des cercles moyens ci-contre.

D4919. La mosaïque des 21 cercles **

A l’étape n°1,on trace un cercle (C) de rayon unité.

A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C).

A l’étape n°3, à l’intérieur de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4, on trace quatre cercles coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (Ci) puis le cercle colorié en vert tangent

aux quatre cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) et enfin les quatre cercles coloriés en rouge au Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest et Nord-Ouest du cercle (C) , tangents à ce cercle et à deux cercles de type Ci.

On obtient ainsi une mosaïque de 21 cercles.

Q1 Déterminer le rapport de la surface de ces 21 cercles à celle du cercle (C).

Q₂ On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits. A l’étape n°4, le motif de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4,devient celui de (C) à l’étape n°3 avec 21 cercles qui se substituent aux 4 cercles tracés précédemment.

Par ailleurs à l’intérieur de chacun des 5 cercles coloriés en vert et en rouge, on trace à nouveau 4 cercles comme à l’étape n°2.Et ainsi de suite jusqu’à l’étape n°7.

Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.

PROPOSITION Th Eveilleau

Q

Déterminons les rayons r, r

des cercles moyens ci-contre.

Est le rayon de chacun des cercles (C

) , (C

), (C

), (C

).

Dans le triangle rectangle OAB ;

(2 r )² = 2 (1 - r² )  2 r² + 4r - 2 = 0  r = - 1 Nous avons r

= 1 – 2 r = 1 – 2 +2 = 3 – 2 Et de façon évidente par symétrie dans le carré (AOBC) ,

r

= r

r =

r

r

Le rapport du rayon des très petits cercles bleus à chacun des cercles ( C

) est le même que celui rayons des cercles ( C

) au rayon du cercle initial donc le rayon de chacun des 12 petits cercles est ( - 1)² = 2+1-2 = 3 – 2

.La surface du grand cercle est  ^.

.La surface des cercles rouges et du vert et des 12 petits cercles est : 21 *  * (3 – 2 )² = 21 *  *(17 - 12 ) Le rapport de la surface des 21 cercles au grand est 21*( - 1 )

= 21*(17 - 12 ) ~ 0.61818

 Environ 61,81%

Q

A l’étape n, chaque disque a pour rayon ( - 1)

Etape E1  1 disque de rayon 1

Etape E2  4*1 + 5*0= 4 disques de rayon ( - 1 )

Etape E3  4*4 + 5*1 = 21 disques de rayon ( - 1 )

Etape E4  4*21 + 5*4 = 104 disques de rayon ( - 1 )

Ceci donne un rapport de 104 *( - 1 )

= 104 *(5 - 7 )² =104*(99 - 70* ) ~ 52.526592 % Etape E5  4*104 + 5*21 = 521 disques de rayon ( - 1 )

Nous avons 521 disques qui donnent un rapport de 521*( - 1 )

~ 45.1473476%

Etape E6  4*521 + 5*104= 2604 disques de rayon ( - 1 )

Nous avons 2604 disques qui donnent un rapport de 2604*( - 1 )

~ 38.715433%

Etape E7  4*2604+ 5*521 = 13021 disques de rayon ( - 1 )

Nous avons 13021 disques qui donnent un rapport de 13021*( - 1 )

~ 33.215%

Le rapport est donc d’environ 33% à l’étape n°7.



Exemple avec le début de l’étape 5