Ce paragraphe ne contient pas de r´esultats pr´ecis mais pr´esente simplement quelques r´egularit´es du comportement de discr´etisations, remarqu´ees en cours de simulations num´eriques.
Diff´eomorphismes diophantiens. On commence par le cas d’un diff´eomorphisme irra-tionnelf ∈Diff+r,R\Q(S1), dont le nombre de rotation v´erifie une condition diophantienne de type (C, ε). Le Th´eor`eme 1.8.1 affirme qu’il existe une constante K > 0, telle que qN(f) ≥ KN2+ε1 , pour tout N ∈ N. Les exp´eriences num´eriques effectu´es sugg`erent que c’est exactement l’ordre de croissance de la suite (qN)N∈N. On propose la conjecture sui-vante :
Conjecture 1.10.1 Soit ε > 0 fix´e et soit 3 ≤ r ≤ ω. Les propri´et´es suivantes sont Cr-pr´evalentes dans des familles de diff´eomorphismes irrationnels :
• qN(f) - TN(f) - N2+ε1 , ce qui est l’ordre de croissance minimal pr´evu par le Th´eor`eme 1.8.1 ;
• rN(f) ≤C, o`u C >0 est une constante qui ne d´epend pas de N ∈N et rN d´esigne le nombre de cycles p´eriodiques de l’application discr`etefN.
On a d´ej`a vu dans le paragraphe 1.8 qu’une discr´etisation uniforme du diff´eomorphisme f peut ˆetre consid´er´ee comme une discr´etisation de la rotation Rα sur un ensemble ENh non uniform´ement distribu´e sur S1. On sait par ailleurs (cf. par exemple [44] et [27]) que si l’on demande qu’une orbiteO(x) de la rotation diophantienneRα soit 1/N-s´epar´ee sur S1, sa longueur maximale sera d’ordre N2+ε1 quandN tend vers l’infini, c’est-`a-dire
max{k≥1 : min
i-=j,1≤i,j≤k|Riα(x)−Rjα(x)|> N1} -N2+ε1 . (1.21) Dans ce contexte, la conjecture dit que si le diff´eomorphisme h qui d´eforme l’ensemble de discr´etisation est assez r´egulier et n’est pas trop particulier, alors le comportement des discr´etisations (Rα)hN refl`ete celui de la rotation elle-mˆeme. Notamment, si on supposait que toute orbite discr´etis´ee OhN(x), x ∈EhN, restait ˜C/N-proche de la vraie orbite O(x) pendant suffisamment longtemps ( ˜C >0 une constante ne d´ependant pas deN), on aurait l’analogue de l’estimation (1.21) pour l’application discr`ete (Rα)hN. Ceci, en se r´ef´erant au Th´eor`eme 1.8.1, impliquerait la premi`ere affirmation de la conjecture. Pour justifier la deuxi`eme, on remarque que (1.21) implique aussi que toute orbite de longueur d’ordreN2+ε1 contient deux points dont la distance sur le cercle est born´ee par C/N, o`u la constante C >0 ne d´epend pas de N.
Mais il existe des diff´eomorphismes h pour lesquels les affirmations de la conjecture sont fausses. Il suffit de reprendre l’exemple de la discr´etisation uniforme d’une rotation irrationnelle ´etudi´e dans le paragraphe 3 (ici h = id). On peut peut-ˆetre expliquer cette diff´erence de comportement par le fait qu’une orbite discr´etis´ee non uniform´ementONh(x) approche en g´en´eral mieux la vraie orbiteO(x) deRα qu’une orbite ON(x) correspondant
`a une discr´etisation uniforme. Dans le cas uniforme on a : (Rα)N(x)−Rα(x) = Ent[N α+12]
N −α= ∆N,
ind´ependamment de x ∈ EN. Ceci implique qu’`a chaque it´eration la distance entre les Rα-it´er´es et (Rα)N-it´er´es augmente du mˆeme facteur |∆N|. Cependant, dans le cas d’une discr´etisation non uniforme, on peut esp´erer que les diff´erences apparaissant `a chaque
1 2 3 4 5 6 7 8 x 105 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2x 104
Nombre de points
Temps de stabilisation
1 2 3 4 5 6 7 8
x 105 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Nombre de points
Temps de stabilisation / longueur des cycles
Figure 1.7. Comportement du temps de stabilisation des discr´etisations du diff´eomorphisme f qui est conjugu´e `a la rotation R√2/2 par h(x) = (2 sint)−1sin(2tx− t) + 1/2 avec t = 1.42. On constate en outre que le nombre de cycles p´eriodiques des discr´etisations est toujours inf´erieur ou ´egal `a 3 et que pour plus de 94% des discr´etisations on a un seul cycle p´eriodique.
it´eration vont se compenser tout au long de la trajectoire, de sorte que les orbitesONh(x) etO(x) restent proches l’une de l’autre.
La condition la plus naturelle `a laquelle on pourrait penser dans ce cas, est que
Nlim→∞
/N
k=1
(f(k/N)−fN(k/N)) = 0,
c’est-`a-dire que sous l’action def l’ensembleEN est asymptotiquement d´eplac´e autant `a droite qu’`a gauche par rapport `a lui-mˆeme. En un certain sens il faut donc s’assurer qu’il n’y a pas de d´ependance entre la dynamique de l’hom´eomorphisme f et la structure tr`es r´eguli`ere de l’ensemble EN.
On pourrait aussi se reporter au paragraphe 2.2 du chapitre suivant, pour comparer le comportement de la suite des discr´etisations de diff´eomorphismes diophantiens avec cer-tains aspects de la th´eorie des applications al´eatoires des ensembles finis. Notamment, le paragraphe 2.3, et le Th´eor`eme 2.3.1 en particulier, sugg`ere que la dynamique diophan-tienne peut ˆetre interpr´et´ee comme “asymptotiquement al´eatoire”.
Hom´eomorphismes lin´eaires par morceaux. Au cours de mon travail, j’ai effectu´e aussi une ´etude num´erique des discr´etisations d’hom´eomorphismes irrationnels conjugu´es
`a la rotation correspondante par un hom´eomorphisme lin´eaire par morceaux. Ceci revient
`a ´etudier des discr´etisations de la rotation elle-mˆeme, mais sur l’ensemble de discr´etisation
“uniforme par morceaux”. Soit f = h−1 ◦Rα ◦h, o`u h ∈ Homeo+(S1) est lin´eaire par morceaux. Notons aussi L > 1 la constante de Lipschitz d’hom´eomorphisme h. On re-marque que la partie la plus signifiante du point de vue de la discr´etisation (celle o`u la perte de points sous l’action (Rα)hN est la plus importante) de l’ensemble ENh = h(EN) est constitu´ee d’intervalles de longueur L/N. Ceci se refl`ete dans le comportement de la suite (Rα)hN, N ∈N. Notamment, on trouve des sous-suites (Ni) telles que rNi(f) =k et
qNi(f)rNi(f)6N/L. Ceci est une analogie du fait, que dans le cas d’une rotation
irration-1 1.5 2 2.5 3 3.5
x 105 0
0.5 1 1.5 2 2.5
3x 105
Nombre de points
Longueur des cycles
1 1.5 2 2.5 3 3.5
x 105 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Nombre de points
Longueuer de cycles / Nombre de points
Figure 1.8. D´ependance de la longueur des cycles p´eriodiques en le param`etre de discr´etisation dans le cas d’un hom´eomorphisme lin´eaire par morceaux.
nelle on aqN(Rα)rN(Rα) =N pour toutN ∈N, mais la suite des entiers ´etant remplac´ee par (N/L)N∈N. On remarque aussi que le temps de stabilisation semble ˆetre major´e par une constante, ce qui fait penser `a la propri´et´eTN(Rα) = 1 pour toutN ∈N. On pourrait donc s’attendre `a ce qu’un analogue du Th´eor`eme 1.4.1 soit vrai pour les sous-suites de discr´etisations v´erifiant qNirNi 6 N/L. Ce qui est encore plus surprenant, c’est que les distributions asymptotiques de la suite (rN)N∈N pr´evues par le Th´eor`eme 1.4.1 semblent ˆetre vraies pour le suite enti`ere correspondante `a l’hom´eomorphismef (cf. le Tableau 1.9 ci-dessous).
Conjecture 1.10.2 Soit h∈Homeo+(S1) un hom´eomorphisme lin´eaire par morceaux et α∈R\Q. Alors la suite (rN)N∈N de nombres de cycles p´eriodiques de discr´etisations de l’hom´eomorphisme f =h−1◦Rα◦h v´erifie
N→∞lim
#{M ≤N :rM =c}
N = 6
π2c2, pour tout c∈N.
Rappelons que la preuve du Th´eor`eme 1.4.1 est fortement bas´ee sur le fait que rN(Rα) divise N pour tout N ∈ N. Ceci n’est plus vrai dans notre cas. On remarque aussi la diff´erence entre ce cas et celui de la conjuguaison lisse qui, dans le cas diophantien, cor-respond plutˆot `a la Conjecture 1.10.1.
k RotationRα f =h−1◦Rα◦h, f =h−1◦Rα◦h, h lin´eaire par morceaux hlisse
1 0.607927 0.661710 0.938650
2 0.151981 0.163568 0.058895
3 0.067547 0.066914 0.002453
4 0.037995 0.185873 0
5 0.024317 0.022304 0
Tableau 1.9. Les proportions des discr´etisations admettant k cycles p´eriodiques. La premi`ere colonne correspond aux valeurs th´eoriques associ´ees `a une rotation irration-nelle (Th´eor`eme 1.4.1). La deuxi`eme colonne - valeurs empiriques “typiques” dans le cas d’un hom´eomorphisme conjugu´e `a une rotation irrationnelle diophantienne par un hom´eomorphisme lin´eaire par morceaux. La troisi`eme - valeurs empiriques dans le cas de la conjugaison lisse.