8.1.1 Equations lin´ ´ eaires d’ordre 1

CHAPITRE 8

Equations diff´ ´ erentielles

8.1 Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires

Les applications consid´er´ees dans cette section sont d´efinies sur un intervalle I de R et `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e F de dimension finie n sur R ou C .

8.1.1 Equations lin´ ´ eaires d’ordre 1

a) Compl´ ements de calcul int´ egral

Proposition 8.1.1 . Soit f ∈ CM ([a, b], F ), on pose R

(f ) = b − a n

P

f(x

) o` u x

= a + k b − a

n . La suite R

(f) admet une limite quand n → + ∞ . D´em : Soit (e

, . . . , e

) une base de F et f = P

i=1

f

e

.

• f

∈ CM ([a, b], K ) donc les sommes de Riemann des f

convergent vers leur int´egrale :

n→+∞

lim R

(f

) = Z

a

f

(t) dt.

Par lin´earit´e, on a alors

R

(f ) = b − a n

X

k=1

X

i=1

f

(x

)e

!

= X

i=1

b − a n

X

k=1

f

(x

)

! e

= X

i=1

R

(f

)e

donc la suite (R

(f)) converge vers P

R

a

f

(t) dt e

D´ efinition 8.1.1. Int´ egrale des fonctions de CM ([a, b], F ) On appelle int´egrale de f sur [a, b] la quantit´e not´e

Z

f (t) dt = lim

n→+∞

R

(f).

415

Remarque 8.1.1.

(i) La d´efinition de Z

a

f (t) dt ne d´epend pas de la base (e

) que l’on a choisie dans la proposition pr´ec´edente.

D´em : C’est une cons´equence de l’unicit´e de la limite. En effet, on vient de prouver que la suite (R

(f )) avait une limite dans l’espace vectoriel F donc R

a

f (t) dt ne d´epend pas de la base choisie pour la calculer

(ii) On a les propri´et´es de l’int´egrale des fonctions complexes : lin´earit´e, Chasles, ( R

a

f(t) dt)

= f(x), u R

a

f(t) dt

= R

a

u(f (t)) dt (u application lin´eaire).

D´em : Il suffit d’utiliser la formule R

a

f (t) dt = P

R

a

f

(t) dt

e

. Les trois premi`eres propri´et´es cit´ees d´ecoulent imm´ediatement de cette relation.

De mˆeme, si u est une application lin´eaire alors

u Z

a

f(t) dt

= u X

i=1

Z

f

(t) dt.e

!

= X

i=1

Z

f

(t) dt

u(e

)

= Z

a

u X

i=1

f

(t)e

! dt =

Z

u(f (t)) dt

Question

Montrer que, pour f ∈ CM ([a, b], F ),

Z

f (t) dt

Z

a

k f(t) k dt pour a < b.

b) D´ efinitions, th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz D´ efinition 8.1.2. Equation lin´ ´ eaire d’ordre 1

On appelle ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1 (synonyme ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre) toute ´equation qui s’´ecrira sous la forme

(1) x

(t) = a(t)(x(t)) + b(t) = a(t).x(t) + b(t)

o` u a d´esigne une application continue de I dans L (F ) et b une application continue de I dans F , a(t).x ´etant une notation simplifi´ee correspondant `a l’image du vecteur x(t) de F par l’application lin´eaire a(t).

On appelle solution de cette ´equation toute fonction x de classe C

sur I v´erifiant x

(t) = a(t).x(t) + b(t) pour tout t de I (mˆeme notation que ci-dessus).

Remarque 8.1.2.

(i) On ´ecrit souvent x

= a(t).x + b(t) `a la place de (1) (moins de parenth`eses).

(ii) Traduction matricielle Si on prend une base de F et si on note A(t) la matrice de l’application lin´eaire a(t), B(t) la matrice unicolonne de b(t) et X celle de x alors l’´equation diff´erentielle s’´ecrit :

(2) X

= A(t).X + B(t).

(iii) Traduction en syst` emes d’´ equations diff´ erentielles scalaires On reprend le pr´ec´edent syst`eme et on ´ecrit le syst`eme d´evelopp´e :

(3)



 

 

x

= a

(t)x

+ · · · + a

(t)x

+ b

(t) . . . .

x

= a

(t)x

+ · · · + a

(t)x

+ b

(t)

(iv) On peut ramener un syst`eme lin´eaire d’ordre p `a un syst`eme lin´eaire du pre- mier ordre :

Si y

+a

y

+ · · · +a

y = b est une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre p, on peut la ramener `a un syst`eme lin´eaire du premier ordre en posant x

= y, x

= y

,...,x

= y

, on aura alors (dans le cas d’une ´equation scalaire)

X

=



 

 

0 1 0

.. . . .. ...

0 . . . 0 1

− a

. . . . − a



 

  X +



 

  0 .. . 0 b



 

 

D´em : On a X =



 

  y y

...

y



 

 

or la premi`ere ligne de la matrice s’´ecrit y

= y

, il en va de mˆeme des autres `a l’exception de la derni`ere qui s’´ecrit

y

= − a

y − · · · − a

y

+ b

D´ efinition 8.1.3. Probl` eme de Cauchy, conditions initiales

Soit x

= a(t).x + b(t) une ´equation diff´erentielle lin´eaire, on appelle probl`eme de Cauchy aux conditions initiales (t

, x

) ∈ I × F le probl`eme suivant :

trouver une solution v´erifiant la condition initiale x(t

) = x

pour un t

∈ I.

Remarque 8.1.3. Il existe d’autres conditions pour une ´equation diff´erentielle que les conditions initiales, notamment les conditions aux limites.

Th´ eor` eme 8.1. Th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz lin´ eaire

Pour tout probl`eme de Cauchy (i.e. pour toute condition initiale (t

, x

) ∈ I × F ) il existe une solution et une seule `a l’´equation diff´erentielle (1).

D´em : (Non exigible)

On va utiliser la convergence normale d’une s´erie de fonctions d´efinie sur un segment J ⊂ I. Comme il n’est pas facile de raisonner avec les fonctions d´eriv´ees, on remplace l’´equation diff´erentielle par une ´equation int´egrale :

x solution de (1), x(t

) = x

⇔ x(t) = x

+ R

t0

(a(s).x(s) + b(s)) ds.

Montrons cette ´equivalence :

( ⇒ ) On a x

(s) = a(s).x(s) + b(s) pour tout s ∈ I d’o` u, en int´egrant de t

`a t, on obtient Z

t0

x

(s) ds = x(t) − x(t

) = Z

t0

(a(s).x(s) + b(s)) ds.

( ⇐ ) Si x(t) = x

+ R

t0

(a(s).x(s) + b(s)) ds alors x est d´erivable grˆace au th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel et x

(t) = a(t).x(t) + b(t). Si t = t

alors x(t

) = x

.

Existence : On pose E = C (I, F ), soit G : x ∈ E 7→ G(x) ∈ E d´efini par G(x)(t) = x

+

Z

(a(s).x(s) + b(s)) ds.

Compte tenu de l’´equivalence montr´ee en pr´eambule, il suffit de trouver un point fixe de G pour obtenir l’existence d’une solution.

Montrons par r´ecurrence que

(I) ∀ (x, y) ∈ E

, k G

(x)(t) − G

(y)(t) k

K

(M

| t − t

| )

n!

o` u K

= sup

s∈[t0,t]

k x(s) − y(s) k , M

= sup

s∈[t0,t]

k a(s) k et G

d´esigne l’it´er´e d’ordre n de G. On d´emontre que l’in´egalit´e (I) est r´ealis´ee pour tout u ∈ [t

, t] :

• Supposons dans un premier temps que t

t

, soit u ∈ [t

, t] alors k G(x)(u) − G(y)(u) k =

Z

a(s).x(s) ds − Z

t0

a(s).y(s) ds

=

Z

a(s).(x(s) − y(s)) ds

par lin´earit´e de a(s) 6

Z

k a(s).(x(s) − y(s)) k ds 6 Z

t0

k a(s) k . k x(s) − y(s) k ds on utilise l’in´egalit´e k a(s)(x(s) − y(s)) k

k a(s) k . k x(s) − y(s) k car a(s) est une application lin´eaire continue donc

k G(x)(u) − G(y)(u) k 6 (u − t

)M

K

car k a(s) k 6 M

6 M

par hypoth`ese et k x(s) − y(s) k 6 K

6 K

(les applications u 7→ M

et u 7→ K

sont croissantes car on prend la borne sup´erieure sur des ensembles croissants).

• Passage de l’ordre n `a l’ordre n + 1 : on proc`ede de la mˆeme mani`ere, on suppose que k G

(x)(u) − G

(y)(u) k

K

[M

(u − t

)]

n! , alors k G

(x)(u) − G

(y)(u) k =

Z

a(s).[G

(x)(s) − G

(y)(s)] ds

6 Z

t0

k a(s) k . k G

(x)(s) − G

(y)(s) k ds 6

Z

M

K

[M

(s − t

)]

n! ds 6 K

M

Z

t0

(s − t

)

n! ds 6 K

[M

(u − t

)]

(n + 1)!

car une primitive de (s − t

)

est (s − t

)

n + 1 (surtout ne pas d´evelopper !).

Ceci termine la r´ecurrence en rempla¸cant u par t.

• Pour t < t

, c’est la mˆeme chose mais il faut g´erer les valeurs absolues dans l’in´egalit´e :

k G

(x)(u) − G

(y)(u) k 6

Z

k a(s) k . k G

(x)(s) − G

(y)(s) k ds

6 K

M

Z

(s − t

)

n! ds

6 K

[M

| u − t

| ]

(n + 1)!

On pose ensuite x

= G

(x

) et en notant x

la fonction constante ´egale `a x

, on a alors

k x

(t) − x

(t) k = k G

(x

)(t) − G

(x

)(t) k 6 K

(M

| t − t

| )

n!

en appliquant (I) `a x = x

et y = x

(ici K

= sup

s∈[t⁰,t]

k x

s) − x

k ).

Soit J = [a, b] ⊂ I un segment alors sup

t∈[a,b]

k x

(t) − x

(t) k 6 K

(M

l)

n!

o` u K

= max(K

, K

), M

= max(M

, M

) et l = max( | a − t

| , | b − t

| ). Par le crit`ere de d’Alembert, la s´erie P

K

(M

l)

n! converge, on en d´eduit que

• la s´erie x

+

P

(x

− x

) converge normalement sur tout segment J de I.

• Comme C (J, F ) est un espace de Banach, sa somme x est bien d´efinie (on a convergence simple) et continue sur J (cf. th´eor`eme 5.50 page 329 ´etendu au cas des fonctions `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e de dimension finie).

• x est donc continue sur tout segment J ⊂ I donc x ∈ C (I, F ).

• x

=

n−1

P

p=0

(x

− x

) + x

donc x

−−→

x et a.x

−−→

a.x car k a(s).(x(s) − x

(s)) k 6 k a(s) k . k x(s) − x

(s) k 6 M

sup

s∈J

k x(s) − x

(s) k .

• Pour J = [t

, t], comme on a convergence uniforme de (a.x

) vers a.x, on peut passer `a la limite dans l’´egalit´e

x

(t) = x

+ Z

t0

(a(s).x

(s) + b(s)) ds pour obtenir x(t) = x

+

Z

(a(s).x(s) + b(s)) ds.

Conclusion x v´erifie (1) avec la condition initiale x(t

) = x

.

Unicit´e : Soit x et y deux solutions alors x = G(x) = G

(x) (r´ecurrence imm´ediate) pour tout n, de mˆeme pour y.

On applique l’in´egalit´e (I), on a k x(t) − y(t) k

K

(M

| t − t

| )

n! pour tout n. En prenant la limite quand n → + ∞ , x(t) = y(t) pour tout t ∈ I i.e. x = y

c) Etude de la r´ ´ esolution

Th´ eor` eme 8.2. Equation homog` ´ ene Les solutions sur I de l’´equation

(4) x

= a(t).x

constituent un sous-espace vectoriel E de C

(I, F ). En outre, ´etant donn´e un

´el´ement t

de I , l’application ϕ qui `a tout ´el´ement x de E associe x(t

) est un isomorphisme de E sur F .

En particulier, la dimension de E est ´egale `a n = dim F .

D´em : E sous-espace vectoriel de C

(I, F ) est une cons´equence imm´ediate de la lin´earit´e des applications a(t).

On pose ϕ : x ∈ E 7→ x(t

) ∈ F et ψ : x

∈ F 7→ x ∈ E , x(t

) = x

. ψ est d´efinie grˆace au th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz et c’est l’inverse de ϕ :

• ϕ est une application lin´eaire de E dans F (imm´ediat).

• On sait, grˆace au th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz lin´eaire que, t

∈ I ´etant donn´e, il existe une unique solution de (4) x v´erifiant x(t

) = x

donc ψ est bien d´efinie, la lin´earit´e de ψ ´etant elle aussi imm´ediate.

• On a alors ϕ(ψ(x

)) = ϕ(x) = x(t

) = x

pour tout x

∈ F soit ϕ ◦ ψ = Id

.

• ψ(ϕ(x)) = ψ(x(t

)) = x car si y est une solution de (4) qui v´erifie y(t

) = x(t

) alors x = y (l’unicit´e de la solution d’une ´equation diff´erentielle joue un grand rˆole ici, rˆole que l’on retrouvera souvent par la suite) donc ψ ◦ ϕ = Id

. On a ainsi prouv´e que ϕ ´etait un isomorphisme et dim E = dim ϕ(E) = dim F Lemme 8.3. x

, . . . , x

d´esignant p solutions de (4), si λ

x

(t

) + · · · + λ

x

(t

) = 0 pour un t

de I alors λ

x

(t) + · · · + λ

x

(t) = 0 pour tout t de I.

D´em : 0 est solution de (4), on utilise alors l’unicit´e :

on pose x = λ

x

+ · · · + λ

x

, par lin´earit´e, x est solution de (4) et x(t

) = 0. On a donc ϕ(x) = 0 donc ψ(ϕ(x)) = x = 0 (en utilisant les d´etails de la d´emonstration pr´ec´edente

Th´ eor` eme 8.4 . Wronskien

Si x

, x

,...,x

d´esignent n solutions de (4) telles que det(x

(t

)) 6 = 0, alors det(x

(t)) 6 = 0 pour tout t de I (o` u le d´eterminant des x

est pris dans une base de F ). Ce d´eterminant est appel´e wronskien.

Toutes les solutions de (4) s’´ecrivent x(t) = P

λ

x

(t).

D´em : Par contrapos´ee en utilisant le lemme 8.3, ensuite la famille des (x

) est une

famille libre de n vecteurs dans un espace de dimension n, c’est une base :

• S’il existe t

∈ I tel que det(x

(t

)) = 0 (c’est la n´egation de la conclusion) alors cela signifie que les vecteurs (x

(t

), . . . , x

(t

)) sont li´es. Il existe des λ

non tous nuls tels que λ

x

(t

) + · · · + λ

x

(t

) = 0. Il suffit d’appliquer le lemme pr´ec´edent, on en d´eduit que λ

x

(t) + · · · + λ

x

(t) = 0 pour tout t ∈ I, en particulier pour t = t

. On obtient ainsi det(x

(t

)) = 0.

• Soit x une solution de (4), la famille (x

(t

)) est libre et contient n ´el´ements, c’est donc une base de F , on peut alors exprimer x(t

) dans cette base :

x(t

) = λ

x

(t

) + · · · + λ

x

(t

).

On utilise encore le lemme avec λ

x

+ · · · + λ

x

− x. Comme cette solution de (4) s’annule en t

, elle s’annule sur tout I donc x =

P

λ

x

D´ efinition 8.1.4. Syst` eme fondamental de solutions

Les x

forment alors ce qu’on appelle un syst`eme fondamental de solutions.

Application : M´ ethode de variation des constantes

Si on connaˆıt un syst`eme fondamental de solutions de (4), on va chercher une solution particuli`ere de (1) sous la forme :

x(t) = λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) + · · · + λ

(t)x

(t). On trouvera alors la condition b(t) = λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) + · · · + λ

(t)x

(t) i.e.



 

 

b

(t) = λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) + · · · λ

(t)x

(t) . . . . b

(t) = λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) + · · · λ

(t)x

(t)

Or, pour tout t, ce syst`eme est de Cramer, on pourra calculer les λ

et pour avoir une solution particuli`ere de (2), il suffira de les int´egrer.

D´em : On d´erive x(t) :

x

(t) = λ

(t)x

(t) + · · · + λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) + · · · + λ

(t)x

(t)

= λ

(t)(a(t).x

(t)) + · · · + λ

(t)(a(t).x

(t)) + λ

(t)x

(t) + · · · + λ

(t)x

(t)

= a(t) [λ

(t)x

(t) + · · · + λ

(t)x

(t)] + λ

(t)x

(t) + · · · + λ

(t)x

(t)

= a(t).x(t) + λ

(t)x

(t) + · · · + λ

(t)x

(t)

= a(t).x(t) + b(t)

d’o` u b(t) = λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) + · · · + λ

(t)x

(t).

Les formules de Cramer donnent

λ

(t) = det(b(t), x

(t), . . . , x

(t)) . . . = . . .

λ

(t) = det(x

(t), . . . , x

(t), b(t))

Il suffit en effet (!) d’int´egrer les λ

avec les formules que l’on vient de trouver. Ce

calcul nous fournit une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete. Cette m´ethode

est rarement utilis´ee telle qu’elle mais on la retrouvera cependant avec les ´equations

diff´erentielles lin´eaires du second ordre

Questions : (i) R´esoudre

( x

+ y = a(t)

y

− x = b(t) o` u a et b sont des fonctions continues sur R .

(ii) R´esoudre

( (t

+ 1)x

= tx + y + 2t

− 1 (t

+ 1)y

= − x + ty + 3t

(iii) R´esoudre

( (t + 1)x

= tx + y − t − 2 (t − 1)y

= − x + ty − 2t + 1

8.1.2 Equations lin´ ´ eaires ` a coefficients constants

On rappelle que, si a ∈ L (F ) alors exp(ta) est d´erivable, de d´eriv´ee a exp(ta) (cf.

th´eor`eme 5.60 page 338).

Proposition 8.1.2. On a exp(sa). exp(ta) = exp[(s + t)a].

D´em : Avec la th´eorie des ´equations diff´erentielles : on pose g(t) = e

e

. Le th´eor`eme cit´e ci-dessus nous dit que a commute avec e

d’o` u

g

(t) = e

( − a e

) + a e

e

= − a e

e

+a e

e

= 0 donc g est constante soit g(t) = g(0) = e

= e

e

.

Avec s = 0 on obtient g(t) = e

e

= e

= Id

donc e

= (e

)

.

On obtient le r´esultat en multipliant `a droite par e

la relation e

= e

e

. On peut d´eduire de ce r´esultat que e

et e

commutent

Th´ eor` eme 8.5. R´ esolution de l’´ equation homog` ene

L’unique solution sur R du probl`eme de Cauchy x

= a.x, x(t

) = x

o` u x

est un vecteur de F , est la fonction t 7→ exp[(t − t

)a].x

.

Les solutions correspondant aux conditions initiales (t

, x

), (t

+ s, x

) se d´eduisent l’une de l’autre par translation du param`etre s.

D´em :

• On a une d´emonstration directe, sans utiliser le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz.

En effet l’´equation x

= a.x est ´equivalente `a (exp( − ta).x(t))

= 0 : x

(t) = a.x(t) ⇔ exp( − ta)[x

(t) − ax(t)] = 0

⇔ exp( − ta)x

(t) − a exp( − ta)x(t) = 0

⇔ (exp( − ta).x(t))

= 0 donc exp( − ta).x(t) est constant et vaut exp( − t

a).x

.

On en d´eduit que x(t) = exp(ta) exp( − t

a).x

et, en utilisant la proposition

pr´ec´edente, que x(t) = exp[(t − t

)a].x

.

• Le deuxi`eme point est une cons´equence imm´ediate de la proposition pr´ec´edente :

Soient x et y les solutions correspondant respectivement aux conditions ini- tiales (t

, x

) et (t

+ s, x

), alors

x(t) = exp[(t − t

)a].x

et y(t) = exp[(t − t

− s)].x

donc y(t + s) = x(t) Remarque 8.1.4.

(i) Si on prend une base de F alors l’´equation s’´ecrit X

= A.X et tout le probl`eme se ram`ene `a calculer exp(tA).

Si A = P DP

o` u D = Diag(λ

) alors exp(tA) = P Diag(e

)P

. D´em : On a D

= Diag(λ

) (imm´ediat par r´ecurrence) d’o` u

exp(tD) = lim

p→+∞

X

k=0

t

D

k! = lim

p→+∞

X

k=0

Diag(t

λ

/k!)

= lim

p→+∞

Diag X

k=0

t

λ

/k!

!

= Diag lim

p→+∞

X

k=0

t

λ

/k!

!

= Diag(e

)

On utilise alors la formule exp(tA) = P exp(tD)P

qui s’obtient de la mani`ere suivante :

A

= P D

P

(r´ecurrence imm´ediate) puis exp(tA) = lim

p→+∞

X

k=0

t

k! A

= lim

p→+∞

P X

k=0

t

k! D

! P

et par continuit´e du produit matriciel

= P lim

p→+∞

X

k=0

(tD)

k!

! P

= P exp(tD)P

finalement, on arrive `a exp(tA) = P Diag(e

)P

(ii) Si A est nilpotent d’indice p (i.e. A

= 0), toutes les solutions de (1) sont polynomiales : exp(tA) = I

+ tA + · · · + t

(p − 1)! A

.

Si A − λI

est nilpotent alors X

= AX ⇔ Y

= (A − λI

)Y o` u Y = e

X et X = e

I

+ (A − λI

)t + · · · + (A − λI

)

(p − 1)! t

X

.

D´em : En effet exp(tA) =

P

t

k! A

or si k > p, A

= 0 donc cette somme est finie.

Si A − λI

est nilpotent : X

= AX alors

Y

= (e

X)

= − λ e

X + e

X

= [ − λI

+ A] e

X = (A − λI

)Y.

La r´eciproque est imm´ediate. On utilise alors le premier point pour conclure

(iii) Si X

est un vep de A associ´e `a la vap λ alors e

X

= e

X

o` u λ est un scalaire (il n’est pas n´ecessaire dans ce cas de calculer e

).

D´em : On sait que, si AX

= λX

alors A

X

= λ

X

(r´ecurrence imm´ediate) donc

e

X

=

+∞

X

k=0

t

k! A

! X

et par continuit´e du produit matriciel

= X

k=0

t

k! A

X

= X

k=0

t

k! λ

X

=

+∞

X

k=0

(λt)

k!

!

X

= e

X

(iv) Si on connaˆıt une base de vecteurs propres X

associ´es `a des valeurs propres λ

alors l’ensemble des solutions s’´ecrit

X = α

e

X

+ · · · + α

e

X

,

les (e

X

) forment un syst`eme fondamental de solutions (et on peut appliquer la m´ethode de variation des constantes pour trouver une solution de l’´equation non homog`ene).

D´em : Chaque fonction X

(t) = e

X

est solution et les vecteurs (X

(0)) forment une base donc le th´eor`eme 8.4 page 420 nous dit que les fonctions X

(t) r´ealisent un syst`eme fondamental de solutions

(v) Si la r´esolution de X

= AX pour des conditions initiales X(0) = X

quelcon- ques donne X(t) = B (t)X

alors B(t) = exp(tA). Par exemple si on revient au (ii) de la remarque alors on peut en d´eduire que exp(tA) = e

exp(t(A − λI

)).

D´em : On a d’une part X(t) = B (t)X

et d’autre part X(t) = e

X

donc B(t)X

= e

X

et ceci pour tout X

donc les matrices B (t) et e

sont ´egales.

Si on reprend le (ii) alors on a vu que X(t) = e

e

X

donc exp(tA) = e

exp(t(A − λI

))

(vi) Ce que l’on a fait avec une matrice unicolonne peut se g´en´eraliser au cas o` u X

est une matrice rectangulaire (ou carr´ee).

Th´ eor` eme 8.6 . Etude de l’´ ´ equation avec second membre

L’ensemble des solutions de l’´equation (1) x

= a.x + b(t) s’´ecrit sous la forme

x(t) = e

Z

t0

e

.b(u) du + e

.x

= Z

t0

e

.b(u) dt + e

.x

.

D´em : L’´equation (1) se met l`a aussi sous la forme ´equivalente e

.x

= e

.b(t).

En effet, x

(t) − a.x(t) = b(t) peut s’´ecrire de mani`ere ´equivalente sous la forme e

.x

(t) − e

a.x(t) = e

.b(t) (attention `a l’ordre des termes, bien mettre les matrices avant les vecteurs !). Or (e

.x(t))

= e

.x

(t) − e

a.x(t) d’o` u l’´equivalence annonc´ee.

Pour obtenir la formule annonc´ee, il suffit alors d’int´egrer cette derni`ere relation entre t

et t et de tenir compte de la condition initiale x(t

) = x

.

On remarque ensuite que, si f est une application lin´eaire, alors f ( R

t0

h(u) du) = R

t0

f (h(u)) du o` u h est une fonction vectorielle (cf remarque 8.1.1(ii) page 416). On peut donc finalement ´ecrire

x(t) = Z

t0

e

e

.b(u) du + e

.x

= Z

t0

e

.b(u) dt + e

.x

. en utilisant la propri´et´e 8.1.2 page 422

Remarque 8.1.5.

(i) Le th´eor`eme pr´ec´edent s’´ecrit X(t) = e

. R

t0

e

.B(u) du + e

.X

avec les matrices.

(ii) Si P

(λ) = ( − 1)

λ

+ · · · + a

est le polynˆome caract´eristique de la matrice A et si x

sont les coordonn´ees d’une solution X

= AX alors elles v´erifient P

(D)(x

) = 0 o` u D est l’op´erateur d´erivation.

D´em : En effet A

X = X

donc P

(D)(X) = P

(A)(X) et on utilise le th´eor`eme de Cayley-Hamilton :

– Par r´ecurrence, AX = X

puis A

X = X

devient imm´ediat.

– Si P = a

+ a

X + · · · + a

X

est un polynˆome alors

P (D)(X) = (a

Id +a

D + · · · + a

D

)X = a

X + a

X

+ · · · + a

X

= a

X + a

AX + · · · + a

A

X = P (A)X.

On applique cette propri´et´e `a P

polynˆome caract´eristique de A. Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton donne P

(A) = 0 donc P

(D)X = 0. En regardant les coordonn´ees de ce vecteur, on obtient P

(D)(x

) = 0 ce qui permet de d´ecoupler les fonctions coordonn´ees i.e. de pouvoir trouver une solution sans avoir `a les chercher toutes

Questions : (i) R´esoudre

( x

= 2x + 3y

y

= − x − 2y O point r´epulsif.

(ii) R´esoudre

( x

= 2x + 3y

y

= − x − y O point attractif.

(iii) R´esoudre







x

= − 4x + y + z y

= x − y − 2z z

= − 2x + y − z

.

8.1.3 Equations lin´ ´ eaires scalaires d’ordre 1 ou 2

a) Equation lin´ ´ eaire scalaire d’ordre 1

On rappelle ici comment on r´esout une ´equation diff´erentielle du premier ordre qui s’´ecrit sous la forme α(t)x

+ β(t)x = γ(t) :

• On se place sur un intervalle J o` u l’´equation est r´esolue en x

(i.e. on divise par α(t) sur un intervalle o` u α ne s’annule pas), on aura x

= a(t)x + b(t) o` u a et b sont des fonctions continues `a valeurs complexes.

• R´ esolution : Soit A une primitive de a sur J qui s’annule en t

∈ J alors x

= a(t)x + b(t) ⇔ e

x

= e

b(t) ⇔ x = x(t

) e

+ e

Z

e

b(u) du.

D’o` u, si l’on se donne (t

, x

) ∈ I × C , on ne trouvera qu’une seule solution d´efinie sur I.

• L’ensemble des solutions de l’´equation r´esolue sans second membre est un C - espace vectoriel de dimension 1, l’ensemble des solutions de l’´equation compl`ete est un espace affine sur C de dimension 1.

b) Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires scalaires d’ordre 2

Soit (α, β, γ, δ) ∈ C

(I, C ), α non identiquement nulle, on ´etudie l’´equation diff´erentielle

(1) α(t)x

+ β(t)x

+ γ (t)x = δ(t)

Soit J un intervalle de R tel que pour tout t de J , on ait α(t) 6 = 0 alors on pourra ramener l’´equation (1) `a une forme ´equivalente

(2) x

= a(t)x

+ b(t)x + c(t)

On sait alors que le probl`eme de Cauchy a une seule solution d´efinie sur J et que l’on peut se ramener `a une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1 avec y =

x x

.

• Etude de l’´ ´ equation homog` ene :

(3) x

= a(t)x

+ b(t)x

D´ efinition 8.1.5. Wronskien

Si x

et x

sont deux solutions lin´eairement ind´ependantes de (3) alors on appelle wronskien le d´eterminant W (t) =

x

(t) x

(t) x

(t) x

(t) .

Remarque 8.1.6. Cette d´efinition correspond bien `a celle de la d´efinition 8.4 page 420 en prenant X

=

x

x

et X

= x

x

.

D´em : On ´ecrit le syst`eme (3) sous la forme X =

0 1 a(t) b(t)

X avec X = x

x

. Il reste `a montrer que si x

et x

sont deux solutions lin´eairement ind´ependantes alors X

et X

le sont aussi.

Par l’absurde : soit X

= λX

.

• λ est une fonction de classe C

: λ = (X

| X

)

k X

k

est bien de classe C

(X

ne s’annule jamais car, vu l’unicit´e dans le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz, si X

(t

) = 0 alors X

= 0).

• On a ainsi x

= λx

et x

= λx

d’o` u, en d´erivant la premi`ere relation, x

= λx

+ λ

x

ce qui donne λ

x

= 0.

• Or x

= ax

+ bx

= aλx

+ bλx

= λx

et, en d´erivant la deuxi`eme relation x

= λx

on arrive `a x

= λx

+ λ

x

soit λ

x

= 0.

Finalement, on obtient λ

x

x

= λ

X

= 0 donc λ

= 0 car on a vu que X

ne s’annulait pas. λ est donc constante, la famille (x

, x

) est li´ee ce qui est contradic- toire

Proposition 8.1.3 . W est solution de l’´equation diff´erentielle W

= a(t)W d’o` u W (t) = W (t

) exp

Z

a(u) du

. Les solutions

x

x

, x

x

constituent un syst`eme fondamental de solutions de l’´equation d’ordre 1 associ´ee.

D´em : On peut d´eriver W (t) en d´eveloppant le d´eterminant mais il est une mani`ere plus g´en´erale (elle marche aussi pour les ´equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre n) qui consiste `a d´eriver le d´eterminant ligne par ligne.

W

(t) =

x

x

x

x

| {z }

=0

+

x

x

x

x

=

x

x

bx

+ ax

bx

+ ax

= b

x

x

x

x

| {z }

=0

+a

x

x

x

x

= aW.

Il suffit alors d’int´egrer l’´equation diff´erentielle W

= aW

• Recherche des solutions de l’´ equation homog` ene :

→ Si on connaˆıt une solution x

, on cherche les autres solutions sous la forme x = λx

: on a ainsi

x

= λx

+λ

x

, x

= λx

+ 2λ

x

+λ

x

; on aura alors l’´equation diff´erentielle λ

x

+ λ

(2x

− a(t)x

) = 0 ce qui donne, apr`es int´egration une autre solution x

(t) = x

(t)

Z

W (u) x

(u) du.

D´em : On peut retenir le r´esultat final mais ce n’est pas forc´ement facile aussi je recommande de retrouver cette formule par un calcul litt´eral ou, si les fonctions qui interviennent sont simples, par le calcul effectif. En posant x = λx

sur un intervalle K o` u x

ne s’annule pas alors

x(t) = λ(t)x

(t) × ( − b)

x

(t) = λ(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) × ( − a) x

(t) = λ(t)x

(t) + 2λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) × 1

. . . .

0 = 0 + λ

(t)[2x

(t) − a(t)x

(t)] + λ

(t)x

(t).

On se ram`ene donc `a l’´equation diff´erentielle λ

x

+ λ

(2x

− a(t)x

) = 0 qui s’int`egre formellement sous la forme λ

λ

= ax

− 2x

x

= a − 2 x

x

puis ln(λ

/C) = W − ln(x

) (toujours formellement) et on retrouve la formule λ

(t) = C

x

(t) e

o` u W (t) = W (t

) R

t0

a(u) du. On peut choisir C = 1 car on cherche une autre solution particuli`ere. Si x

s’annule en un point t

, on peut v´erifier (dans la pratique) que x

se prolonge en t

.

La famille (x

, x

) sur l’intervalle K est libre car x

x

= W

x

6 = 0 donc le rapport x

x

n’est pas constant

→ On peut se ramener `a une ´equation diff´erentielle du premier ordre en posant z = x

x ; on trouve alors une ´equation de Riccati z

+ z

= a(t)z + b(t) (c’est plutˆot le contraire qui nous int´eresse).

D´em : On se place l`a encore sur un intervalle K o` u x ne s’annule pas. z

= x

x − x

x

donc x

x = z + z

donc sur K :

x

= ax

+ bx ⇔ z + z

= az + b

en divisant par x. On se ram`ene `a une ´equation diff´erentielle du premier ordre mais elle n’est pas lin´eaire...

→ En dernier recours ou si l’´enonc´e le demande, on pourra chercher les solutions sous forme de s´eries enti`eres.

• Recherche des solutions de l’´ equation compl` ete (2) :

→ Si on ne connaˆıt qu’une solution de l’´equation homog`ene, on utilise la m´ethode de variation de la constante (comme ci-dessus).

D´em : On reprend la d´emonstration ci-dessus :

x(t) = λ(t)x

(t) × ( − b)

x

(t) = λ(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) × ( − a) x

(t) = λ(t)x

(t) + 2λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) × 1

. . . . c(t) = 0 + λ

(t)[2x

(t) − a(t)x

(t)] + λ

(t)x

(t).

On cherche alors λ

= C(t)

x

(t) e

par la m´ethode de variation de la constante (encore !) d’o` u C

(t) = k x

(t)

W (t) que l’on int`egre pour trouver λ

puis λ.

Il vaut mieux commencer directement par ces calculs si on a une ´equation avec second membre

→ Si on connaˆıt l’ensemble des solutions de (3), on utilisera la m´ethode suivante :

x = λ

x

+ λ

x

, x

= λ

x

+λ

x

en imposant la relation λ

x

+λ

x

= 0, puis x

= λ

x

+λ

x

+λ

x

+λ

x

; en rempla¸cant dans l’´equation (2), on trouvera λ

x

+ λ

x

= c(t). On r´esout alors le syst`eme en λ

, λ

puis on int´egre. On trouve alors la solution particuli`ere x(t) =

Z

x

(s)x

(t) − x

(t)x

(s)

W (s) c(s) ds.

Remarque : cette derni`ere m´ethode correspond `a la m´ethode de variation des constantes (cf. page 421).

D´em : On utilise la mˆeme pr´esentation pratique :

x(t) = λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) × ( − b) x

(t) = λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) × ( − a) x

(t) = λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) × 1

. . . . c(t) = 0 + 0 + λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t).

On se retrouve avec le syst`eme

( λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) = 0

λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) = c(t) qui se r´esout en

λ

(t) = c(t)x

(t)

W (t) λ

(t) =

Z

c(s)x

(s)

W (s) du + µ

λ

(t) = − c(t)x

(t)

W (t) λ

(t) =

Z

− c(s)x

(s)

W (s) du + µ

d’o` u, en prenant µ

= µ

= 0, on obtient la solution particuli`ere x(t) = λ

(t)x

(t) + λ

(t)x

(t) =

Z

x

(s)x

(t) − x

(t)x

(s)

W (s) c(s) ds.

On peut se poser des questions sur la condition λ

x

+ µ

x

= 0 en fait, cela revient `a utiliser la m´ethode de variation des constantes que l’on a rappel´e : on pose X =

x x

. On a vu que si x

et x

sont deux solutions lin´eairement ind´ependantes de l’´equation homog`ene alors (X

, X

) forme un syst`eme fonda- mental de solutions (cf. remarque 8.1.6 page 426). On a cherch´e une solution particuli`ere sous la forme X = λ

X

+ λ

X

et la deuxi`eme ligne de cette

´ecriture matricielle est x

= λ

x

+ λ

x

ce qui correspond exactement `a la condition λ

x

+ λ

x

= 0

Exemples :

(i) ´ Equations diff´erentielles `a coefficients constants, cf. r´evisions du cours de premi`ere ann´ee.

(ii) Equation d’Euler ´ :

(4) at

x

+ btx

+ cx = 0, (a, b, c) ∈ C

Pour t > 0, on pose t = e

, on est alors ramen´e `a une ´equation `a coefficients

constants a(y

− y

) + by

+ cy = 0 (x(e

) = x(t)) ; on peut aussi chercher