Universit´e de Lille 1 U.F.R. de Math´ematiques
L2 - M33
Liste du 5 septembre 2017
Exercice 1. D´eterminer explicitement les sous-ensembles A etB de Rdonn´es par : A={x∈[0,1] :∃n∈N∗ : 1n ≤x≤1},
B ={x∈[0,1] :∀n∈N∗ : 1n ≤x≤1}.
D´eterminer les bornes inf´erieure et sup´erieure des ensembles C = {3nn22+1+4 : n ∈ N} et D = {(−1)n+n1 :n∈N∗}.
Exercice 2. Pour tout entier n≥1, on pose En={k+nk :k∈N∗}.
a. Montrer queEn a une borne inf´erieure et que infEn = inf{k+nk : 1≤k≤n}.
b. Montrer que l’on a toujours infEn≥2√
n. Quand y a-t-il ´egalit´e ? Exercice 3.
a. On consid`ere la suite (un)n≥0 d´efinie paru0= 2 et un+1= 12(un+u2
n). Montrer que les termes un sont tous rationnels et que la suite converge vers√
2.
b. On consid`ereA={x∈Q:x≥0 etx2≥2}. Montrer queA, vu comme sous-ensemble deR, a une borne inf´erieure que l’on d´eterminera. Montrer queA vu comme sous-ensemble deQ, n’a pas de borne inf´erieure.
Exercice 4. D´eterminer la limite des suites suivantes :
un=
1 + 1 n
n
, vn =n4
3p
n6+n3+ 1−n2− 1 3n
, wn=
cos 1
√n n
.
Exercice 5. Soit (un)n≥0 une suite de r´eels. On pose
u∗n = 1 n+ 1
n
X
k=0
uk.
a. Soit l∈R. ´Etablir leth´eor`eme de convergence en moyenne de Cesaro :
(C) ( lim
n→∞un =l) =⇒( lim
n→∞u∗n =l).
A l’aide d’un contre-exemple, montrer que l’implication r´` eciproque est g´en´eralement fausse.
b. Montrer que l’implication (C) reste vraie pour les limites infinies. En d´eduire que l’implication r´eciproque est vraie si l’on suppose en plus que la suite (un)n≥0est monotone.
c. On posex0=u0et xn=un−un−1 pour n≥1. Montrer que
u∗n =un− 1 n+ 1
n
X
k=0
kxk
et en d´eduire que l’implication r´eciproque de (C) est vraie si l’on suppose en plus que la suite (un)n≥0v´erifie la condition limn→∞n(un−un−1) = 0.
6. Pour tout n≥1, on pose Un = 1 + 12+ 13+· · ·+ n1. En consid´erantU2n−Un, montrer que la suite (Un)n≥1 n’est pas de Cauchy. Montrer que limn→∞Un= +∞.
7. Soit (un)n≥0 une suite de r´eels. On suppose qu’il existe une constantek, avec 0≤k <1, telle que l’on ait|un+1−un| ≤k|un−un−1|pour tout n≥1.
a. Montrer que l’on a|un+1−un| ≤kn|u1−u0|pour toutn≥1.
b. Montrer que sip etq sont deux entiers naturels avecp > q, on a
|up−uq| ≤ kq
1−k|u1−u0|.
En d´eduire que la suite (un)n≥0 converge.
8. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses (justifiez) :
a. Si la suite (un+vn) converge vers une limite finie, alors l’une au moins des suites (un) ou (vn) converge vers une limite finie.
b. Si la suite (un) est croissante, alors la suite (un+n1) est aussi croissante.
c. Si les suites (u2n) et (u2n+1) convergent versl, alors (un) converge vers l.
d. Si la suite (un) ne converge pas vers une limite finie, alors elle n’est pas born´ee.
e. Si la suite (nun) est born´ee, alors la suite (un) converge.
f. Une suite convergente d’entiers est stationnaire `a partir d’un certain rang.
i. De toute suite telle que sup{un : n ≥ 0} = +∞, on peut extraire une sous-suite strictement croissante.
j. Une suite `a termes positifs qui converge vers 0 est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.
k. Si lim(un+1−un) = 0, alors (un) a une limite finie.
l. Si (un) converge vers 0 et (vn) est born´ee, alors (unvn) converge vers 0.
m. Si (un) est positive et born´ee et si limvn = +∞, alors limunvn= +∞.
n. La somme de deux suites de Cauchy est une suite de Cauchy.
o. Si une suite de rationnels est de Cauchy, sa limite est rationnelle.
