Dans ce paragraphe on pr´esente les preuves de l’existence des coordonn´ees isothermes pour une m´etrique lorentzienne de classe C∞ et une m´etrique riemannienne analytique r´eelle. Le raisonnement classique utilis´e s’appuie sur les id´ees purement g´eom´etriques, que l’on va essayer de g´en´eraliser par la suite pour prouver l’existence de formes normales dans un voisinage d’un point de d´eg´en´erescence de la m´etriqueg.
Soit gune m´etrique lorentzienne d´efinie dans un voisinage U de l’origine dans le plan, qui dans les coordonn´ees canoniques deR2 s’exprime sous la forme
ds2 =a(x, y)dx2+ 2b(x, y)dxdy+c(x, y)dy2,
o`u les fonctionsa, b, c:U →R, sont de classe C∞et v´erifient a >0,ac−b2<0.
Proposition 3.3.1 Il existe un changement C∞de coordonn´ees (u, v) = (u(x, y), v(x, y)) dans un voisinage de l’origine dans R2 tel que la m´etrique g s’exprime sous la forme ds2 =λ(u, v)(du2−dv2), o`u λ >0 est une fonction de classe C∞.
On verra ci-dessous que la preuve de la Proposition est particuli`erement simple grˆace
`a l’existence de deux champs de vecteurs isotropes pour la m´etriqueg, qui fournissent le changement de coordonn´ees d´esir´e. On va montrer par la suite, que le raisonnement ana-logue donne l’existence de coordonn´ees isothermes dans le cas d’une m´etrique riemannienne analytique r´eelle.
Preuve. En chaque point q ∈ U il existe deux directions isotropes pour la m´etrique g.
On peut toujours trouver deux champs de vecteursX1 etX2 de classe C∞engendrant ces deux champs de directions, qui sont non colin´eaires en tout pointq (cf. par exemple [52]).
On peut supposer qu’en chaque point q ∈ U, le couple de vecteurs {X1(q), X2(q)} forme une base de l’espace tangent TqU, qui est positive par rapport `a l’orientation canonique provenant des coordonn´ees (x, y) dansU. De plus, on peut demander que pour tout vecteur tangentv ∈TpU, tel quev =v1X1+v2X2 avec v1, v2 >0, on ait 5v5g >0.
Les courbes int´egrales de ces deux champs de vecteurs forment deux feuilletages F1 et F2par les courbesC∞de notre voisinage de l’origineU. Quitte `a choisir un voisinage plus petit, on peut supposer que chaque courbe appartenant `a la familleF1coupe chaque courbe appartenant `aF2 transversalement en un seul point. Le but est de trouver une application C∞ qui envoie les courbes de la familleF1 sur la famille des droites parall`eles engendr´ees par le vecteur (1,−1) et les courbes de la famille F2 sur la famille des droites engendr´ees par (1,1). Dans les nouvelles coordonn´ees, les vecteurs isotropes pour la m´etriquegseront en chaque point de la forme (t,−t) et (t, t),t∈R. Ceci nous donnera la forme cherch´ee de la m´etrique.
Pour tout pointq ∈U notons ψ1(q) etψ2(q) les deux courbes int´egrales, appartenant
`aF1 etF2 respectivement, passant par q. On construit une application Φ :U →Φ(U) de classeC∞ comme suit :
1. L’application Φ fixe l’origine, Φ(0,0) = (0,0).
2. L’image par Φ de la courbe ψ1(0) appartient `a la droite{(u, v) :u=−v}.
3. L’image par Φ de la courbeψ2(0) appartient `a la droite{(u, v) :u=v}et Φ pr´eserve l’orientation en origine.
4. Soitq∈U n’appartenant pas `aψ1(0)∪ψ2(0). Les courbesψ1(q) etψ2(q) passant par qcoupentψ2(0) etψ1(0) en deux pointsq2 etq1respectivement. Les images Φ(q1) et Φ(q2) ´etant d´ej`a d´efinies, on d´efinit Φ(q) comme l’intersection des droites engendr´ees par les vecteurs (1,1) et (1,−1) passant par Φ(q1) et Φ(q2) respectivement.
L’application Φ ainsi construite est bien d´efinie et lisse dans U. Dans les coordonn´ees canoniques (u, v) de Φ(U)⊂R2 les directions isotropes pour la m´etrique Φ∗g s’expriment par (t, t) et (t,−t). Si on note la m´etrique image ds2 = α(u, v)du2 + 2β(u, v)dudv + γ(u, v)dv2, o`u α, β, γ : Φ(U)→Rsont de classe C∞, on a en chaque point
Φ∗g((1,1),(1,1)) =α+ 2β+γ = 0, Φ∗g((1,−1),(1,−1)) =α−2β+γ = 0,
d’o`u β(u, v) ≡ 0 et α(u, v) = −γ(u, v). De plus, comme Φ pr´eserve l’orientation, il est facile de voir que le choix de champsX1 etX2 au d´epart implique que α est positive sur
Φ(U). !
On va adapter maintenant le raisonnement pr´esent´e ci-dessus pour prouver l’existence des coordonn´ees isothermes dans le cas d’une m´etrique riemannienne de classeCω. Dans ce
ψ1(0) ψ1(p) ψ2(0)
ψ2(p)
Φ(ψ1(0)) Φ(ψ2(0)) Φ
q
q2 q1
0
0 Φ(q)
Φ(q2)
Φ(q1)
Figure 3.2.L’id´ee de la construction de l’application Φ.
qui suit, on notera (x, y) non seulement les coordonn´ees canoniques deR2, mais aussi leur extension dans l’espace C2. Pour tout pointq ∈C2 on notera ¯q son image par l’involution complexeσ : (x, y).→(¯x,y).¯
Th´eor`eme 3.3.2 Soitgune m´etrique riemannienne d´efinie dans un voisinage U de l’ori-gine dans le plan, qui s’exprime dans les coordonn´ees canoniques de R2 sous la forme
ds2 =a(x, y)dx2+ 2b(x, y)dxdy+c(x, y)dy2,
o`u les fonctions a, b, c:U →R sont analytiques r´eelles et v´erifient a >0, ac−b2 >0. Il existe alors un changement de coordonn´ees(u, v) = (u(x, y), v(x, y)) de classe Cω dans un voisinage de l’origine, tel que la m´etriqueg s’exprime sous la forme
ds2 =λ(u, v)(du2+dv2), o`u λ >0 est une fonction analytique r´eelle.
Preuve. Les fonctionsa, b, c ´etant analytiques r´eelles, on peut les ´etendre en trois fonc-tions holomorphes, toujours not´eesa, b, c, d´efinies sur un voisinageU de l’origine dansC2. Notons toujoursgla m´etrique complexe surU donn´ee par ces fonctions. En chaque point (x, y)∈U ⊂C2 il existe deux solutions diff´erentes en (ξ1, ξ2)∈C2 de l’´equation
a(x, y)ξ12+ 2b(x, y)ξ1ξ2+c(x, y)ξ22 = 0. (3.3) De nouveau, en chaque point de U on a deux directions complexes isotropes pour la m´etrique g. Ceci implique l’existence de deux champs de directions holomorphes X1 et X2, isotropes pourg et non colin´eaires sur un voisinage de l’origine dansC2, que nous no-terons encoreU. Comme les fonctions apparaissant dans (3.3) commutent avec l’involution complexeσ : (x, y).→(¯x,y), les solutions de cette ´equation commutent elles aussi avec¯ σ.
On en d´eduit que pour tout (x, y)∈U on a l’´egalit´e des ensembles{X1(¯x,y), X¯ 2(¯x,y)¯ }= {X1(x, y), X2(x, y)}. On remarque que si on avaitX1(¯x,y) =¯ X1(x, y), ceci impliquerait en particulierX1(q)∈R2 pour tout pointq ∈R2∩U. Mais la m´etrique g est d´efinie positive surR2, ce qui implique que l’´equation (3.3) ne poss`ede pas de solutions r´eelles associ´ees aux points r´eels. Cette contradiction montre que X1(¯x,y) =¯ X2(x, y) et X2(¯x,y) =¯ X1(x, y).
Maintenant nous allons modifier la construction de l’application Φ introduite dans le cas lorentzien. On a deux feuilletages d’un voisinage de l’origine dansC2 par des courbes
holomorphes, commutant avec l’involution σ. Pour toutq ∈U ⊂C2 on note encore ψ1(q) et ψ2(q) les deux courbes int´egrales passant par q. On construit Φ en lui demandant d’envoyer analytiquement la courbeψ1(0) sur la droite complexe engendr´ee par le vecteur (1, i) et l’autre,ψ2(0), sur la droite engendr´ee par (1,−i), mais dans ce cas on exige que Φ commute avec l’involution complexeσ. L’action de Φ sur les autres points deU est d´efinie comme auparavant.
ψ2(¯q) =ψ1(q) ψ2(0)
ψ2(q) ψ1(q)
ψ1(0) =ψ2(0)
ψ1(¯q) =ψ2(q)
(¯q)2= ¯q1
¯ q (¯q)1= ¯q2 q2
q1
0 q
Figure 3.3.La sym´etrie de X1 etX2 par rapport `a σ.
On obtient donc une application Φ qui envoit la famille de courbes int´egrales du champ X1 sur la famille de droites complexes engendr´ees par le vecteur (1, i), et les courbes int´egrales de X2 sur la famille de droites engendr´ees par (1,−i). D’apr`es la sym´etrie de l’´equation (3.3) par rapport `a σ, notre application commute avec l’involution complexe.
Elle est bien d´efinie et analytique sur U et Φ|R2 :R2 → R2 est de classe Cω. En chaque point de Φ(U) on a deux directions isotropes pour la m´etrique Φ∗g, qui dans la coordonn´ee canonique de Φ(U) prennent la forme (t, it) et (t,−it),t∈C. Supposons que Φ∗gs’exprime dans Φ(U) sous la forme
ds2=α(u, v)du2 + 2β(u, v)dudv+γ(u, v)dv2,
o`uα, β, γ sont holomorphes et commutent avecσ. Pla¸cons-nous en un pointq∈R2∩Φ(U) et prenons deux vecteurs appartenant aux directions nulles de Φ∗gen q, par exemple (1, i) et (1,−i). On obtient
Φ∗g((1, i),(1, i)) =α+ 2iβ−γ = 0, Φ∗g((1,−i),(1,−i)) =α−2iβ−γ = 0,
d’o`uβ = 0 etα=γ. Ceci prouve que Φ∗g|R2 =α(u, v)(du2+dv2) et α∈Cω. !