Classification des godrons g´en´eriques

On s’int´eresse maintenant aux courbes isotropes pour une m´etrique g´en´erique dans le voisinage d’un godron. D’apr`es la Proposition 3.2.1, on peut supposer quegest d´eg´en´er´ee sur la droite Γ = {y = 0} et qu’elle admet un godron isol´e en l’origine. Comme g est analytique r´eelle, on l’´etend en une m´etrique complexe d´efinie sur un voisinage de l’origine U dans C². Grˆace au Corollaire 3.2.3, on sait que les courbes isotropes pour g v´erifient dansU une ´equation diff´erentielle de la forme

a(x, y) + 2b(x, y)^dy_dx ++_dy dx

.2

= 0, (3.9)

o`u a(x, y) =k(x)<sup>2</sup>+yα(x, y),b(x, y) =k(x) +yβ(x, y),α(0,0) 1= 0, β(0,0) 1= 0, k(0) = 0 etk<sup>(</sup>(0)1= 0. En tout point deU\Γ on a encore deux directions complexes isotropes pour g, mutuellement transverses, qui d´efinissent deux feuilletages par courbes complexes de U\Γ. En tout point de Γ les deux directions se confondent en une seule direction isotrope pour g, transverse `a Γ en tout point sauf en l’origine (godron isol´e).

Comme dans la preuve du Lemme 3.4.2, consid´erons la surfaceS_g d´efinie par l’´equation (3.9) dans l’espace de 1-jets de fonctionsy(x) munie de coordonn´ees (x, y, p), o`u p corres-pond `ady/dx. Dans un voisinage de l’origine dansC³, la surface S_g est donn´ee par

a(x, y) + 2b(x, y)p+p²= 0.

Encore une fois on peut choisir le couple (x, p) comme un syst`eme des coordonn´ees pour Sg dans un voisinage de l’origine. Dans le plan (x, p), on obtient un champ de directions V_g induit par les directions isotropes deg, qui est d´ecrit par l’´equation

(a_x(x, y) + 2b_x(x, y)p+a_y(x, y)p+ 2b_y(x, y)p²)dx+ 2(b(x, y) +p)dp= 0, (3.10) o`u y=S(x, p) est consid´er´e comme une fonction des variablesx et pd´ecrivant la surface S_g. Les courbes int´egrales du champV_g sont envoy´ees par la projection

π_x,y◦π⁻_xp¹ : (x, p).→(x, S(x, p), p).→(x, S(x, p)) sur les courbes isotropes pour la m´etriqueg dans le plan (x, y).

Le fait que l’origine soit un godron pour la m´etrique g implique, que Vg admette un point singulier en l’origine dans le plan (x, p), g´en´eriquement non d´eg´en´er´e. On a donc

g´en´eriquement trois possibilit´es - une singularit´e de type col, nœud ou foyer. Dans chacun de ces trois cas, les courbes int´egrales du champ V_g sont holomorphiquement conjugu´ees aux solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, donn´ee par la partie lin´eaire de Vg en l’origine. Les courbes isotropes de la m´etriqueg“en bas” sont topologiquement ´equivalentes aux projections surU, via la surfaceS_g, des solutions d’une ´equation lin´eaire dans le plan (x, p).

Figure 3.6.Familles des courbes int´egrales de l’´equation lin´earis´ee sur la surfaceS_g dans l’espace de 1-jets et leurs projections sur le plan (x, y) - courbes isotropes pour la m´etrique g au voisinage d’un godron g´en´erique (de type col, nœud et foyer respectivement).

Le type “col”, “nœud” ou “foyer” du godron est un invariant de changement analy-tique de coordonn´ees. Notons L_g la partie lin´eaire en l’origine du champ V_g induit par la m´etriqueg. Il est facile de voir que deux m´etriquesg₁ etg₂, conform´ement ´equivalentes `a un changement de coordonn´ees pr`es, induisent deux champs de directions V_g1 et V_g2 qui sont conjugu´es par un diff´eomorphisme dans le plan (x, p). Ceci implique que leurs parties lin´eaires sont conjugu´ees, d’o`u un autre invariant associ´e `a un godron : le rapport des valeurs propres deL_g. Le r´esultat de Davydov [13] affirme que dans le cas d’une ´equation diff´erentielle de type (3.2), donn´ee par une fonction F de classe C^∞, ce rapport d´ecrit enti`erement un godron `a un changement de coordonn´ees de classe C^∞ pr`es. Il se trouve que dans le cas analytique cette description n’est pas suffisante. ´Etant donn´e un champ de directions V avec une partie lin´eaire prescrite, il faut savoir encore comment plier le plan (x, p) afin d’obtenir la surfaceS, pour pouvoir ensuite projeter ses courbes int´egrales sur le plan (x, y). Cette information est port´ee par l’involution ηg, aussi induite par la m´etrique g dans un voisinage de l’origine dans le plan (x, p). Elle correspond tout simplement `a l’´echange sur la surfaceS_g des couples de points admettant la mˆeme projection par π_xy. Plus pr´ecis´ement, si y=S(x, p) d´efinit la surface S_g, alorsη(x, p) = (x, f(x, p)), o`u f est la fonction v´erifiant S(x, p) = S(x, f(x, p)) pour tout point (x, p). Bien sˆur, l’ensemble F ix(ηg) correspond `a la projection sur le plan (x, p) de la courbe criminant ˜Γ⊂S_g.

On va montrer qu’il n’existe pas de mod`ele canonique pour une m´etrique analytique r´eelle dans un voisinage d’un godron g´en´erique.

Th´eor`eme 3.5.1 L’espace des mod`eles conformes pour des m´etriques analytiques r´eelles g´en´eriques au voisinage d’un godron est de dimension infinie.

La classification des mod`eles conformes des godrons g´en´eriques sera effectu´ee `a travers la classification des couples (Vg, η_g), `a la conjugaison par un diff´eomorphisme pr`es. Avant de pr´eciser l’espace des objets avec lesquels on va travailler, on remarque le fait suivant :

Lemme 3.5.2 Le champ de directions V_g estη_g-invariant sur la courbe F ix(η_g)et seule-ment sur cette courbe.

Preuve. L’involution η_g est donn´ee par η_g(x, p) = (x, f(x, p)), o`u f est une fonction d´efinie dans un voisinage de l’origine dans C² par la relation S(x, p) = S(x, f(x, p)).

Fixons un point (x, p). Il lui correspond un point (x, S(x, p)) dans le plan (x, y). Les deux directions isotropes pour la m´etrique g en (x, S(x, p)) sont engendr´ees par _∂x^∂ +p_∂y^∂ et

∂

∂x+f(x, p)_∂y^∂. Pour calculer les vecteurs correspondants sur la surfaceS_gen (x, S(x, p), p) et (x, S(x, p), f(x, p)), on les repr´esente sous la forme

∂

∂x +p_∂y^∂ +v1 ∂

∂p, _∂x^∂ +f(x, p)_∂y^∂ +v2 ∂

∂p

respectivement. Le fait qu’ils appartiennent au plan tangent `a la surfaceS_gse traduit par :

−S_x(x, p) +p−v₁S_p(x, p) = 0,

−S_x(x, f(x, p)) +f(x, p)−v₂S_p(x, f(x, p)) = 0.

En utilisant le fait queS(x, p) =S(x, f(x, p)), on trouve que

S_p(x, f(x, p))(v2−f_x(x, p)−v₁f_p(x, p)) =f(x, p)−p.

Le champV_g ´etant engendr´e en (x, p) et (x, f(x, p)) par _∂x^∂ +v_1∂p^∂ et _∂x^∂ +v_2∂p^∂ respecti-vement, cette derni`ere ´equation montre queDη_gV(x, p) =V(x, f(x, p)) si et seulement si

(x, p)∈F ix(ηg). !

Maintenant on peut introduire la d´efinition suivante :

D´efinition. Un couple (V, η), constitu´e d’un germe en l’origine dans C² d’un champ de directions holomorpheV et d’un germe en l’origine d’une involutionη, tous les deux com-mutant avec l’involution complexe σ: (x, p).→(¯x,p), sera appel´e¯ un couple admissible si les conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1. le champ V admet un point singulier non d´eg´en´er´e en l’origine ; 2. l’ensemble F ix(η) est une courbe lisse passant par l’origine ;

3. le champ V est η-invariant en un point (x, p) si et seulement si (x, p)∈F ix(η).

On montre que la classification des couples admissibles (V, η) permet de classifier les mod`eles conformes des godrons g´en´eriques.

Lemme 3.5.3 Supposons qu’on ait deux germes de m´etriquesg₁etg₂ en l’origine dansC² et soit (V1, η1) et (V2, η2) les couples (germe de champ de directions, germe d’involution) associ´es. Les deux conditions sont ´equivalentes :

1. Il existe un changement de coordonn´ees Φ dans un voisinage de l’origine dans C², tel que la m´etrique Φ_∗g1 est conform´ement ´equivalente `ag2.

2. Il existe un diff´eomorphisme Ψdans un voisinage de l’origine dans C² tel que V₂ = Ψ_∗V₁ et η₂ = Ψ⁻¹◦η₁◦Ψ.

Preuve. Supposons que g₂ soit conform´ement ´equivalente `a Φ<sub>∗</sub>g<sub>1</sub> dans un voisinage de l’origine U ⊂ C<sup>2</sup>. Notons Φ = (Φ1,Φ2), Φ1,2 : U → C. Soient y = S<sub>1</sub>(x, p) et y = S<sub>2</sub>(x, p) les ´equations des deux surfaces dans l’espace de 1-jets correspondant `a nos m´etriques. Soit (x, p) un point dans le domaine de d´efinition du champV₂. Pour construire le diff´eomorphisme Ψ, on projette tout d’abord le point (x, p) sur la surfaceS₂ et puis sur

U - on obtient un point (x, S₂(x, p)). De plus, si (x, p) 1∈ F ix(η₂), on a en ce point une directionW₂(x, p), isotrope pour la m´etriqueg₂, qui est l’image de la directionV₂(x, p) par cette double projection. On applique maintenant le diff´eomorphisme Φ. Si (x, p)∈F ix(η2), il existe un unique point sur la surfaceS₁situ´e au-dessus du point Φ(x, S₂(x, p)). On prend sa projection sur le plan (x, p) comme l’image par Ψ du point (x, p). Si (x, p)1∈F ix(η2), on a le choix entre deux points diff´erents sur la surfaceS₁ correspondant `a Φ(x, S<sub>2</sub>(x, p)). On choisit celui dont la troisi`eme coordonn´ee est donn´ee par l’image de la directionW₂(x, p) par la diff´erentielle de Φ. En le projetant sur le plan (x, p) on obtient l’image par Ψ de notre point de d´epart.

g1 g2

(x, y) Φ(x, y)

(x, p) Ψ(x, p)

Φ

Ψ

(V1, η1) (V2, η2)

S1 S2

η1 η2

πxy

πxp

Figure 3.7.La conjugaison des m´etriques ´equivaut la conjugaison des couples (V, η).

On peut exprimer Ψ sous la forme explicite suivante : Ψ₁(x, p) = Φ₁(x, S₂(x, p)),

Ψ2(x, p) = Φ2x(x, S2(x, p)) +pΦ2y(x, S2(x, p)) Φ1x(x, S2(x, p)) +pΦ1y(x, S2(x, p)).

Par la construction mˆeme, l’application Ψ est bijective. C’est un diff´eomorphisme d’un voisinage de l’origine, priv´e de la courbe F ix(η2), sur un voisinage de l’origine priv´e de F ix(η₁). On en d´eduit que Ψ est le diff´eomorphisme cherch´e car il est facile de v´erifier que V₂ = Ψ_∗V₁ etη₂ = Ψ⁻¹◦η₁◦Ψ.

R´eciproquement, supposons que les couples (V1, η₁) et (V2, η₂) proviennent de deux m´etriques g1 et g2 et qu’il existe un diff´eomorphisme Ψ = (Ψ1,Ψ2) qui les conjugue.

´Etant donn´e un point (x, p) dans le domaine de d´efinition de Ψ, il lui correspond exac-tement un point (x, S2(x, p)) dans le plan (x, y). De mˆeme, on a exactement un point (Ψ1(x, p), S1(Ψ1(x, p),Ψ2(x, p))) correspondant `a l’image par Ψ du point (x, p). On d´efinit Φ par

Φ : (x, S2(x, p)).→(Ψ1(x, p), S1(Ψ1(x, p),Ψ2(x, p))).

Encore une fois par la construction mˆeme, on voit que Φ envoie les directions isotropes de la m´etriqueg2 sur celles de la m´etriqueg1, d’o`u Φ_∗g1 etg2 sont conform´ement ´equivalentes

dans un voisinage de l’origine. !

On prouve maintenant qu’`a tout couple admissible (V, η) il correspond une classe conforme de m´etrique complexe admettant un godron en l’origine.

Lemme 3.5.4 Soit (V, η) un couple admissible. Il existe un germe de m´etrique complexe en l’origine dansC², tel que le couple(Vg, η_g)associ´e est conjugu´e par un diff´eomorphisme

`a (V, η).

Preuve. Soit (V, η) un couple admissible. Par un changement holomorphe de coordonn´ees on peut toujours se ramener au cas o`u l’involution η devient l’involution classique τ : (x, p) .→(x,−p). Dans ce cas, le champ V est vertical sur la droite complexe {p = 0}. Il est donc engendr´e par un champ de vecteurs ˜V de la forme ˜V(x, p) =p_∂x^∂ + (A(x, p²) + pB(x, p²))_∂p^∂ . On va projeter ce champ de vecteurs sur le plan (x, y), en passant par la surface y = p² qui “commute” bien sˆur avec τ. Dans les coordonn´ees (x, y) = (x, p²) on obtient une m´etriqueg donn´ee par la forme quadratique

4(A(x, y)² −yB(x, y)²)dx²−4A(x, y)dxdy+dy². (3.11) Clairement, elle admet un godron non d´eg´en´er´e en l’origine. On peut lui associer un couple (V_g, η_g) `a l’aide de la surface d´efinie par l’´equation (3.11). Grˆace `a un raisonnement similaire

`a celui pr´esent´e dans la preuve du lemme pr´ec´edent, on prouve que le couple (Vg, η_g) est

conjugu´e `a (V, η). !

On pr´esente maintenant la preuve du r´esultat principal de ce travail.

Preuve du Th´eor`eme 3.5.1. Notons G l’ensemble de germes de m´etriques analytiques r´eelles admettant un godron isol´e en l’origine dans le plan. On dira que deux germesg1etg2

sont ´equivalents s’il existe un germe en l’origine d’un diff´eomorphisme analytique Φ, tel que Φ_∗g₁ est conform´ement ´equivalent `ag<sub>2</sub>. On note ce fait par g<sub>1</sub> ∼g<sub>2</sub>. D’autre part, notons A l’ensemble des couples admissibles (V, η) et introduisons une relation d’´equivalence ≈ qui d´enote le fait que deux couples admissibles sont conjugu´es par un germe en l’origine d’un diff´eomorphisme holomorphe Ψ. Les deux derniers lemmes permettent d’identifier les deux espaces quotients G/<sub>∼</sub> et A/<sub>≈</sub>. On va ´etudier ce deuxi`eme quotient afin d’effectuer une classification des mod`eles conformes des godrons g´en´eriques.

Notons L_µ et L_ν les champs de directions lin´eaires, d´ependant d’un param`etre r´eel, engendr´es par les champs de vecteurs

L˜_µ(x, p) =

! 1 0 0 µ

" ! x p

"

et ˜L_ν(x, p) =

! 1 −ν

ν 1

" ! x p

"

.

Soit (V, η) un couple admissible. Notons µle rapport des deux valeurs propres de la partie lin´eaire deV en l’origine dans le cas d’une singularit´e de type col ou nœud. ´Egalement, soit ν le rapport entre la partie imaginaire et la partie r´eelle (si celle-ci est non nulle) d’une des valeurs propres correspondantes, dans le cas o`u c’est un foyer. Le th´eor`eme de Poincar´e (cf. par exemple [4]) affirme que g´en´eriquement, i.e. quand ces valeurs propres ne sont pas r´esonantes, il existe un germe de diff´eomorphisme holomorphe Ψ_L conjuguant V avec le mod`ele lin´eaire L<sub>µ</sub> ou L<sub>ν</sub> corespondant. D’autre part, il existe aussi un diff´eomorphisme Ψ<sub>τ</sub> conjuguant l’involutionη avec l’involution standardτ : (x, p).→(x,−p). Mˆeme si deux champs V<sub>1</sub> et V<sub>2</sub> poss`edent le mˆeme mod`ele lin´eaire et donc peuvent ˆetre conjugu´es par un diff´eomorphisme, les deux involutions η<sub>1</sub> et η<sub>2</sub> peuvent ne pas ˆetre compatibles avec cette conjugaison. Le vrai probl`eme consiste donc `a classifier en mˆeme temps les couples des diff´eomorphismes ΨL et Ψτ correspondant aux couples admissibles (V, η).

Soit (V, η) un couple admissible g´en´erique et supposons que le mod`ele lin´eaire du champ V soit de typeLµ. Notons (Lµ, ηL) un des mod`eles lin´eaires du couple (o`u ηL est d´efinie

`a la conjugaison avec un diff´eomorphisme pr´eservant Lpr`es) et (V_τ, τ) un de ses mod`eles

(Vτ, τ) (V, η)

(Lµ, ηL) h

ΨL Ψτ

correspondant `a la normalisation de l’involution (o`u le champ de directions Vτ est d´efini

`a la conjugaison par un diff´eomorphisme pr´eservant τ pr`es). On va classifier les couples (ΨL,Ψτ) introduits ci-dessus en classifiant les diff´eomorphismesh= ΨL◦Ψ⁻¹_τ conjuguant un mod`ele d’involution `a un mod`ele lin´eaire correspondant `a un couple admissible.

Repr´esentons h sous la forme suivante :

h(x, p) = (h1(x, p), h2(x, p)) = (A(x, p²) +pB(x, p²), C(x, p²) +pD(x, p²)).

Comme on a d´ej`a remarqu´e, le diff´eomorphismehn’est pas unique. On peut le conjuguer par un diff´eomorphisme pr´eservant τ `a la source et par un diff´eomorphisme pr´eservant L_µ `a l’arriv´ee. Il est facile de voir, que dans le cas o`u µ ∈ R\ Q, donc dans le cas g´en´erique, les seuls diff´eomorphismes pr´eservant le champ lin´eaireL_µsont ceux de la forme diagonale (x, p).→ (αx, βp). D’autre part, tout diff´eomorphisme pr´eservant l’involution τ est clairement de la formeg(x, p) = (g1(x, p²), pg2(x, p²)). ´Etant donn´e un diff´eomorphisme h, en le conjuguant `a la source par un diff´eomorphisme g bien choisi, on peut “tuer” la partie paire enpde h<sub>1</sub> et la partie impaire enpde h<sub>2</sub>. Ceci nous permet de nous ramener au cas o`u

h(x, p) =



x+ /

n,m≥0

b_n,mxⁿp^2m+1, /

n,m≥0

c_n,mxⁿp^2m+p



, (3.12)

o`u b<sub>n,m</sub>, c<sub>n,m</sub> ∈R, n, m∈N. Cette forme de diff´eomorphisme h est unique dans la classe d’´equivalence du couple (V, η). R´eciproquement, pour qu’un diff´eomorphisme de la forme (3.12) d´efinisse une classe d’´equivalence dans A, il faut que h<sub>∗</sub>Lµ soit τ-invariant sur la droite {p = 0}. On re´ecrit cette condition sous la forme Dh<sub>|(x,0)</sub>(<sub>∂p</sub><sup>∂</sup> ) = λL<sub>µ</sub>(h(x,0)), o`u λ1= 0. Ceci implique queh doit v´erifier

µ



/

n≥0

b_n,0xⁿ







/

n≥0

c_n,0xⁿ



=x. (3.13)

On a prouv´e que tout diff´eomorphisme h de la forme (3.12), v´erifiant la condition (3.13), code une classe d’´equivalence dans A/_≈, qui correspond elle-mˆeme `a un mod`ele conforme d’un godron de type col ou nœud g´en´erique. La preuve dans le cas d’un

godron-foyer est analogue. Ceci finit la preuve du Th´eor`eme. !

Th´ eor` eme central limite

4.1 Introduction

Consid´erons une ´equation diff´erentielle stochastique donn´ee par K dX(t;ω, σ) =V(t,X(t);ω)dt+√

2κdB(t;σ),

X(0;ω, σ) =0, (4.1)

o`u V(t,x;ω), (t,x) ∈ R×R<sup>d</sup> est un champ de vecteurs al´eatoire, d-dimensionnel, sur l’espace de probabilit´e T0 = (Ω,V,P), B(t;σ), t ≥ 0 d´enote le mouvement brownien d-dimensionnel standard sur un autre espace de probabilit´eT1= (Σ,W,Q) etκ >0 est une constante. L’´equation (4.1) est souvent utilis´ee dans des mod`eles physiques pour d´ecrire le mouvement d’une particule dans un flot donn´ee par le champ V.

Dans ce chapitre on s’int´eressera au comportement `a long terme de la solution de (4.1) sur l’espace produit (Ω× Σ,V ⊗ W,P ⊗Q). Notamment, on consid`ere l’´echelle macroscopique t ∼ t/ε²,x ∼ x/ε et pour ε > 0 on d´efinit le processus Xε(t) = εX(_ε^t2), t≥0, qui v´erifie la version suivante de notre ´equation :

dXε(t) = 1 εV

! t

ε²,Xε(t) ε

"

dt+√

2κdB(t).

On a utilis´e ici le fait que dans la nouvelle coordonn´ee le mouvement brownien s’exprime sous la forme εB(_ε^t2),t≥0, et donc sa distribution ne change pas.

Soit A l’espace des applications d´efinies sur [0,+∞[ `a valeurs dansR^d. Sur l’espace A on d´efinit la tribu cylindriqueCA engendr´ee par la collection d’ensembles de la forme

C_t^B₁¹_,...,t^,...,B_nⁿ ={f ∈A:f(t_i)∈B_i, i= 1, . . . , n},

o`u t_i ∈[0,+∞[ etB_i ∈ B(R^d). On remarque que pour tout ε >0 fix´e, le processus Xε(·) induit une mesure de probabilit´eF_ε sur l’espace (A,CA), donn´ee par

F_ε[C] =P⊗Q[(ω, σ)∈Ω×Σ :X_ε( ·;ω, σ)∈C],

pour tout C ∈ CA. Par la convergence faible de la famille de processus (Xε(t))ε>0 on comprend la convergence faible de la famille de mesures (F_ε) associ´ee.

Le probl`eme consistant `a d´eterminer le comportement macroscopique de la solution de l’´equation (4.1) sera formul´e en termes de la convergence de la famille de mesures ainsi construites. Plus pr´ecis`ement, on cherche `a ´etablir un Th´eor`eme Central Limite (TCL) pour la famille de processus (Xε(t))ε>0 - d´eterminer si la famille (Fε)ε>0 converge faible-ment quandε→0 et identifier sa possible limite.

72

D´ej`a dans les travaux de G. I. Taylor [47], datant des ann´ees 1920, on trouve les premi`eres pr´evisions concernant la solution de ce probl`eme. Il conjecture que la trajectoire d’une particule dans un flot induit par un champ al´eatoire centr´eV, devrait ressembler `a celle d’un mouvement brownien dont la matrice de covariance est donn´ee par

K_ij =@ _+∞

0

ME[V_i(t,X(t))V_j(0,0) +V_j(t,X(t))V_i(0,0)]dt+ 2κδ_ij, i, j = 1, . . . , d, (4.2) o`u E et M d´enotent les esp´erances math´ematiques dans T0 et T1 respectivement. Le probl`eme principal que l’on rencontre dans l’´etude de ce genre de questions, est de prouver la convergence des int´egrales apparaissant dans (4.2). La trajectoire X(t) porte le ren-seignement sur toute son histoire et souvent il est tr`es difficile d’obtenir la d´ecorr´elation des facteurs sous l’int´egrale, mˆeme si on suppose que le champV est lui-mˆeme fortement d´ecorr´elant.

Les r´esultats connus dans ce domaine appartiennent `a deux cat´egories, selon le type d’hypoth`eses concernant le champ al´eatoire Ven question. SoitVstationaire, incompres-sible et centr´e. Dans le premier groupe de r´esultats on suppose queVposs`ede une matrice de fluxH, i.e.

V(t,x) =∇xH(t,x).

Papanicolaou et Varadhan [41] et aussi Kozlov [34] ont d´emontr´e le TCL dans le cas d’un champ al´eatoire V(x), x ∈R^d, ne d´ependant pas du temps, born´e, admettant une matrice de flux H(x) stationaire et born´ee. Le r´esultat similaire, concernant les champs V(t,x) d´ependant du temps, `a ´et´e prouv´e par Landim, Olla et Yau [35]. Dans [18] et [19], Fannjiang et Komorowski donnent une preuve de TCL pour des processus engendr´es par un champ al´eatoire V non-born´e, mais dont la matrice de flux admet un p-i`eme moment fini (p > ddans le cas ind´ependant du temps et p > d+ 2 dans le cas d´ependant).

L’autre groupe de r´esultats concerne le comportement du champ V par rapport au temps. On a ici une version du TCL pour une classe de champs Markoviens fortement m´elangeants (Fannjiang et Komorowski [20]) ou encore pour des champs de type Ornstein-Uhlenbeck (Cramona et Xu [10]).

Dans ce chapitre, on pr´esente la preuve d’un r´esultat (voir l’´enonc´e du th´eor`eme ci-dessous) appartenant `a ce deuxi`eme groupe et ´etant une g´en´eralisation d’un th´eor`eme de T. Komorowski et G. C. Papanicolaou publi´e dans [32]. Les auteurs consid`erent l’´equation (4.1) avec κ = 0 (sans le mouvement brownien additionnel) et supposent le champ V gaussien, centr´e, stationaire, incompressible et d´ecorr´elant en temps fini. Ils montrent la convergence faible, quand ε → 0, de la famille de processus (Xε(t), t ≥ 0)ε>0 vers un mouvement brownien de matrice de covariance donn´ee par

Dij =@ +∞ 0

E[Vi(t,X(t))Vj(0,0) +Vj(t,X(t))Vi(0,0)]dt, i, j = 1, . . . , d.

On va prouver un r´esultat analogue, en gardant les mˆemes hypoth`eses concernantV, mais dans le cas o`u κ > 0. L’id´ee de notre preuve s’appuie fortement sur celle pr´esent´ee dans [32].

Avant d’´enoncer notre th´eor`eme, on va d´etailler les conditions que l’on impose au champ V. On se place dans le cadre o`u V = (V₁, . . . , V_d) : R×R^d → R^d est un champ gaussien, centr´e et stationaire. Notons par Rsa matrice de covariance

R((t,x),(s,y)) = [E[(Vi(t,x)−m_i(t,x))(Vj(t,x)−m_j(t,x))]]i,j=1,...,d,

o`u (t,x),(s,y)∈R×R<sup>d</sup>etm<sub>i</sub>(t,x) d´enote lai-`eme composante du vecteur de la moyenne E[V(t,x)]. Dans notre cas, comme V est centr´e et stationaire, R ne d´epend que de la diff´erence (t−s,x−y)∈R×R^d, c’est-`a-dire on peut ´ecrire

R((t,x),(s,y)) =R(t−s,x−y) = [E[Vi(t−s,x−y)Vj(0,0)]]i,j=1,...,d.

On suppose de plus qu’il existe deux constantesC, η >0 telles que la matrice de covariance du champ V v´erifie

|R(0,0)−R(t,x)|+ /d

i,j=1

|∂_x²_ixjR(0,0)−∂_x²_ixjR(t,x)| ≤ C

|lnB

t²+|x|²|^1+η, pour tout (t,x)∈R×R^d. Cette condition, plutˆot technique, implique queVestP-presque sˆurement continu par rapport `a t et de classe C¹ par rapport a x. De plus, on en d´eduit

´egalement que le champ

W(t,x) = V(t,x) (t²+x²+ 1)¹²

est P-presque sˆurement born´e. Ceci implique que V(t,x) croˆıt au plus lin´eairement en t etx`a l’infini, d’o`u l’´equation (4.1) admet une unique solution globale en t.

On introduit encore deux hypoth`eses tr`es importantes, essentielles pour la preuve du th´eor`eme ci-dessous. Notamment, on suppose queV soit incompressible (i.e. divV(t,x)≡ 0) et qu’il d´ecorr`ele en temps fini, c’est-`a-dire qu’il existe une constante T > 0 telle que R(t,x)≡0 pour toutx∈R<sup>d</sup> d`es que |t|> T.

On consid`ere l’´echelle macroscopique donn´ee par le changement de variables t∼t/ε², x ∼ x/ε, et on d´efinit la famille de processus X_ε(t) = εX(_ε^t2), t ≥ 0, ε > 0. On re-marque que les trajectoires de processus Xε(·) sont presque sˆurement continues. Notons par F_ε la mesure de probabilit´e induite par Xε(·) sur l’espace des applications continues C([0,+∞[,R^d).

Ce chapitre est consacr´e `a la preuve du r´esultat suivant :

Th´eor`emeSupposons queV v´erifie toutes les hypoth`eses pr´esent´ees ci-dessus. SoitX(t), t≥0, la solution de l’´equation (4.1). Alors les int´egrales

D_ij =@ _∞

0

ME[Vi(t,X(t))Vj(0,0) +V_j(t,X(t))Vi(0,0)]dt, i, j= 1, . . . , d

convergent et la famille de processus (Xε(t))ε>0 converge faiblement, quand ε→ 0, vers un mouvement brownien de matrice de covariance D= [D_ij + 2κδ_ij]i,j=1,...,d.

La preuve de ce th´eor`eme se d´ecompose en trois ´etapes principales.

• Grˆace `a l’hypoth`ese d’incompressibilit´e du champ V, on peut appliquer un r´esultat de Port et Stone [42] qui implique que le processus V(t,X(t)), t ≥ 0, est stationaire. Ceci permet de construire l’outil principal de la preuve : un op´erateur Q agissant sur l’espace L¹(Ω,V−∞,0,P), o`u V−∞,0 d´enote la tribu engendr´ee par la famille {V(t,·), t ≤ 0} de variables al´eatoires. L’op´erateur Qest positif, pr´es´erve les densit´es et v´erifie la condition suivante :

ME[Vi(s,X(s))Vj(0,0)] =ME[Vi(s−T,X(s−T))Q[Vj(0,0)]], (4.3)

pour tout s ≥ T, o`u T d´enote le temps de d´ecorr´elation du champ V. On prouve aussi que pour toutY ∈L²(Ω,V−∞,0,P) centr´e et tout k >0 il existe une constanteC >0, qui

pour tout s ≥ T, o`u T d´enote le temps de d´ecorr´elation du champ V. On prouve aussi que pour toutY ∈L²(Ω,V−∞,0,P) centr´e et tout k >0 il existe une constanteC >0, qui

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