D4919– La mosaïque des 21 cercles [** à la main]
A l’étape n°1,on trace un cercle (C) de rayon unité.
A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C₁), (C₂), (C₃) et (C₄) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C).
A l’étape n°3, à l’intérieur de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4, on trace quatre cercles coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (Ci) puis le cercle colorié en vert tangent aux quatre cercles (C₁), (C₂), (C₃) et (C₄) et enfin les quatre cercles coloriés en rouge au Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest et Nord-Ouest du cercle (C) , tangents à ce cercle et à deux cercles de type Ci.
On obtient ainsi une mosaïque de 21 cercles.
Q₁ Déterminer le rapport de la surface totale de ces 21 cercles à celle du cercle (C).
Q₂ On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits. A l’étape n°4, le motif de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4,devient celui de (C) à l’étape n°3 avec 21 cercles qui se substituent aux 4 cercles tracés précédemment. Par ailleurs à l’intérieur de chacun des 5 cercles coloriés en vert et en rouge, on trace à nouveau 4 cercles comme à l’étape n°2.Et ainsi de suite jusqu’à l’étape n°7.
Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.
Solution proposée par Daniel Collignon
A l'étape n, nous dénombrons c_n petits cercles de rayon r_n.
c_1 = r_1 = 1 c_2 = 4 c_3 = 21
Q1
Sur le diamètre de (C) passant par les centres de (C2) et (C4), nous "lisons" la relation 2*r_2*sqrt(2)+2*r_2=2.
D'où r_2 = sqrt(2)-1, qui est donc le facteur de réduction du rayon des cercles bleus entre 2 étapes.
Ainsi à l'étape 3, les cercles bleus auront pour rayon r_3 = (r_2)² = 3-2*sqrt(2).
Nous vérifions que c'est aussi le rayon du cercle vert et des 4 cercles rouges, puisque 1-2*r_2 = r_3.
La surface des 21 cercles rapportée à celle de (C) vaut 21*(r_3)² = 21*(17-12*sqrt(2)), soit environ 62%.
Q2
c_n vérifie la relation de récurrence 4*c_{n-1} + 5*c_{n-2} : le premier terme exprime la création de 4 petits cercles pour chaque petit cercle de l'étape n-1, comme pour le passage de l'étape 1 à 2 ; le deuxième terme, la création de 5 petits cercles (4 rouges et 1 vert comme à l'étape 3) pour chaque petit cercle de l'étape n-2.
D'où c_n = (5^n-(-1)^n)/6.
A l'étape 7, il y aura c_7 = 13021 petits cercles Leur rayon vaut r_7 = (r_2)^6
Leur surface rapportée à celle de (C) vaut c_7*(r_2)^12, soit environ 33%.
Référence : https://oeis.org/A015531
