Feuille d’exercices 4

UNIVERSIT´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ee 2007/2008

MIME 22.4 LM 125

Feuille d’exercices 4

Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels

Exercice 1 On note F l’espace vectoriel sur R des applications de R dans R . Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de F ?

a) L’ensembles des fonctions impaires. Celui des fonction paires.

b) L’ensemble des fonctions telles que f (0) = 1.

c) L’ensemble des fonctions telles que f (1) = 0.

d) L’ensemble des fonctions nulles en 1 ou en 2.

e) L’ensemble des fonctions sur R nulles en 1 et en 2.

f ) L’ensemble des fonctions qui peuvent se d´ecomposer en somme d’une fonction nulle en 1 et d’une fonction nulle en 2. Quel est cet ensemble ?

g) L’ensemble des fonctions polynˆ omes ne comportant pas de terme de degr´e 7.

h) L’ensemble des fonctions polynˆ omes de degr´e exactement 7.

i) L’ensemble des fonctions croissantes.

j) L’ensemble des fonctions monotones.

k) L’ensemble des fonctions continues.

l) L’ensemble des fonctions p´eriodiques de p´eriode 1.

m) L’ensemble des fonctions p´eriodiques.

Exercice 2 Montrer que le K-espace vectoriel K n’admet pas d’autre sous- espace vectoriel que {0} et K.

Exercice 3 Quels sont les sous-espaces vectoriels de C vu comme C -espace vectoriel puis comme R -espace vectoriel ?

Exercice 4 D´eterminer si R

, muni des lois internes et externes suivantes, est ou n’est pas un R -espace vectoriel :

1. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (a, λb), λ ∈ R.

2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (λ

a, λ

b), λ ∈ R . 3. (a, b) + (c, d) = (c, d); λ(a, b) = (λa, λb), λ ∈ R .

Exercice 5 Les sous-ensembles

A = {(x, y ) ∈ R

: y = x}, B = {(x, y) ∈ R

: y = x

} et

C = {(x, y) ∈ R

: y ≥ x}

de R

sont-ils des sous-espaces vectoriels sur R ?

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Exercice 6 Montrer que l’ensemble des polynˆ omes P ∈ R[X ] solutions de l’´equation diff´erentielle

5P − (X − 1)P

= 0 est un sous-espace vectoriel de R[X].

Exercice 7 Soit E un espace vectoriel (sur un corps K), F un sous-espace vec- toriel de E distinct de E. On note F

= {a ∈ E, a / ∈ F} son compl´ementaire dans E.

(i) Montrer que F

n’est pas un sous-espace vectoriel de E.

(ii) Montrer que si x ∈ F et a ∈ F

, alors x + a ∈ F

.

(iii) En d´eduire que le sous-espace V ect(F

) engendr´e par F

est ´egal ` a E.

Exercice 8 Soit E un C -espace vectoriel. On d´efinit sur E une nouvelle loi de composition externe, not´ee ∗, par :

(∀(λ, x) ∈ C × E) λ ∗ x = λx Montrer que (E, +, ∗) est encore un C -espace vectoriel.

Exercice 9 Soit E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E distinct de E, tels que F ne soit pas inclus dans G ni G dans F. Montrer que F ∪ G n’est pas un sous-espace vectoriel de E. (Ce qui peut encore s’´ecrire : si F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E, alors F ⊂ G ou G ⊂ F )

Exercice 10 Soient E, F, G trois s.e.v. de H v´erifiant : F ⊂ G, E ∩ F = E ∩ G et E + F = E + G. Montrer que F = G.

Exercice 11 Soit ϕ : R → R . On dira que ϕ est de signe constant si ϕ( R ) ⊂ R

ou ϕ( R ) ⊂ R

. D´eterminer tous les sous-espaces vectoriels des fonctions de R dans R dont tous les ´el´ements sont de signe constant.

Exercice 12 On d´esigne par E l’espace des applications g de R dans R que l’on peut ´ecrire sous la forme

g : x 7→ a cos(2x) + b cos(x) + c, avec a, b et c dans R.

1. Montrer que E est un espace vectoriel sur R .

2. Soient f et k d´efinies par f (x) = sin

x et k(x) = cos

x + sin

(x/2). Les fonctions f et k appartiennent-elles ` a E ? Quel est le sous-espace engendr´e par f ?

3. Montrer que l’espace

{a cos

x + b sin

(x/2) : a, b ∈ R }

est un sous-espace de E. Quel est son intersection avec Vect(f ) ?

Exercice 13 Dans le R -espace vectoriel D = {f ∈ F ( R , R ), f d´erivable et f ’ continue}, on consid`ere F = {f ∈ D, f

(0) = f (0) = 0}.

(i) V´erifier que c’est un sous-espace vectoriel de D

(ii) Soient f

: x 7−→ 1 et f

= Id. Montrer que f

et f

sont lin´eairement ind´ependants, i.e. ∄λ ∈ R, f

= λf

ou f

= λf

.

(iii) Montrer que F + V ect(f

, f

) = D. La somme est-elle directe ?

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