `a l’´etude de discr´etisations uniformes des diff´eomorphismes du cercle. Les r´esultats obtenus montrent la d´ependance de la dynamique discr`ete en le

nombre de rotation du diff´eomorphismef consid´er´e. On remarque notamment la diff´erence entre le cas des discr´etisations d’un diff´eomorphisme de nombre de rotation irrationnel g´en´erique (qui se laisse bien approcher par des rationnels, typique au sens de Baire) et le cas du nombre de rotation diophantien (typique au sens de la mesure).

Dans le chapitre suivant on pr´esente deux ph´enom`enes apparaissant dans l’´etude des discr´etisations uniformes de la dynamique sur le toreT<sup>2</sup>. Grˆace `a un th´eor`eme de P. Lax, on sait que la suite des discr´etisations associ´ees `a un hom´eomorphismef, pr´eservant l’aire sur le tore, peut ˆetre approch´ee par une suite de permutations des ensembles de discr´etisation E_ε. Dans la premi`ere partie de ce chapitre on s’interroge sur la possibilit´e de retrouver une telle sous-suite de permutations dans la suite (fε) elle-mˆeme.

L’autre ph´enom`ene pr´esent´e dans ce chapitre est caract´eristique des discr´etisations

3

d’un syst`eme, dont la dynamique est chaotique. De nombreuses simulations num´eriques montrent que, dans ce cas, les propri´et´es (asymptotiquement quandε→0) de la famille des applications discr`etes (fε) ne d´ependent pas du choix du diff´eomorphismef, mais qu’elles sont plutˆot communes `a la dynamique chaotique elle-mˆeme. Par exemple, le nombre de cycles p´eriodiques de l’application f<sub>ε</sub> est typiquement de l’ordre de ln(#Eε), la longueur de la plus longue orbite p´eriodique est de l’ordre de√#E<sub>ε</sub>, le temps de stabilisation est de l’ordre de√#E<sub>ε</sub>, etc. Ceci correspond aux propri´et´es asymptotiques, quand N → ∞, des applications al´eatoires d’un ensemble `a N ´el´ements dans lui-mˆeme. On peut donc esp´erer que la dynamique chaotique soit bien approch´ee par la dynamique al´eatoire. On pr´esente les r´esultats num´eriques qui semblent confirmer cette conjecture dans le cas de la dynamique hyperbolique sur le tore.

La deuxi`eme partie de cette th`ese est pr´esent´ee dans le chapitre 3. Il s’agit d’une ´etude locale de m´etriques analytiques r´eelles, d´efinies dans un domaine du plan, qui peuvent d´eg´en´erer en certains points du domaine de d´efinition. Dans le cas d’une m´etrique d´efinie positive (riemannienne), le r´esultat classique de C.F. Gauss affirme l’existence locale de coordonn´ees speciales, dites “isothermes”, dans lesquelles notre m´etrique s’exprime sous la forme λ(u, v)(du² +dv²), λ >0. Le r´esultat analogue, avec λ(u, v)(du²−dv²) comme la forme canonique, reste valable dans le cas d’une m´etrique ind´efinie (lorentzienne). En essayant de g´en´eraliser ce r´esultat, on se pose la question suiavante :

Supposons que sur un voisinage d’un point x dans le plan nous ayons une m´etrique analytique r´eellegd´efinie positive (riemannienne) sur une partie de ce voisinage et ind´efinie (lorentzienne) sur l’autre. Le pointxappartient `a la fronti`ere entre ces deux r´egions qui est g´en´eriquement une courbe lisse que l’on va appeler Γ. Peut-on trouver une forme canonique pour gau voisinage de x?

Soit g une m´etrique g´en´erique. On prouve qu’au voisinage d’un point g´en´erique de la courbe Γ, il existe un changement analytique de coordonn´ees qui envoie x sur l’origine dans le plan et tel que g s’exprime sous la forme canonique ds² = λ(u, v)(du² +vdv²).

G´en´eriquement il existe tout de mˆeme des points isol´es sur la courbe Γ, au voisinage desquels la m´etrique g n’admet pas de mod`ele canonique. Plus pr´ecis´ement, on prouve l’existence dans ce cas, d’une infinit´e de param`etres d´efinissant le type conforme corres- pondant.

Le chapitre 4, contenant la derni`ere partie de ce travail, est une version l´eg`erement modifi´ee de l’article [40] “Central limit theorem for a Gaussian incompressible flow with additional Brownian noise”. On y consid`ere une ´equation diff´erentielle stochastique donn´ee par dX(t;ω, σ) = V(t,X(t);ω)dt +√

2κdB(t;σ), o`u V(t,x;ω), (t,x) ∈ R×R<sup>d</sup>, est un champ de vecteurs al´eatoire d-dimensionnel sur un espace de probabilit´eT0 = (Ω,V,P), B(t;σ),t≥0, d´enote le mouvement browniend-dimensionnel standard sur un autre espace de probabilit´e T1 = (Σ,W,Q) et κ ≥ 0 est une constante. On s’int´eresse au comporte- ment, `a long terme, d’une particule dont le mouvement est d´ecrit par l’´equation ci-dessus (sur l’espace produitT0× T1). Notamment on consid`ere l’´echelle macroscopiquex∼x/ε, t∼t/ε² et le nouveau processusXε(t) v´erifiant

dXε(t) = 1 εV

! t

ε²,Xε(t) ε

"

dt+√

2κdB(t).

On aimerait savoir si la suite (X_ε(t))_ε>0 converge faiblement quand ε→0 et, dans le cas d’une r´eponse positive, quelle est sa limite ?

On a trait´e le cas particulier du champ V gaussien, incompressible, stationaire, centr´e

et d´ecorrelant en temps fini. Dans ce cas, on prouve effectivement que la suite des processus Xε(t) converge faiblement quand ε→ 0 vers un certain mouvement brownien. C’est une g´en´eralisation d’un r´esultat obtenu par T. Komorowski et G. C. Papanicolaou dans le mˆeme cadre avec la condition κ= 0.

Discr´ etisations des

hom´ eomorphismes du cercle

1.1 Introduction

Dans ce chapitre, on s’int´eresse aux propri´et´es des discr´etisations uniformes des hom´eomorphismes du cercle. Consid´erons S¹ comme l’intervalle [0,1[ avec les extremit´es identif´ees et pour

toutN ∈N, introduisons l’ensemble de discr´etisation E_N ={k/N :k= 0,1, . . . , N−1}, `a N ´el´ements uniform´ement distribu´es sur le cercle. On d´efinit la projection P<sub>N</sub> :S<sup>1</sup>→E<sub>N</sub> associ´ee, P<sub>N</sub>(x) = k/N si et seulement si (2k−1)/2N ≤ x < (2k+ 1)/2N, (mod 1), k= 0,1, . . . , N −1. Soit f :S<sup>1</sup> → S<sup>1</sup> un hom´eomorphisme du cercle pr´eservant l’orienta- tion. Pour tout N ∈N on d´efinit une application discr`ete f_N =P_N ◦f :E_N →E_N, dont l’action sur l’ensemble E_N est induite (de mani`ere compl`etement d´eterministe) par celle de l’hom´eomorphismef sur le cercle. La suite (fN)N∈N des applications ainsi construites sera appel´ee suite des discr´etisations uniformes de l’hom´eomorphisme f. On se pro- pose d’´etudier les propri´et´es asymptotiques, quand N tend vers l’infini, de cette dyna- mique discr`ete. En particulier, on montre que le comportement des discr´etisations d’un hom´eomorphismef d´epend des propri´et´es arithm´etiques de son nombre de rotation.

Figure 1.1. Un exemple de discr´etisation uniforme sur l’ensemble E₃₁ d’un hom´eomorphisme lin´eaire par morceaux (appartenant `a la famille DL d´efinie dans le pa- ragraphe 1.11, L= 3.5, a= 0.83). L’application discr`ete poss`ede deux cycles p´eriodiques de longueur (p´eriode) 3, le temps de stabilisation est ´egal `a 4.

Soit Homeo+(S¹) (resp. Diff+r(S¹), r ∈ N∪ {∞, ω}) le groupe des hom´eomorphismes (resp. diff´eomorphismes de classeC^r) du cercle pr´eservant l’orientation. On note respecti- vementq_N(f) etT_N(f) la longueur des cycles p´eriodiques et le temps de stabilisation de la

7

N-i`eme discr´etisation f_N de l’hom´eomorphisme f ∈Homeo₊(S¹) (voir Figure 1 pour un exemple, se reporter aux paragraphes 1.5 et 1.6 de ce chapitre pour les d´efinitions pr´ecises).

Notre objectif principal est de comprendre la discr´etisation d’un diff´eomorphisme typique dont le nombre de rotation est irrationnel. Nous commen¸cons cependant par le cas plus

´el´ementaire, o`u ce nombre est rationnel.

Th´eor`eme A.1Soit f ∈Homeo₊(S¹) un hom´eomorphisme du cercle de nombre de rota- tion rationnel.

1. Si f est de nombre de rotation ^p_q et poss`ede au moins une orbite p´eriodique stable, alors pour toutN suffisamment grand, on a qN(f) =q.

2. Dans l’ensemble des hom´eomorphismes semi-stables de nombre de rotation ^p_q, il existe un ensemble ouvert dense d’hom´eomorphismes pour lesquels il existe une sous- suite (N_k)_k∈N de discr´etisations v´erifiant qN_k(f) =q pour tout k∈N.

Afin de pr´esenter le r´esultat concernant le temps de stabilisation on introduit les no- tations suivantes. Soit φ, ψ : N → R+ deux fonctions positives. Par φ - ψ on notera le fait que φ et ψ ont asymptotiquement le mˆeme ordre de croissance `a l’infini, c’est-`a-dire qu’il existe deux constantes a, b >0 telles quea≤φ(N)/ψ(N) ≤bpour toutN ∈N. Par un ´el´ement “g´en´erique” d’un espace topologique on comprend tout ´el´ement d’un ensemble contenant un ensemble de typeG_δ dense dans cet espace.

Th´eor`eme A.2 Soit ^p_q ∈ Q. Pour un hom´eomorphisme g´en´erique dans l’ensemble des hom´eomorphismes de nombre de rotation ^p_q on aT_N(f)-lnN.

Avant de traiter le cas des hom´eomorphismes de nombre de rotation irrationnel, on introduit la terminologie qui nous permettera de parler de deux notions diff´erentes de “com- portement typique” de leurs discr´etisations. On noteHomeo^R\Q₊ (S¹) (resp.Diff₊^r,R\Q(S¹)) le sous-ensemble des hom´eomorphismes (resp. diff´eomorphismes de classe C^r) du cercle pr´eservant l’orientation, dont le nombre de rotation est irrationnel. SoitX_W ⊂Homeo^R\Q₊ (S¹) l’ensemble des hom´eomorphismes de nombre de rotation irrationnel v´erifiant une certaine propri´et´eW.

• On dit que la propri´et´e W est C^r-g´en´erique (typique au sens de Baire) dans la famille des diff´eomorphismes de nombre de rotation irrationnel, si l’ensemble X_W contient un ensemble de typeG_δ dense dansDiff₊^r,R\Q(S¹).

• On dit que la propri´et´e W est C^r-pr´evalente (typique au sens de Kolmogorov) dans la famille des diff´eomorphismes de nombre de rotation irrationnel, si pour une famille de classe C¹ `a k param`etres, u : [0,1]^k → Diff₊^r(S¹), de diff´eomorphismes de classe C^r, contenant des diff´eomorphismes irrationnels, g´en´erique, on a m_k({t∈ [0,1]^k :u(t)∈X_W})>0, o`u m_k d´esigne la mesure de Lebesgue dansR^k.

Les deux th´eor`emes suivants montrent les diff´erences entre les comportements g´en´erique et pr´evalent des discr´etisations des diff´eomorphismes irrationnels du cercle.

Th´eor`eme BFixons deux fonctions φ₁, φ₂ :N→R⁺ telles quelimN→∞φ₁(N) = +∞ et limN→∞φ2(N)/√

N = 0.

1. Soitr∈ {0}∪N∪{∞, ω}. La propri´et´elim infN→∞ qN(f)

φ1(N) = 0estC^r-g´en´erique dans l’ensemble des diff´eomorphismes irrationnels du cercle.

2. Les propri´et´es lim sup_N→∞ ^T_φ^N(f)

2(N) = +∞ et lim inf_N→∞^TN_N^(f) = 0 sont C^ω-g´en´eri- ques dans l’ensemble des diff´eomorphismes irrationnels du cercle.

Th´eor`eme CSoit ε >0 fix´e. La propri´et´e q<sub>N</sub>(f)≥KN<sup>2+ε1</sup> , o`u K >0 est une constante ne d´ependant pas deN, estC^r-pr´evalente,3≤r≤ω, dans l’ensemble des diff´eomorphismes irrationnels du cercle.

Le Th´eor`eme C d´ecrit le comportement des discr´etisations des diff´eomorphismes de nombre de rotation diophantien. Dans le paragraphe 1.10, en s’appuyant sur des r´esultats num´eriques, on discute aussi le comportement pr´evalent du temps de stabilisation et du nombre de cycles p´eriodiques (que l’on noter_N(f)) des discr´etisations d’un tel diff´eomorphisme. No- tamment on propose la conjecture suivante :

Conjecture Soit ε >0. Les propri´et´es q_N(f)-T_N(f)-N^2+ε1 et r_N(f)≤K, o`u K >0 est une constante ne d´ependant pas deN, sont C^r-pr´evalentes,3≤r≤ω, dans l’ensemble des diff´eomorphismes irrationnels du cercle.

La comparaison de cette conjecture avec la th´eorie des applications al´eatoires des ensembles finis, que l’on pr´esente dans le paragraphe 2.3 du chapitre 2, montre que la dynamique “la plus irrationnelle” (diophantienne) sur S¹ peut ˆetre asymptotiquement consid´er´ee comme “al´eatoire”.

On s’int´eresse aussi `a la distribution spatiale des cycles p´eriodiques de l’application discr`ete f_N. On prouve notamment, que si f : M → M est un hom´eomorphisme uni- quement ergodique d’une vari´et´e compacte M, alors la distribution spatiale des cycles p´eriodiques des applications (fN)N∈N associ´ees, approche celle de l’unique mesure f- invariante. En particulier, dans le cas des hom´eomorphismes du cercle on obtient la pro- position suivante :

Proposition D Soitf ∈Homeo+(S¹) un hom´eomorphisme uniquement ergodique et soit µ l’unique mesure de probabilit´ef-invariante. Alors la distribution des cycles p´eriodiques des applications (fN) sur S¹ tend vers celle de la mesure µquand N tend vers l’infini.

1.2 Hom´ eomorphismes du cercle et nombre de rotation

Dans ce premier paragraphe on rappelle certaines notions li´ees `a la dynamique des hom´eomorphismes du cercle. On d´efinit le nombre de rotation d’un tel hom´emorphisme et on pr´esente les propri´et´es les plus importantes de cet invariant de conjugaison topologique.

Pour une pr´esentation rigoureuse de ce sujet ainsi que pour les preuves des r´esultats

´enonc´es, on pourra se reporter `a [28] ou [26].

Soit S¹ le cercle unit´e d´efini comme le quotient R/Z et soit Π : R→S¹ la projection canonique associ´ee. Sur S¹ on consid`ere la m´etrique quotient provenant de la m´etrique euclidienne| · | dansR, c’est-`a-dire si x, y∈S¹ et ˜x,y˜∈Rsont des relev´es de x ety `a R, on pose |x−y| = min_k∈Z|x˜−y˜+k|. On utilisera aussi la notation d_S¹ pour la distance induite surS¹ par| · |.

On noteHomeo+(S¹) (respDiff+r(S¹),r ∈N∪{∞, ω}) le groupe des hom´eomorphismes (resp. diff´eomorphismes de classeC^r) du cercle qui pr´eservent l’orientation. SurHomeo₊(S¹), on note alorsd₀ la distance qui d´efinit la topologie C⁰. De mˆeme, pard_r,r∈N∪ {∞}, on note la distance engendrant la topologieC^rsurDiff+r(S¹). DansDiff+ω(S¹) on consid`ere la topologieC^∞. Pourf ∈Homeo₊(S¹) donn´e, on notemboxP er(f) l’ensemble de ses points p´eriodiques et Fix(f) l’ensemble de ses points fixes. Par R_λ : R → R, λ ∈ R, on notera la translation x .→ x+λ dans R et aussi, par abus de notation, la rotation euclidienne d’angle 2πλ sur S¹.

Parrelev´e `aRde l’hom´eomorphisme du cerclef, on d´esigne tout hom´eomorphisme f˜:R→R, tel quef◦Π = Π◦f˜surR. Le relev´e d’un hom´eomorphismef ∈Homeo+(S<sup>1</sup>) donn´e est d´efini `a une translation enti`ere pr`es. Le relev´e v´erifiant ˜f(0) =f(0)∈[0,1[ sera appel´ele relev´e canonique de l’hom´eomorphisme f.

Soit f ∈ Homeo₊(S¹) et ˜f :R →R son relev´e canonique. Soit ˜x∈ R. Sachant que la limite ci-dessous existe pour tout hom´eomorphismef et qu’elle ne d´epend pas de ˜x∈R, on d´efinit le nombre de rotationρ de l’hom´eomorphisme f :

ρ(f) = lim

n→∞

f˜ⁿ(˜x)−x˜

n .

Cet invariant topologique, introduit et ´etudi´e par Poincar´e, donne des renseignements concernant la dynamique de l’hom´eomorphisme. L’application ρ : Homeo+(S¹) → R est continue pour la topologieC⁰ etρ(f) = ^p_q ∈Qsi est seulement sif poss`ede au moins une orbite p´eriodique (de longueur minimale q si on supposep, q premiers entre eux).

Dans ce chapitre on appellera hom´eomorphisme rationnel tout hom´eomorphisme

du cercle de nombre de rotation rationnel, ethom´eomorphisme irrationneltout hom´eomorphisme qui n’est pas rationnel. On note respectivementHomeo^Q₊(S¹) etHomeo^R\Q₊ (S¹) les familles

des hom´eomorphismes rationnels et irrationnels. Les notations correspondantes au cas de diff´eomorphismes seront Diff+r,Q(S¹) et Diff+r,R\Q(S¹).

On suppose que les fractions qui repr´esentent des nombres de rotation ap- paraissant dans ce chapitre sont toujours r´eduites.

Soit f ∈ Homeo^Q₊(S¹), tel que ρ(f) = ^p_q, et soit ˜f : R → R son relev´e canonique.

Supposons que f n’est pas conjugu´e `a la rotation R^p

q et que ˜f^q(˜x)−R_p(˜x) ≥ 0 (resp.

f˜^q(˜x) −R_p(˜x) ≤ 0) pour tout ˜x ∈ R. Dans ce cas, on dit que l’hom´eomorphisme ra- tionnelf estsemi-stable inf´erieurement(resp. semi-stable sup´erieurement). Tout hom´eomorphisme rationnel qui est semi-stable ou conjugu´e `a une rotation, sera appel´epa- rabolique. Tout hom´eomorphisme rationnel qui n’est pas parabolique sera appel´estable.

1.3 Discr´ etisations - notations et premi` eres remarques

On introduit maintenant le processus de discr´etisation qu’on se propose d’´etudier. Pour toutN ∈N, on d´efinit l’ensemble de discr´etisation ˜E_N ={_N^k, k∈Z} ⊂Ret la projection P˜_N :R→E˜_N donn´ee par

P˜N(x) = k

N si x∈

#2k−1

2N ,2k+ 1 2N

#

, k∈Z. (1.1)

On poseE_N = Π( ˜E_N)⊂S¹ et on d´efinit la projection P_N :S¹ →E_N telle que la relation P_N ◦Π = Π◦P˜_N soit v´erifi´ee sur ˜E_N. Si on consid`ereS<sup>1</sup> comme l’intervalle [0,1] o`u on identifie les extr´emit´es, on a tout simplement :

P_N(x) =





0 si x∈' 0,_2N¹ '

∪'_2N−1

2N ,1' ,

k

N si x∈'_2k−1

2N ,^2k+1_2N '

, k= 1,2, . . . , N−1.

(1.2) Soitf ∈Homeo+(S¹). Pour toutN ∈N, on d´efinit une application discr`etef<sub>N</sub> :E<sub>N</sub> → E<sub>N</sub>, donn´ee par la formulef<sub>N</sub> =P<sub>N</sub> ◦f, qu’on va appelerla N-i`eme discr´etisationde l’hom´eomorphismef. Si ˜f :R→Rest un relev´e `aRde l’hom´eomorphismef, on appellera l’application discr`ete ˜f_N = ˜P_N ◦f˜: ˜E_N → E˜_N le relev´e `a E˜<sub>N</sub> de l’application f<sub>N</sub>, associ´e `a f.˜

Pour un hom´eomorphisme f ∈ Homeo₊(S¹) donn´e, on veut ´etudier les propri´et´es asymptotiques, quand N tend vers l’infini, de la dynamique des applications discr`etes

f_N ainsi construites. On remarque tout d’abord que mˆeme si f est un hom´eomorphisme, l’application f_N :E_N →E_N n’est pas n´ecessairement bijective. Deux points diff´erents de l’ensembleEN, dont les images sous l’action def sont proches, peuvent avoir mˆeme image parf_N. On remarque quand mˆeme quef_N pr´eserve l’ordre des points de E_N sur le cercle au sens faible suivant : pour tout ˜f : R → R relev´e de f et ˜f_N : ˜E_N → E˜_N qui lui est associ´e, on a ˜f_N(˜x)≤f˜_N(˜y) pour tout ˜x,y˜∈E˜_N tels que ˜x <y.˜

Le fait que l’ensemble E_N soit fini pour tout N ∈ N implique que l’orbite de tout pointx∈E_N sous l’action def_N aboutit `a un cycle p´eriodiqueγ(x)⊂E<sub>N</sub>. Apr`es au plus N−1 it´erations, toute la dynamique de l’application discr´etis´ee f_N est concentr´ee sur un ensemble C_N ⊂E_N, qui est l’union disjointe des cycles p´eriodiques def_N :

CN = (

x∈EN

γ(x) = )N

n=0

f_Nⁿ(EN)⊆. . .⊆f_N²(EN)⊆fN(EN)⊆EN.

L’ensemble C_N est toujours non vide et peut ˆetre d´efini comme l’ensemble maximal au sens de l’inclusion parmi tous les sous-ensembles deE_N sur lesquels f_N est bijective.

Soit ˜C_N ={x+k :x∈ C_N, k∈ Z} ⊂E˜_N le relev´e `a R de l’ensemble C_N. Le lemme suivant affirme, que pour toutN ∈Nfix´e, tous les cycles dans C_N sont du mˆeme type : Lemme 1.3.1 Soientf ∈Homeo+(S¹) et N ∈Nfix´es. Alors il existe un couple d’entiers (pN, qN), premiers entre eux,pN ≥0,qN ≥1, tel que pourf˜:R→R, le relev´e canonique def et f˜_N : ˜E_N →E˜_N, le relev´e def_N associ´e, on a f˜_N^qN(˜x)−x˜=p_N, pour tout x˜∈C˜_N (CN ´etant l’union des cycles de type(pN, q_N)).

Preuve. Pour N ∈ N fix´e, CN est un ensemble fini de points de S¹ et l’action de fN

surC_N pr´eserve l’ordre des points deC_N sur le cercle au sens strict, car elle est bijective.

Ceci implique qu’il existeg∈Homeo+(S¹) tel queg_|CN =f_N|CN, d’o`uC_N ⊂mboxP er(g).

On en d´eduit l’affirmation du lemme, car on sait que toutes les orbites p´eriodiques d’un hom´eomorphisme du cercle pr´eservant l’orientation donn´e, sont du mˆeme type (voir par

exemple [28], Proposition 11.1.5, p. 390). !

Le nombre rationnel ^p_q^N_N ainsi obtenu est un ´equivalent discret du nombre de rotation ρ(f) de l’hom´eomorphismef. En effet, on a :

Proposition 1.3.2 Pour tout f ∈Homeo+(S¹), la suite(^p_qN^N)N∈N v´erifie

N→∞lim p_N

q_N =ρ(f). (1.3)

Preuve. On remarque que la d´efinition (1.1) de la projection ˜PN : R → E˜N implique, que pour tout hom´eomorphisme f ∈ Homeo₊(S¹), tout ˜f : R → R son relev´e `a R, tout N ∈Net tout ˜x∈E˜_N, on a

(R₋ ¹

2N ◦f)(˜˜ x)≤f˜_N(˜x)≤(R ¹

2N ◦f)(˜˜ x). (1.4)

Autrement dit, le graphe discret de l’application ˜f_N est toujours contenu dans le _2N¹ - voisinage dansR² du graphe de ˜f.

Fixons f ∈ Homeo+(S¹) et N ∈ N. Soit ˜f : R → R le relev´e canonique `a R de l’hom´eomorphisme f et soit ˜fN : ˜EN → E˜N le relev´e de fN associ´e `a ˜f. D’apr`es les in´egalit´es (1.4), pour tout ˜x∈C˜_N et tout m∈N, on peut ´ecrire :

(R₋ 1

2N ◦f˜)^m(˜x)−x˜≤f˜_N^m(˜x)−x˜≤(R 1

2N ◦f)˜^m(˜x)−x,˜

Figure 1.2. La convergence du nombre de rotation discret vers le vrai nombre de rota- tion. En haut un exemple d’hom´eomorphisme appartenant `a la famille DC (L = 1.76 et a= 0.2215), en bas un diff´eomorphisme de la famille ARN (a= 0.081 etb= 0.08).

Figure 1.3.La longueur des cycles de discr´etisations en fonction du nombre de points du mod`ele discret. `A gauche le diff´eomorphisme de la famille ARN avec a= 0.081, b= 0.08,

`a droite l’hom´eomorphisme de la famille DC avec L= 1.76,a= 0.2215.

ce qui donne (R₋ ¹

2N ◦f)˜^mqN(˜x)−x˜

mq_N ≤ f˜_N^mqN(˜x)−x˜

mq_N = mp_N

mq_N ≤ (R ¹

2N ◦f˜)^mqN(˜x)−x˜

mq_N .

En faisant tendremvers l’infini, on obtientρ(R₋ ¹

2N ◦f)≤ ^p_q^N_N ≤ρ(R ¹

2N◦f). D’autre part, on sait que pour tout hom´eomorphismef, l’application ρ_f :λ.→ρ(R_λ◦f) est continue et croissante. Ceci implique

**

**ρ(f)−p_N q_N

**

**≤ρ(R ¹

2N ◦f)−ρ(R₋ ¹

2N ◦f)^N−→^→∞0. (1.5)

! Remarque. Supposons qu’un nombre rationnel ^p_q apparaisse dans la suite (^p_q^N

N)_N∈N as- soci´ee aux discr´etisations de l’hom´eomorphismef. Si ^p_q approche bien le nombre de rotation ρ(f), alors des rationnels de la forme ^a_b^k_k, o`ua_k etb_k sont premiers entre eux et proches de kpetkq respectivement (k∈N), sont des bons candidats, au sens de la Proposition 1.3.2, pour apparaˆıtre aussi dans la suite (^p_q^N

N). Effectivement, on trouve souvent ce ph´enom`ene dans le comportement de la suite (qN)N∈N des longueurs des cycles discr´etis´es (voir Figure 1.3).

On termine ce paragraphe par un corollaire de la Proposition 1.3.2. L’estimation (1.5) et les propri´et´es du nombre de rotation entraˆınent :

Corollaire 1.3.3

• Supposons que ρ(f)∈R\Q. Alors limN→∞qN(f) = +∞.

• Supposons queρ(f) = ^p_q ∈Qet quef poss`ede au moins une orbite p´eriodique stable.

Alors il existe N₀ ∈N, tel que pour tout N ≥N₀, on a p_N =p et q_N =q.

• Supposons queρ(f) = ^p_q ∈Qet quef soit semi-stable sup´erieurement (resp. inf´erieurement).

Alors il existe N0 ∈N, tel que pour tout N ≥N0, on a ^p_q^N

N ≤ ^p_q (resp. ^p_q^N

N ≥ ^p_q).

!

1.4 Exemple de la rotation

Ce paragraphe est consacr´e `a l’´etude de l’exemple le plus simple d’hom´eomorphisme du cercle, celui de la rotationR<sub>α</sub>:x.→x+α(mod 1), α∈]0,1[. On introduit les notations suivantes : [x] = Ent[x] d´esigne la partie enti`ere d’un nombre r´eel x; pour a et b deux entiers positifs on note P GCD(a, b) le plus grand diviseur commun et a|b le fait que a diviseb.

On remarque d’abord, que pour tout N ∈ N et tout α ∈]0,1[, l’application discr`ete (R<sub>α</sub>)<sub>N</sub> :E<sub>N</sub> →E<sub>N</sub> est encore une rotation, restreinte `a l’ensembleE_N,

(R_α)_N :x.→x+Ent[N α+¹₂]

N (mod 1).

Ceci implique queC_N =E_N et l’ensembleE_N est l’union desr_N cycles p´eriodiques de l’ap- plication (R_α)_N, tous de mˆeme longueurq_N. Tout renseignement concernant la dynamique discr`ete est donc donn´e par la suite (rN)N∈N, des nombres de cycles des discr´etisations.

Dans le cas d’une rotation irrationnelle, le r´esultat suivant a ´et´e ´enonc´e dans [14] et [31] :

Th´eor`eme 1.4.1 Soit R_α : S¹ → S¹, α ∈ R\Q, une rotation irrationnelle du cercle et (rN)N∈N, la suite des nombres de cycles des discr´etisations de R_α. Alors pour tout x∈[0,1] on a

Nlim→∞

#+,

1 r1,_r¹

2, . . . ,_r¹

N

-∩[0, x].

N = 6

π² /

1 n≤x

1 n². Ce th´eor`eme peut ˆetre reformul´e de mani`ere plus explicite comme suit :

Th´eor`eme 1.4.1’Soit(r_N)_N∈Nla suite des nombres de cycles p´eriodiques des discr´etisations de la rotation irrationnelle R_α :S¹ →S¹. Alors pour toutc∈Non a

N→∞lim

#{M ≤N :r_M =c}

N = 6

π²c².

Notons qu’aucun des deux articles cit´es ci-dessus ne pr´esente de preuve directe de ce th´eor`eme, le r´esultat servant juste comme une illustration dans l’analyse des mod`eles probabilistes de discr´etisation ´etudi´es. Mais il est facile de voir que pour toutN ∈N, tel queN α+¹₂ >0, on a

r_N =P GCD([N α+¹₂], N), (1.6) ce qui nous am`ene `a donner une troisi`eme version de l’´enonc´e du th´eor`eme, faisant appel

`a la th´eorie g´eom´etrique des nombres. Pour cela d´efinissons dans le planR² une r´egion B_α =0

(x, y)∈R+×R+:αx− ¹2 < y≤αx+¹₂1

. (1.7)

L’´egalit´e (1.6) implique, que l’on ar_N =P GCD(N, y(N)), pour toutN ∈Nsuffisamment grand, o`uy(N)∈Nest d´efini comme l’unique entier positif, tel que (N, y(N))∈B<sub>α</sub>. Une version ´equivalente du Th´eor`eme 1.4.1 peut ˆetre alors ´enonc´ee ainsi :

Th´eor`eme 1.4.1”Soitα∈]0,1[un nombre irrationnel etB_α ⊂R+×R+ une r´egion dans le plan donn´ee par (1.7). Alors, pour tout c∈N, on a

N→∞lim

#{(a, b)∈N²∩B_α:P GCD(a, b) =c, a≤N}

N = 6

π²c².

La preuve d’un r´esultat un peu plus g´en´eral a ´et´e donn´ee par T. Estermann dans [17], on peut aussi se reporter `a [51].

On prouve maintenant un r´esultat analogue `a celui du Th´eor`eme 1.4.1, d´ecrivant le comportement de la suite (r_N) associ´ee `a une rotation rationnelle (on pourra comparer avec [51]).

Proposition 1.4.2 Soit p, q ∈ N, premiers entre eux, p < q, et (rN)N∈N, la suite des nombres de cycles des discr´etisations de la rotation rationnelle R^p

q du cercle.

• Si N < _2p^q, alors r_N =N.

• Si N ≥ _2p^q est de la forme N =kq, k∈N, alors r_N =k.

• Sinon, alors r_N ∈ {1,2, . . . ,[^q₂]} et de plus

N→∞lim

#{M ≤N :r_M =c}

N =











2 cq

3^4[q/2]c

5 r=1

ϕ(r)

r si c= 2, . . . ,[₂^q],

2 q

3[q/2]

r=1 ϕ(r)

r si c= 1 et 21 |q,

2 q

3[q/2−1]

r=1 ϕ(r)

r +^ϕ(q/2)_q2 si c= 1 et 2|q,

(1.8)

o`u ϕ(r) = #{1≤j≤r :P GCD(j, r) = 1} d´esigne la fonction d’Euler.

Preuve. Les deux premi`eres affirmations de la proposition sont trivialement satisfaites au vu de la repr´esentation (1.6) der<sub>N</sub>. Pour d´emontrer la troisi`eme, on ´etudie les diviseurs des coordonn´ees des points deN² dans la r´egionB^p

q. On introduit une famille de 2[^q₂] + 1 demi-droites parall`eles, contenues dans la r´egion ferm´ee B^p

q, donn´ees par : d₀:px−qy= 0, d⁺_r :px−qy=r, d⁻_r :px−qy=−r, avecx >0,r= 1,2, . . . ,[^q₂]. Tout point contenu dansB^p

q, dont les deux coordonn´ees sont enti`eres, appartient `a une de ces droites.

On remarque que les points `a deux coordonn´ees enti`eres appartenant `a la droite d<sub>0</sub> correspondent exactement `a la sous-suite des discr´etisations d´ecrite par la deuxi`eme af- firmation de notre proposition. La sous-suite de la suite (rN) associ´ee prend toutes les valeurs de N et chacune d’elles une seule fois (r<sub>N</sub> = k pour N = kq, le point de d<sub>0</sub> as- soci´e ´etant (kq, kp)). De ce fait les discr´etisations correspondant `a la droite d₀ n’affectent pas la distribution asymptotique de la suite (r_N). On s’int´eressera donc aux droitesd^+,r ⁻, r= 1,2, . . . ,[q/2].

Lemme 1.4.3 Si (a, b)∈N²∩(d⁺_r ∪d⁻_r), r∈ {1,2, . . . ,[^q₂]}, alorsP GCD(a, b)|r. De plus pour tout c∈N divisant r, on a

N→∞lim

#{(a, b)∈N²∩d⁺_r :P GCD(a, b) =c, a≤N}

N = #{1≤j ≤r:P GCD(j, r) =c}

rq .

La mˆeme distribution est valable pour la droite d⁻_r.

Preuve. On consid`ere le cas de la droited⁺_r,r= 1,2, . . . ,[^q₂], le cas ded⁻_r ´etant analogue.

Dans ce qui suit, (a, b) d´esigne toujours un ´el´ement deN². Le fait que (a, b) appartienne `a la droite d<sup>+</sup><sub>r</sub> implique ap−bq =r, d’o`u on d´eduit imm´ediatement que P GCD(a, b)|r. On remarque aussi que

• si (a, b)∈d⁺_r, alors (a+kq, b+kp)∈d⁺_r pour tout k∈N,

• si (a₁, b₁),(a₂, b₂) ∈d⁺_r, avec a₁ < a₂, alors il existe k∈ N, tel que a₂ −a₁ =kq et b₂−b₁=kp.

Soit (a0, b₀)∈Nune des solutions dea₀p−b₀q= 1, d’o`uP GCD(a0, b₀) = 1 et (ra0, rb₀)∈ d⁺_r. Pour toutj ∈Non a

P GCD(ra0+jq, rb0+jp) =P GCD(P GCD(jq, jp), r) =P GCD(j, r).

Ceci montre que la suite (P GCD(a, b)), (a, b)∈N²∩d⁺_r, est finalement p´eriodique et abou- tit sur le cycle {P GCD(j, r) : j = 1, . . . , r}. Il en r´esulte la distribution limite annonc´ee

dans le lemme. !

Revenons `a la preuve de la proposition. Pour faciliter les notations, une fois p/q ∈Q fix´e on pose B = B<sub>p/q</sub> et B<sup>N</sup> = B∩ {x ≤ N}. Fixons c ∈ {1,2, . . . ,[q/2]}. Pour la plus grande claret´e des formules on notera toutes les variables avec un prime (’) apr`es la division parc: N⁽ =N/c,r⁽ =r/c etc.

A chaque point (a, b) ∈ N² ∩B^N, tel que P GCD(a, b) = c, il correspond un point (a⁽, b⁽) ∈ N²∩B^[N!] dont les coordonn´ees sont premi`eres entre elles. On remarque aussi que (a<sup>(</sup>, b<sup>(</sup>)∈d<sup>+,−</sup><sub>r!</sub> , o`u r⁽∈ {1,2, . . . ,[[q/2]⁽]}. Notons

m_r(N) = #{(a, b) ∈N²∩B^N∩(d⁺_r ∪d⁻_r) :P GCD(a, b) = 1},

pour r= 1,2, . . . ,[₂^q] et toutN ∈N. On a donc :

#{(a, b)∈N²∩B^N :P GCD(a, b) =c}=

[[q/2]/^!] r^!=1

m_r!6 [N⁽]7

. D’apr`es le lemme pr´ec´edent, on a la distribution suivante :

Nlim→∞

m_r(N)

N =







2ϕ(r)

rq r = 1,2, . . . ,[q/2]−1,

2ϕ(r)

rq r = [q/2] et 21 |q,

ϕ(r)

rq r = [q/2] et 2|q.

(1.9)

On remarque que lorsqueq est pair, la droited⁺_q/2 reste en dehors de la r´egion B_p/q, tandis que quandq est impair les deux droitesd^+,−_[q/2]restent `a l’int´erieur deB<sub>p/q</sub>, d’o`u la diff´erence entre ces deux cas dans la formule ci-dessus. Cette distribution implique, que pour tout c∈ {1,2, . . . ,[₂^q]} on obtient

Nlim→∞

#{M ≤N :r_M =c}

N = lim

N→∞

#{(a, b)∈N²∩B^N :pgcd(a, b) =c}

N =

Nlim→∞

1 N

[[q/2]/^!] r^!=1

m_r!([N⁽]) = lim

N→∞

[N⁽] N

[[q/2]/^!] r^!=1

m_r!([N⁽]) [N⁽] = 2

cq

[[q/2]/^!] r^!=1

ϕ(r⁽) r⁽ .

De la mˆeme mani`ere on d´eduit de (1.9) la distribution limite (1.8) dans le cas c= 1. ! Remarque. La Proposition 1.4.2 montre que la distribution asymptotique de la suite (rN)N∈N, associ´ee `a la rotation rationnelle R^p

q, ne d´epend que de q. De plus, si on fixe c∈Net on fait tendreq vers l’infini, on obtient la distribution limite _π2⁶c², comme dans le cas irrationnel. Pour un nombre irrationnelα∈]0,1[ fix´e, on voudrait donc “approcher” la r´egion B_α par des r´egions B^pn

qn, o`u lim<sub>n→∞</sub>p<sub>n</sub>/q<sub>n</sub>=α, pour trouver directement la distri- bution annonc´ee dans le Th´eor`eme 1.4.1. Le mieux que nous sachions faire est de justifier ce passage `a la limite dans le cas d’un nombre irrationnel α, qui se laisse bien appro- cher par des rationnels, c’est-`a-dire sous l’hypoth`ese d’existence d’une suite des rationnels (p_n/q_n)_n∈N, tendant versα et v´erifiant lim_n→∞|αq_n−p_n|q_n² = 0.

1.5 Hom´ eomorphismes rationnels - longueurs des cycles

Ce paragraphe est consacr´e `a l’´etude de la suite des longueurs des cycles discr´etis´es dans le cas d’hom´eomorphismes admettant des orbites p´eriodiques. On s’int´eressera surtout au comportement des hom´eomorphismes paraboliques, qui n’ont que des orbites p´eriodiques semi-stables. En effet, l’ensemble de ces hom´eomorphismes appartient `a la fronti`ere de l’ensemble Homeo^Q₊(S¹) dans Homeo₊(S¹) et dans le paragraphe 1.6, on verra que typi- quement (au sens de Baire) des hom´eomorphismes irrationnels h´eritent les propri´et´es des discr´etisations des hom´eomorphismes rationnels paraboliques.

Le Corollaire 1.3.3 laisse supposer que dans le cas d’un hom´eomorphisme rationnel parabolique, les longueurs des cycles des applicationsf_N peuvent diverger vers l’infini. On va montrer cependant qu’un hom´eomorphisme ayant des orbites p´eriodiques semi-stables g´en´erique, poss`ede la propri´et´e suivante :

Propri´et´e Q. On dit qu’un hom´eomorphisme f ∈Homeo^Q₊(S¹) poss`ede la Propri´et´e Q,

s’il existe une sous-suite f_Nk : E_Nk → E_Nk, k∈ N, de discr´etisations pour laquelle on a

p_Nk

q_Nk =ρ(f).

Comme les entiers p_N et q_N sont premiers entre eux pour tout N ∈ N, la Propri´et´e Q implique l’existence d’une sous-suite de discr´etisations, dont les cycles p´eriodiques sont de longueur constante, ´egale `a la longueur des orbites p´eriodiques de l’hom´eomorphisme en question. On remarque que tout hom´eomorphisme f ∈Homeo<sup>Q</sup><sub>+</sub>(S<sup>1</sup>), ayant une orbite p´eriodique constitu´ee de points rationnels, poss`ede trivialement cette propri´et´e. Ceci est v´erifi´e pour un ensemble dense, mais d’int´erieur vide, des hom´eomorphismes rationnels paraboliques. La proposition suivante montre que l’ensemble des hom´eomorphismes para- boliques admettant cette propri´et´e est non seulement dense mais aussi de type G_δ. Pour tout ^p_q ∈Qsoit F_p/q⁺ (resp. F_p/q⁻ ) l’ensemble des hom´eomorphismes de nombre de rotation

p

q semi-stables inf´erieurement (resp. sup´erieurement).

Proposition 1.5.1 Pour tout nombre rationnel ^p_q ∈Q il existe un ensembleU_p/q⁺ ⊂F_p/q⁺ (resp.U_p/q⁻ ⊂F_p/q⁻ ) ouvert et dense dans F_p/q⁺ (resp.F_p/q⁻ ) des hom´eomorphismes poss´edant la Propri´et´e Q.

Avant de proc´eder `a la preuve de la proposition, on ´enonce un lemme, dont le lecteur se convaincra ais´ement et dont on aura besoin pour construire les ensemblesU<sub>p/q</sub><sup>+,−</sup>. Lemme 1.5.2 Consid`erons le toreq-dimensionnelT^qobtenu par identification usuelle des points du bord de [0,1]^q et soit γ ∈ T^q. Notons T_γ : T^q → T^q la translation x .→ x+γ (mod 1). Alors il existe un ensemble ouvert Uˆ_q⁺⊂T^q (resp. Uˆ_q⁻ ⊂T^q), dense dansT^q, tel que pour tout γ ∈Uˆ_q⁺ (resp. γ ∈Uˆ_q⁻), l’orbite positive O_T⁺_γ(γ) du point γ sous l’action de la translation T_γ intersecte une infinit´e de fois l’ensemble [0,¹₂[^q⊂T^q (resp. [¹₂,1[^q⊂T^q).

! Preuve de la Proposition 1.5.1 Fixons ^p_q ∈Q. On va pr´esenter d’abord l’id´ee de la preuve de l’existence de l’ensemble U_p/q⁺ ⊂ F_p/q⁺ . D’apr`es le Corollaire 1.3.3 on sait que pour tout hom´eomorphismef ∈F_p/q⁺ et tout N ∈Non a ^p_q^N

N ≥ρ(f) = ^p_q. Si on veut quef poss`ede la Propri´et´e Q, il suffit que l’on prouve l’existence d’une sous-suite (N_k)_k∈N telle que ^p_q^Nk

Nk ≤ρ(f) pour tout k∈N.

Soit N ∈N, ˜f :R→R le relev´e canonique def et ˜f_N : ˜E_N →E˜_N le relev´e associ´e de l’applicationf_N. Pour prouver que^p_q^N

N ≤ρ(f), il suffit que l’on trouve un pointx∈S¹et un pointx_N ∈E_N tels que leurs relev´es v´erifient ˜x_N ≤x˜et ˜f_N^k(˜x_N)≤f˜^k(x) pour toutk∈N. Il faut donc s’assurer que l’orbite discr´etis´ee ne puisse pas “sauter” au-dessus de la vraie orbite def, c’est-`a-dire qu’elle reste toujours “`a gauche” par rapport `a cette deuxi`eme. On va prouver que ce saut n’est pas possible d`es que l’hom´eomorphismef poss`ede une orbite p´eriodique (γ₁, . . . , γ_q) v´erifiantP_N(γ_i)≤γ_i pour touti= 1, . . . , q. Le Lemme 1.5.2 nous aidera `a prouver, que l’ensemble des hom´eomorphismes admettant une orbite p´eriodique qui satisfait `a cette propri´et´e pour une infinit´e d’entiers N ∈N, contient un ouvert dense dansF_p/q⁺ .

Soit ˆU_q⁺ ⊂ T^q l’ensemble donn´e par le Lemme 1.5.2. On d´efinit U_p/q⁺ l’ensemble des diff´eomorphismes semi-stables inf´erieurement, admettant une orbiteq-p´eriodique (γ1, . . . , γ_q) qui, vue comme un point du toreT^q, appartient `a ˆU<sub>q</sub><sup>+</sup>. D’apr`es le lemme pr´ec´edent, l’en- semble ˆU_p/q⁺ est ouvert et dense dans le tore, ce qui implique que U_p/q⁺ ainsi construit est ouvert et dense dansF_p/q⁺ . Il reste `a montrer que toutf ∈U<sub>p/q</sub><sup>+,−</sup> poss`ede la Propri´et´e Q.

Soit f ∈ U_p/q⁺ et γ = (γ₁, . . . , γ_q), γ_i 1= γ_j pour i 1= j, une orbite p´eriodique de f, appartenant `a ˆU_q⁺. Le Lemme 1.5.2 affirme l’existence d’une sous-suite (N_k)_k∈N, telle que pour toutk∈N

(N_kγ1, . . . , N_kγq)∈[0,¹₂[^q (mod 1).

Fixons k ∈ N. Le fait que N_kγi ∈ [0,¹₂[, (mod 1), implique que pour tout i = 1, . . . , q il existe un entiernⁱ_k∈ {0,1, . . . , Nk−1}tel que _N^nik

k ≤γ_i < ²ⁿ_2N^ik+1

k , d’o`uP_Nk(γi) = _N^nik

k ≤γ_i. On voit donc que la projectionPN_k d´eplace l’orbiteγ “`a gauche” surS¹. Soit ˜f :R→Rle relev´e canonique def et ˜f_Nk : ˜E_N →E˜_N le relev´e associ´e de l’applicationf_Nk. On obtient

f˜N_k

!n¹_k N_k

"

= ˜PN_k

!f˜

!n¹_k N_k

""

≤P˜N_k

+f˜(γ1).

≤P˜N_k(γ2)≤γ2= ˜f(γ1), f˜_N²_k

!n¹_k N_k

"

= ˜P_Nk

!f˜

!P˜_Nk

!f˜

!n¹_k N_k

""""

≤P˜_Nk+

f˜( ˜f(γ1)).

= ˜P_Nk(γ3)≤γ₃ = ˜f ²(γ1), et par r´ecurrence ˜f_N^m

k(_N^n1k

k)≤f˜^m(γ₁) pour tout m∈N. On peut donc ´ecrire f˜_N^m

k

+_n1 k

Nk

.

−_N^n1k_k

m +

n¹_k Nk −γ₁

m ≤ f˜^m(γ₁)−γ₁

m ,

d’o`u

p_Nk

q_Nk = lim

m→∞

f˜_N^m

k

+_n1

Nk_k

.−_N^n1k_k

m ≤ lim

m→∞

f˜^m(γ1)−γ₁

m =ρ(f).

On obtient alors^p_q^Nk

Nk ≤ρ(f). D’autre part,f est un hom´eomorphisme semi-stable inf´erieurement, donc le Corollaire 1.3.3 donne l’in´egalit´e inverse. Cela donne la Propri´et´e Q pour l’hom´eomorphisme f. La d´emonstration dans le cas o`u f ∈U_p/q⁻ est analogue, ce qui conclut la preuve de la

proposition. !

Exemple. On va pr´esenter maintenant un exemple d’un hom´eomorphisme du cercle f de nombre de rotation rationnel ¹₂ n’admettant pas la Propri´et´e Q, c’est-`a-dire tel que q<sub>N</sub>(f) > 2 pour tout N ∈ N suffisamment grand. Mˆeme plus, il sera clair d’apr`es la construction que la suite (qN)N∈N tend vers l’infini avec N. On verra que la construction pr´esent´ee ci-dessous s’appuie sur la non existence de la d´eriv´ee de l’hom´eomorphismef en les points de l’orbite p´eriodique. Il est tr`es probable que la Propri´et´e Q soit satisfaite par tout diff´eomorphisme du cercle de classeC¹.

L’id´ee principale de la construction def repose sur deux faits qui d´ecoulent du Lemme 1.5.2 et de la Proposition 1.5.1. Premi`erement, l’orbite p´eriodique defdoit ˆetre de la forme (γ,1−γ), γ ∈R\Q. De plus, pour que toute orbite p´eriodique de l’application discr`ete fN puisse “sauter” au-dessus de l’orbite (γ,1−γ), il faut s’assurer que pour toutN ∈Nil reste assez d’espace entre celle-ci et l’ensembleE_N. Comme les points des ensemblesE_N sont rationnels, on choisira donc γ irrationnel diophantien.

Soit γ= ^√₄². On sait que pour tout p/q∈Qon a|γ−^p_q| ≥ _6q¹2. Bien sˆur 1−γ poss`ede la mˆeme propri´et´e. On va construire f de mani`ere que (γ,1−γ) soit son unique orbite p´eriodique. On commence par d´efinirf au voisinage de cette orbite :

f(x) =







1−^√₄²−10⁻³|^√₄² −x|² si x∈[^√₄² −₁₀¹,^√₄²], 1−^√₄²+ 10|^√₄² −x|¹² si x∈]^√₄²,^√₄²+ ₁₀¹],

(1.10)