UNIVERSIT ´E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ee 2007/2008
MIME 23-24 LM 125
Feuille d’exercices 2
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Exercice 1 On note F l’espace vectoriel sur Rdes applications de R dansR. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de F?
a) L’ensembles des fonctions impaires. Celui des fonction paires.
b) L’ensemble des fonctions telles quef(0) = 1.
c) L’ensemble des fonctions telles quef(1) = 0.
d) L’ensemble des fonctions nulles en 1 ou en 2.
e) L’ensemble des fonctions surRnulles en 1 et en 2.
f ) L’ensemble des fonctions qui peuvent se d´ecomposer en somme d’une fonction nulle en 1 et d’une fonction nulle en 2. Quel est cet ensemble ?
g) L’ensemble des fonctions polynˆomes ne comportant pas de terme de degr´e 7.
h) L’ensemble des fonctions polynˆomes de degr´e exactement 7.
i) L’ensemble des fonctions croissantes.
j) L’ensemble des fonctions monotones.
k) L’ensemble des fonctions continues.
l) L’ensemble des fonctions p´eriodiques de p´eriode 1.
m) L’ensemble des fonctions p´eriodiques.
Exercice 2 Montrer que le K-espace vectoriel K n’admet pas d’autre sous- espace vectoriel que {0} etK.
Exercice 3 Quels sont les sous-espaces vectoriels de C vu comme C-espace vectoriel puis comme R-espace vectoriel ?
Exercice 4 D´eterminer siR2, muni des lois internes et externes suivantes, est ou n’est pas un R-espace vectoriel :
1. (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d);λ(a, b) = (a, λb), λ∈R. 2. (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d);λ(a, b) = (λ2a, λ2b), λ∈R. 3. (a, b) + (c, d) = (c, d);λ(a, b) = (λa, λb), λ∈R.
Exercice 5 Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des sous-espaces vec- toriels ? Le cas ´ech´eant, pr´eciser par quel(s) ´el´ement(s) ils sont engendr´e(s).
{(x, y, z)∈R3, x+y= 0} {(x, y, z)∈R3, xy= 0}
{(x, y)∈R2, x2+xy≥0} {(x, y, z)∈R3, x= 1}
{(x, y, z)∈R3/x+y+z= 0 et2x−y+ 3z= 0}
Exercice 6 Montrer que l’ensemble des polynˆomes P ∈ R[X] solutions de l’´equation diff´erentielle
5P−(X−1)P0 = 0 est un sous-espace vectoriel de R[X].
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Exercice 7 Soit E un espace vectoriel (sur un corps K), F un sous-espace vec- toriel de E distinct de E. On note Fc ={a ∈E, a /∈ F} son compl´ementaire dans E.
(i) Montrer que Fc n’est pas un sous-espace vectoriel de E.
(ii) Montrer que si x∈F et a∈Fc, alorsx+a∈Fc.
(iii) En d´eduire que le sous-espaceV ect(Fc)engendr´e parFc est ´egal `a E.
Exercice 8 Soit E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E distinct de E, tels queF ne soit pas inclus dans GniGdansF. Montrer que F∪Gn’est pas un sous-espace vectoriel de E. (Ce qui peut encore s’´ecrire : si F∪G est un sous-espace vectoriel de E, alorsF ⊂G ouG⊂F)
Exercice 9 Soient E, F, G trois s.e.v. de H v´erifiant :F ⊂G,E∩F =E∩G etE+F=E+G. Montrer que F = G.
Exercice 10 Soit E unC-espace vectoriel. On d´efinit sur E une nouvelle loi de composition externe, not´ee ∗, par :
(∀(λ, x)∈C×E)λ∗x=λx Montrer que (E, +,∗) est encore unC-espace vectoriel.
Exercice 11 Soitϕ:R→R. On dira queϕest de signe constant siϕ(R)⊂R+ ou ϕ(R)⊂R−. D´eterminer tous les sous-espaces vectoriels des fonctions deR dansRdont tous les ´el´ements sont de signe constant.
Exercice 12 Dans leR-espace vectorielD={f ∈ F(R,R), f d´erivable et f ’ continue}, on consid`ere F ={f ∈ D, f0(0) =f(0) = 0}.
(i) V´erifier que c’est un sous-espace vectoriel de D
(ii) Soient f1 : x 7−→ 1 et f2 = Id. Montrer que f1 et f2 sont lin´eairement ind´ependants, i.e. @λ∈R, f1=λf2 ouf2=λf1.
(iii) Montrer queF+V ect(f1, f2) =D. La somme est-elle directe ?
Applications lin´eaires
Exercice 13 Les applications suivantes sont-elles des applications lin´eaires ? f1 R−→R
x7−→2x2 , f2 R−→R
x7−→√ x2 , f3 R2−→R
(x, y)7−→4x+ 3y , f4 R2−→R x7−→2xy f5
R3−→R
→
X7−→X .→
→
A, o`u →A= (1,−2,3).
f6 R2−→R2
(x, y)7−→le sym´etrique de (x,y) par rapport `a∆ d’´equationx+y−a= 0 f6 D −→R
u7−→u0(12) +R1 0 u(t)dt f7 R2−→R2
(x, y)7−→(2x+y, ax−y)
Calculer l’image et le noyau de f5 et f7. En d´eduire si ces applications sont injectives, surjectives, bijectives.
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Exercice 14 Les applications deCdansCf :z7→zetg:z7→ Re(z)sont-elles des endomorphismes dans le R-espace vectoriel C? Dans le C-espace vectoriel C?
Exercice 15 Soitpunprojecteurc’est-`a-dire une application lin´eairep:Rm→ Rm telle que
p◦p=p.
a) Montrer que Ker p⊕ Imp=Rm.
b) Montrer queId−pest aussi un projecteur.
c) Montrer Ker p=Im(Id−p) et queKer(Id−p) =Imp.
d) Soient pet qdeux applications lin´eaires v´erifiant les relations : p+q=Id etp◦q=q◦p= 0
Montrer que Ker p⊕ Ker q=Imp⊕ Imq=Rm.
Exercice 16 Soit f une application lin´eaire de Rn dans Rn. Montrer que les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
(i)Ker f⊕ Imf. (ii) Imf2=Imf. (iii) Ker f2=Imf
Exercice 17 ”Lemme des cinq” (Difficile)
On consid`ere les dix espaces vectoriels et les treize applications lin´eaires suivants :
E1
−→α E2
−→β E3
−→γ E4
−→δ E5
↓f1 ↓f2 ↓f3 ↓f4 ↓f5
E1 α0
−→ E2 β0
−→ E3 γ0
−→ E4 δ0
−→ E5
tels que :
• Imα=Ker β,Imβ=Ker γ etImγ=Ker δ
• Imα0=Ker β0,Imβ0 =Ker γ0 etImγ0=Ker δ0
•f1, f2, f4, etf5 sont des isomorphismes.
”Le diagramme commute”, i.e.f2◦α=α0◦f2,β0◦f2=f3◦β,γ0◦f3=f4◦γ etf5◦δ=δ0◦f4.
Montrer quef3 est lui-aussi un isomorphisme.
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