= ≈ 69% ) 4π(

D4919. La mosaïque des 21 cercles

A l’étape n°1,on trace un cercle (C) de rayon unité.

A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C).

A l’étape n°3, à l’intérieur de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4, on trace quatre cercles coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (Ci) puis le cercle colorié en vert tangent aux quatre cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) et enfin les quatre cercles coloriés en rouge au Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest et Nord-Ouest du cercle (C) , tangents à ce cercle et à deux cercles de type Ci.

On obtient ainsi une mosaïque de 21 cercles.

Q1 Déterminer le rapport de la surface de ces 21 cercles à celle du cercle (C).

Q2 On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits. A l’étape n°4, le motif de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4,devient celui de (C) à l’étape n°3 avec 21 cercles qui se substituent aux 4 cercles tracés précédemment. Par ailleurs à l’intérieur de chacun des 5 cercles coloriés en vert et en rouge, on trace à nouveau 4 cercles comme à l’étape n°2.Et ainsi de suite jusqu’à l’étape n°7.

Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.

Solution proposée par Stéphane Rézel

Q

1 Soit R le rayon du cercle (C) de centre O. Les diamètres de (C) passant aux points de tangence situés entre les cercles (Ci) sont orthogonaux.

Soit r le rayon du cercle (C1) de centre c, et les points b et d tels que les segments [cd] et [cb] soient orthogonaux aux diamètres de (C) vus précédemment. Avec quatre angles droits et deux côtés de même longueur, le quadrilatère cbOd est un carré. Sa diagonale vaut donc r√2.

Le segment [Oa] de longueur R, vaut r + r√2 d’où r = ^R

(1+√2)

À l’étape n°2, la surface des 4 disques vaut

4π (

^R

1+√2

)

²

De l’étape n°1 à l’étape n°2, le rapport de la surface des 4 disques à celle de (C) est d’environ 69% : 4π( ^R

1+√2)²

πR²

=

⁴

3+2√2

≈ 69%

Remarque : Les valeurs précises sont dans le tableau final.

À l’étape n°3, on répète la transformation et le rayon de chacun des 16 disques bleus vaut

ray = ^r

(1+√2) = ^R

(1+√2)(1+√2) = ^R

(3+2√2)

Toujours à l’étape n°3, le diamètre de (C) coupant en 2 deux cercles (Ci) coupe aussi en deux, aux points de tangence, le cercle colorié en vert. On a R = 2r + ray

En admettant que le rayon du disque vert soit égal au rayon d’un disque bleu, on aurait alors : R = ^2R

1+√2+ ^R

3+2√2 1 = ²

1+√2+ ¹

(1+√2)(1+√2) 1 + √2 = 2 + ¹

1+√2 (√2 − 1)(1 + √2) = 1 On a bien une égalité, donc le rayon du disque vert est égal au rayon d’un disque bleu.

On a bien aussi R = 2r + ray donc le rayon du disque rouge est égal au rayon d’un disque bleu.

À l’étape n°3, la surface totale des 21 disques identiques vaut

21π (

^R

3+2√2

)

²

De l’étape n°2 à l’étape n°3, le rapport de la surface des disques est d’environ 90% : 21π( ^R

3+2√2)² 4π( ^R

1+√2)²

=

^21(3+2√2)

4(17+12√2)

≈ 90%

De l’étape n°1 à l’étape n°3, le rapport de l’aire des 21 disques à celle du disque (C) est d’environ 62% : 21π( ^R

3+2√2)²

π𝑅²

=

²¹

17+12√2

≈ 62%

Q

2 Lors du passage à l’étape n°4, les 4 cercles (Ci),i = 1 à 4, deviennent 4 fois 21 cercles avec la même transformation qu’entre les étapes n°2 et n°3. Les 5 cercles vert/rouge deviennent 5 fois 4 cercles avec la même transformation qu’entre les étapes n°1 et n°2.

Les 21 disques étant identiques, 16 évoluent avec un ratio de 90% et les 5 autres avec le ratio de 69% : De l’étape n°3 à l’étape n°4, le rapport de la surface des disques est d’environ 85% :

16

21 x 90% + ⁵

21 x 69%

≈ 85%

Des 21 cercles de l’étape n°3, 16 sont substitués par 4 x 21 = 84 cercles et 5 cercles sont substitués par 5 x 4 = 20 cercles à l’étape n°4. L’étape n°4 a donc 104 cercles.

Lors du passage à l’étape n°5, les 20 cercles (issus des 5 vert/rouge de l’étape n°3) deviennent 5 fois 21 cercles avec la même transformation qu’entre les étapes n°2 et n°3, soit déjà 105 cercles à l’étape n°5.

Des 84 cercles (issus des 16 de l’étape n°3) 20 d’entre eux sont vert/rouge et 64 sont bleus. Les 20 cercles ont la même transformation qu’entre les étapes n°1 et n°2, soit 80 cercles de plus à l’étape n°5.

Et les 64 cercles bleus ont la même transformation qu’entre les étapes n°2 et n°3, donnant enfin 16 x 21 = 336 cercles à l’étape n°5.

L’étape n°5 est donc constituée de 105 + 80 + 336 = 521 cercles.

Les 104 disques de l’étape n°4 étant identiques, 20 ont leur surface qui évoluent avec un ratio de 90%, 20 autres avec le ratio 69% et 64 autres avec également le ratio de 90% :

De l’étape n°4 à l’étape n°5, le rapport de la surface des disques est d’environ 86% :

20

104 x 90% + ₁₀₄²⁰ x 69% +₁₀₄⁶⁴ x 90%

≈ 86%

Compte tenu de l’alternance des transformations élémentaires (69% et 90%), les passages aux étapes n°6 puis n°7 vont être chacune approximativement entre 85 et 86%. Cela permet déjà de conclure que le rapport de la surface totale des cercles de l’étape n°7 à celle du cercle (C) est d’environ 33% :

69% x 90% x 85% x 86% x 85,5% x 85,5%

≈

33% (voir tableau ci-dessous).

La progression du nombre de cercles à chaque étape 1, 4, 21, 104, 521, … est tantôt x5 -1 tantôt x5 +1, nous retrouvons là aussi une alternance de comportement et avons 521 x 5 – 1 = 2604 cercles à l’étape n°6 et 2604 x 5 + 1 = 13021 cercles à l’étape n°7.

Étape n° 1 2 3 4 5 6 7

Nombre de cercles

1 4 21 104 521 2604 13021

Ratio aire totale des disques / à (C)

1 0,686291501 0,618182282 0,5252659239 0,451473476 0,3871543351 0,33

%

≈

^{100 69% 62% 53% 45% 39% 33%}

Ratio entre 2 étapes

- 0,9007575951 0,8595141155 ~0,86

0,686291501 0,8496942394 0,8575350617

On vérifie pour le passage à l’étape n°6 : on part de l’étape n°5 et ses 521 cercles identiques.

Il y a 5 x 5 + 5 x 4 x 4 = 105 cercles vert/rouge avec leur surface évoluant avec un ratio de 69%.

Et aussi 4 x 5 + 5 x 4 + 4 x 4 x 4 = 104 ensembles de 4 cercles bleus. Donc 416 cercles bleus avec leur surface évoluant avec un ratio de 90%.

De l’étape n°5 à l’étape n°6, le rapport de la surface des disques est bien d’environ 86% :

105

521 x 69% + ⁴¹⁶

521 x 90%

≈ 86%

Les 105 disques vert/rouge donnent 420 petits disques bleus.

Les 104 ensembles de 4 cercles bleus donnent 104 x 21 = 2184 petits disques.

L’étape n°6 est bien constituée de 420 + 2184 = 2604 cercles.