On a d´ej`a dit que le fait que l’ensemble de discr´etisation EN soit fini pour toutN ∈N implique que toute orbite p´eriodique de l’application fN : EN → EN est pr´ep´eriodique.
Dans ce paragraphe, on ´etudie une caract´eristique des discr´etisations, qu’on va appelerle temps de stabilisationde la discr´etisation et qu’on d´efinit de la mani`ere suivante :
TN =TN(f) = min{k:fNk(EN) =CN}.
Autrement dit, TN est d´efini comme le plus petit nombre d’it´erations de l’application fN n´ecessaire pour envoyer tout point x ∈ EN sur le cycle p´eriodique γ(x) ⊂ CN corres-pondant. A partir de la TN-i`eme it´eration, l’action de fN se stabilise en une bijection de l’ensemble CN. On a bien sˆur TN(f)≤N−1, pour toutf ∈Homeo+(S1) et toutN ∈N. Pour un hom´eomorphismef ∈Homeo+(S1) fix´e, on va ´etudier le temps de stabilisation des discr´etisations def, en fonction de la finesseN ∈Nde la discr´etisation. On s’int´eressera surtout `a son comportement asymptotique quandN tend vers l’infini.
Pour un hom´eomorphisme f ∈Homeo+(S1) et y, z∈S1 on introduit
TNy,z(f)=max{k:∃x∈EN∩(y, z),∀i1=j∈ {1, . . . , k}, fNi(x)1=fNj(x) etfNi (x)∈]y, z[}, qui d´esigne la longueur de la plus longue trajectoire injective de l’application fN :EN → EN contenue dans l’intervalle ]y, z[. On consid`ere TNy,z comme une fonction de N ∈N.
Dans ce paragraphe, on poursuit l’analyse des hom´eomorphismes rationnels. Avant d’´etudier le temps de stabilisation TN(f) : N → N, on s’int´eresse au comportement de l’applicationTNy,z(f), o`u ]y, z[ est une composante connexe de S1\mboxP er(f). On com-mence par le cas le plus simple, celui d’un hom´eomorphisme ayant des points fixes. Soit f ∈Homeo+(S1) ety, z ∈Fix(f), tels que ]y, z[∩Fix(f) =∅. On peut supposerf−id>0 sur ]y, z[, le cas f−id <0 ´etant analogue. Ceci implique fN −id|EN ≥0 sur EN∩]y, z[, pour tout N ∈ N. Notre premier but est d’estimer l’ordre de croissance de TNy,z(f) en fonction deN. On peut faire les deux remarques suivantes :
• Supposons que, pour tout x ∈ (y, z), on ait g1(x) ≥ f(x) ≥ g2(x) > id. Alors, pour toutN ∈N, on obtient TNy,z(g1)≤TNy,z(f)≤TNy,z(g2).
• Le comportement asymptotique de l’application TNy,z(f), quand N tend vers l’infini, ne d´epend que du comportement de l’hom´eomorphisme f au voisinage des points fixesy et z. En effet, fixons U(y) = [y, w1[ et U(z) =]w2, z] des voisinages dans [y, z] de y et z respectivement. On peut ´ecrire
TNy,z =TNy,w1 +TNw1,w2 +TNw2,z.
Commef n’a pas de point fixe dans [w1, w2],fN aussi est sans point fixe dans [w1, w2] pour toutN ∈Nsuffisamment grand. On remarque que la condition (1.4) impliqueθ+w1,w2(N)≤ TNw1,w2 ≤θ−w1,w2(N), o`u
θ+w1,w2(N) = min{k: (R 1
2N ◦f)k(w1)≥w2}, θ−w1,w2(N) = min{k: (R− 1
2N ◦f)k(w1)≥w2}. De plus, si N1 < N2 on a
θw+1,w2(N1)≤θ+w1,w2(N2)≤TNw21,w2 ≤θw−1,w2(N2)≤θw−1,w2(N1).
FixonsN0 ∈Ntel quef−id> 2N1
0 sur [w1, w2]. Pour toutN ≥N0, on obtientθ+w1,w2(N0)≤ TNw1,w2 ≤θ−w1,w2(N0), et TNw1,w2 est born´e ind´ependamment deN.
Le lemme suivant, dont la preuve est un simple calcul, sera un outil dans ce qui suit.
Lemme 1.6.1 SoitΛ(˜x) =λ˜x+b,λ >1,b >0, une transformation lin´eaire deR. Fixons δ >0. Soitx˜∈]− λb, δ[. Alors pour tout c∈Rtel que Λ(˜x)−x >˜ |c|, on a
min{k∈N: (Rc◦Λ)k(˜x)> δ}=Ent
# 1 lnλ
! ln
!
δ+ b+c λ−1
"
−ln
!
˜
x+ b+c λ−1
""8 + 1.
Preuve. On remarque que si ˜x >−λb, alors Λ(˜x)>0 et Λ(˜x)−˜x >0. Soitc∈Rtel que Λ(˜x)−x >˜ |c|. Il est facile de voir que pour tout k∈Non a
(Rc◦Λ)k(˜x)=λkx+(λ˜ k−1+. . .+λ+1)(b+c)=λkx+˜ λk−1
λ−1 (b+c)=λk
!
˜
x+ b+c λ−1
"
−b+c λ−1. Les hypoth`eses du lemme impliquent que ˜x+ λ−1b+c > 0 d’o`u il existe k ∈ N tel que (Rc◦Λ)k(˜x) > δ. De plus, si c’est le cas on a forcement λk >(δ +λb+c−1)/(˜x+ λb+c−1) d’o`u
l’affirmation du lemme. !
Soit f ∈Homeo+(S1) et y∈Fix(f) un point fixe isol´e def. Supposons qu’il existe un voisinage V ⊂S1 du pointy et deux constantes Λ≥λ >1 telles que
λx+ (1−λ)y≤f(x)≤Λx+ (1−Λ)y, (1.11) pour toutx∈V. On dira alors que l’hom´eomorphismef esttransverse`a l’identit´e eny.
Lemme 1.6.2 Soit f ∈ Homeo+(S1) un hom´eomorphisme tel que Fix(f) 1= ∅. Soit y ∈ Fix(f) un point fixe isol´e, et ]w1, w2[un voisinage de y qui ne contient pas d’autre point fixe de f. Supposons que f soit transverse `a l’identit´e en y. Alors on a TNw1,w2(f)-lnN. Preuve. Dans notre cas particulier, le comportement def est du mˆeme type dans ]w1, y]
et [y, w2[. Il suffit donc de montrer queTNy,w(f) -lnN, o`uw∈]y, w2[. On peut supposer sans perte de g´en´eralit´e que f−id≥0 sur [y, w2[.
Notonsφ1etφ2les deux fonctions lin´eaires de la variablexapparaissant dans (1.11), de cˆot´e droit et gauche respectivement, d´efinies sur ]y, w[ o`uw∈]y, w2[. On va estimer l’ordre de croissance deTNy,w(f). FixonsN ∈N. Tout pointx∈EN∩(y, w) tel quef(x)−x < 2N1 ,
est fix´e parfN. Il est donc ´evident que la plus longue trajectoire injective defN contenue dans ]y, w[ sera celle du point
xN = min{x ∈EN ∩(y, w) :f(x)−x≥ 2N1 }. La condition (1.11) implique quexN ∈4
y+ 2N(Λ1−1), y+2N(λ1−1)4
. Notonsy1(N)≤y2(N) les extr´emit´es de cet intervalle. Les estimations (1.4) et (1.11) donnent
min,
k∈N: (R 1
2N ◦ψ2)k(y2(N))> w
-≤TNy,w≤min,
k∈N: (R− 1
2N ◦ψ1)k(y1(N))> w -. Commeψ1 etψ2 sont lin´eaires, le Lemme 1.6.1 entraˆıne que TNy,w(f) croˆıt
logarithmique-ment. !
Figure 1.4. Comportement logarithmique du temps de stabilisation dans la famille DC avecL= 2. D’en haut, l’hom´eomorphisme de nombre de rotation 1/3 stable poura= 0.19, le nombre de rotation 1/3 semi-stable inf´erieurement pour a = 0.2 et une perturbation correspondante `aa= 0.20001.
Passons maintenant au cas d’un diff´eomorphisme ayant des points fixes qui est tangent
`a l’identit´e eny∈Fix(f). Soit [y, w[ un voisinage deyet supposons que dans ce voisinage, on puisse repr´esenter f sous la forme f = id +φ, o`u φ est une application de classe C1, croissante, convexe dans ]y, w[, telle que limx→y+φ((x) = 0.
FixonsN ∈N. Voici l’id´ee g´en´erale pour estimerTNy,w(f) dans ce cas. Pourk∈N∪ {0} notons
AkN ={x∈]y, w[: 2k−12N ≤φ(x)< 2k+12N }={x∈]y, w[:φ−1(2k−12N )≤x < φ−1(2k+12N )}. L’ensembleEN∩A0N est fix´e parfN et pour toutk∈Netx∈[y, w[ on afN(x) =x+Nk si et seulement six∈AkN. Ceci implique que toute orbite de l’application discr`etefN, traversant l’intervalleAkN, passe dans son interieur un temps ´egal `aEnt[N|AkkN|] ouEnt[N|AkkN|] + 1, o`u
Figure 1.5.Repr´esentation de TN(f) et construction de la suite k(N) associ´ee.
On remarque que les termes de la somme dans (1.12) sont non nuls seulement si N|AkN| ≥ k. Ceci nous indique la fa¸con de d´efinir la fonction k(N). La convexit´e de φ k(N) + 1. Introduisant une suite (zN)N∈N par la relation suivante (voir Figure 1.5)
(φ−1)((zN) =N zN −1
2, (1.14)
on peut aussi repr´esenter k(N) sous la forme
k(N) =Ent[N zN −12] =Ent[(φ−1)((zN)].
Il est facile de voir qu’on peut modifier la suite (zN) en exigeant (φ−1)((zN) = N zN, ce qui facilite des calculs et ne change pas l’ordre de croissancek(N)-(φ−1)((zN).
L’estimation (1.12) montre que pour trouver l’ordre de croissance de TNy,w(f) il faut estimer l’ordre des trois termes suivants : k(N), TNwN,w(f) et ΣN(f) =3k(N) 1.6.1, de la mani`ere suivante :
TNwN,w(f)≤TNw¯N,w(f) +k(N)≤TNw¯N,w(ΛN + id) +k(N) = Dans le cas particulier, o`u la fonction φ est polynomiale, l’analyse pr´esent´ee ci-dessus permet d’´enoncer le r´esultat suivant :
Lemme 1.6.3 Soitf ∈Homeo+(S1) tel que Fix(f)1=∅et soity∈Fix(f). Supposons que ]w1, w2[⊂S1 soit un voisinage de y tel que pour tout x∈]w1, w2[on a
x+a|x−y|n ≤f(x)≤x+b|x−y|n,
avec un entier n≥2 et deux constantes b≥a >0. On a alors TNw1,w2(f)-Nn−n1.
Preuve. Comme dans la preuve du lemme pr´ec´edent, il suffit de montrer que TNy,w(f) -Nn−n1, pour un voisinage [y, w[ deycontenu dans ]w1, w2[. En fait, on va faire apparaˆıtre le mˆeme ordre de croissance pour l’applicationTNy,w, associ´ee `a la fonction ψ(x) =ψa,n(x) = x+a|x−y|n. Pour simplifier les notations, on suppose y = 0 et a = 1. On a donc ψ(x) =x+φ(x), o`uφ(x) =xn. On en d´eduit facilement quek(N)-N2nn−1−1 et l’estimation
(1.15) implique que l’ordre de croissance deTNwN,w(ψ) est au plus ´egal `aN2n−1n−1 lnN. Pour estimer l’ordre de ΣN(g) on reprend les in´egalit´es (1.16) qui donnent
k(N)/
k=1
1 nk
!2k+ 1 2N
"1−nn
≤ΣN(ψ)≤
k(N/)
k=1
1 nk
!2k−1 2N
"1−nn .
Ceci implique ΣN(ψ)-Nn−1n . Les in´egalit´es (1.12) entraˆınent l’ordreNn−1n de croissance
de TNy,w(ψ) et de mˆeme pourTNy,w(f). !
Soit f ∈Homeo+(S1) un hom´eomorphisme de nombre de rotation ρ(f) = p/q et soit y∈mboxP er(f). Supposons qu’il existe un voisinageV du pointytel que pour toutx∈V on ax+a|x−y|n≤fq(x)≤x+b|x−y|n, o`un≥2 est un entier etb≥adeux constantes positives. On dira que l’ordre de contact entre fq et l’identit´e eny est ´egal `a n.
Maintenant on utilise les deux derniers lemmes pour prouver la proposition suivante : Proposition 1.6.4 Soitf∈HomeoQ+(S1)un hom´eomorphisme rationnel, ayant un nombre fini de points p´eriodiques. Supposons que ρ(f) = pq, avecp et q premiers entre eux.
(i). Sifqest transverse `a l’identit´e en tout pointy∈mboxP er(f), alorsTN(f)-lnN. (ii). Si le maximum des ordres de contact entre fq et l’identit´e sur l’ensemble des
points p´eriodiques de f est ´egal `a n(n≥2), alors TN(f)-Nn−n1.
Preuve. Dans le cas d’un hom´eomorphisme f ∈ HomeoQ+(S1) ayant des points fixes, comme #Fix(f)<∞, on d´eduit l’´enonc´e de la proposition directement des Lemmes 1.6.2 et 1.6.3.
Supposons maintenant que ρ(f) = pq, q ≥ 2. On remarque que l’hom´eomorphisme f est lipchitzien au voisinage de l’ensemble de ses points p´eriodiques. Notons par L > 0 la constante de Lipschitz correspondante. Pour tout N ∈ N suffisamment grand et tout x∈EN suffisamment proche de l’ensemblemboxP er(f), on a
|(fN)q(x)−fq(x)| ≤ c 2N,
o`u c= LLq−−11 ne d´epend pas de N. On remarque que ceci implique
|(fN)q(x)−(fq)N(x)| ≤ c+ 1 2N ,
pour tout x ∈ EN. On en d´eduit facilement qu’une orbite injective de (fN)q ne peut effectuer qu’un nombre fini, major´e ind´ependamment deN, de tours autour du cercle.
Pour prouver notre proposition, il est donc suffisant de calculer l’ordre maximal de la longueur, qu’on notera TN1(f), d’une orbite de l’application fN, qui fait un seul tour de S1 :
TN1(f) = max
x∈EN{k:fNi (x)1=fNj(x) pour i1=j, i, j = 0,1, . . . , k, et|f˜Nk(˜x)−x˜|<1}, o`u ˜fN : ˜EN →E˜N est un relev´e canonique de l’applicationfN et ˜xun relev´e du point x.
Sur l’ensemble BN = {x ∈ S1 : |fq(x) −x| > 2Nc }, l’estimation de TN1(f) est la mˆeme que celle de TEnt[N/c](fq), qui est donn´ee par les deux lemmes cit´es ci-dessus et qui correspond `a celle ´enonc´ee dans la proposition. Pour N ∈ N suffisamment grand, le compl´ementaire dans S1 de l’ensemble BN est inclus dans une union d’intervalles de cercle, chacun contenant un point fixe defq. Les longueurs de ces intervalles peuvent ˆetre major´ees par :
(i). λN−1, avec λ >0 ne d´ependant pas deN, dans le cas transverse ; (ii). λN−n1, avec λ >0 ne d´ependant pas deN, dans le cas tangent.
On voit donc queTN1(f) est d’ordre 1 sur S1\BN dans le premier cas et d’ordre au plus Nn−1n dans le deuxi`eme. Ceci conclut la preuve de la proposition. !
La Proposition 1.6.4 et le raisonnement pr´esent´e dans sa preuve permettent d’´enoncer les corollaires suivants :
Corollaire 1.6.5 Soit f ∈ Homeo+(S1) un hom´eomorphisme de nombre de rotation ra-tionnelρ(f) = pq, ayant un nombre fini de points p´eriodiques et tel quefq est transverse `a l’identit´e en tout pointy∈mboxP er(f). Alors il existe une constanteC >0, ne d´ependant pas de N, telle que qN(f)< ClnN pour tout N ∈N.
Corollaire 1.6.6 Soit f ∈ HomeoQ+(S1) un diff´eomorphisme analytique, de nombre de rotation rationnel, semi-stable. Il existe un entiern≥2 tel que TN(f)-Nn−n1.
On remarque que le premier de ces deux corollaires compl`ete en un sens l’´enonc´e du Th´eor`eme A.1.