D4919– La mosaïque des 21 cercles [** à la main]
A l’étape n°1,on trace un cercle (C) de rayon unité.
A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C₁), (C₂), (C₃) et (C₄) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C).
A l’étape n°3, à l’intérieur de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4, on trace quatre cercles coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (Ci) puis le cercle colorié en vert tangent aux quatre cercles (C₁), (C₂), (C₃) et (C₄) et enfin les quatre cercles coloriés en rouge au Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest et Nord-Ouest du cercle (C) , tangents à ce cercle et à deux cercles de type Ci.
On obtient ainsi une mosaïque de 21 cercles.
Q₁ Déterminer le rapport de la surface totale de ces 21 cercles à celle du cercle (C).
Q₂ On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits. A l’étape n°4, le motif de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4,devient celui de (C) à l’étape n°3 avec 21 cercles qui se substituent aux 4 cercles tracés précédemment. Par ailleurs à l’intérieur de chacun des 5 cercles coloriés en vert et en rouge, on trace à nouveau 4 cercles comme à l’étape n°2.Et ainsi de suite jusqu’à l’étape n°7.
Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
La taille des cercles C1 à C4 est r2 , tel que (1-r2) √2/2 =r2, d’où la valeur de r2=√2-1.
Les 4 cercles inclus dans les quatre cercles C1 à C4, ont une taille r3 égale à (√2-1).(√2-1) soit 3- 2.√2. On vérifie que les cercles colorés ont également la même taille soit (√2-1)². Soit 21 cercles.
Le rapport des surfaces de ces 21 cercles par rapport au cercle initial est donc à 0,618.
A l’étape suivante on introduit quatre cercles plus petits dans les 21 cercles précédents auxquels on rajoute 5 plus petits cercles dans les 4 cercles C1 à C4, soit au total 21.4 + 4.5 soit 104 cercles. La taille a encore été réduite de (√2-1), pour un rayon r4= (√2-1)*3.
En fait à chaque étape, on a le nombre de cercles Ni égal à 4.Ni-1 +5.Ni-2, et la taille du petit cercle est réduite de (√2-1). Ce qui donne l’évolution suivante.
Etape
Nombre
de cercles Rayon Surface
1 1 1,000 1,000
2 4 0,414 0,686
3 21 0,172 0,618
4 104 0,071 0,525
5 521 0,029 0,451
6 2604 0,012 0,387
7 13021 0,005 0,332
