D4919. La mosaïque des 21 cercles A l’étape n°1,on trace un cercle (C) de rayon unité.

D4919. La mosaïque des 21 cercles

A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C).

A l’étape n°3, à l’intérieur de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4, on trace quatre cercles coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (Ci) puis le cercle colorié en vert tangent aux quatre cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) et enfin les quatre cercles coloriés en rouge au Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest et Nord-Ouest du cercle (C) , tangents à ce cercle et à deux cercles de type Ci.

On obtient ainsi une mosaïque de 21 cercles.

Q1 Déterminer le rapport de la surface de ces 21 cercles à celle du cercle (C).

Q2 On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits. A l’étape n°4, le motif de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4,devient celui de (C) à l’étape n°3 avec 21 cercles qui se substituent aux 4 cercles tracés précédemment. Par ailleurs à l’intérieur de chacun des 5 cercles coloriés en vert et en rouge, on trace à nouveau 4 cercles comme à l’étape n°2.Et ainsi de suite jusqu’à l’étape n°7.

Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.

Solution

Pour des raisons de symétrie, les centres KLMN des 4 cercles forment un carré dont les côtés font un angle de 45°

avec le diamètre PQ

Le rayon R2 de ces 4 cercles K, L, M et N se déduit du parcours PNLMQ projeté sur le diamètre PQ : R2= R1(√2 – 1) Par le même raisonnement, le rayon des 4 cercles de centre C, E, G et I est égal à R3= R2(√2 – 1)= R1(√2 – 1)² Par un raisonnement de même type en prenant un point T symétrique de A/R, on observe que :

TU=AU-AT= R1 – R3(2+4/√2) = R3 , donc le cercle de centre T et de rayon R3 est tangent à R1.

Par un raisonnement de même type, AB=AH-BH= R1 – R3(2+4/√2)=R3 , donc le cercle de centre A et de rayon R3 est tangent aux 4 cercles de centre K, L, M et N.

Passons à la généralisation.

Nous appellerons cercles principaux les 4 cercles et cercles auxiliaires les 5 cercles rouge ou vert.

On remarque qu’à chaque étape les cercles qui apparaissent sont tous de même rayon Rn avec Rn = Rn-1 (√2 – 1) = R1 (√2 – 1)^n-1 = (√2 – 1)^n-1 (R1 unitaire)

Chaque cercle de rayon Rn-1 de l’étape précédente génère 4 cercles principaux de rayon Rn= Rn-1 (√2 – 1) Chaque cercle de rayon Rn-2 de l’étape précédente génère 5 cercles auxiliaires de rayon Rn= Rn-1 (√2 – 1) Soit

Pour n>2, à l’étape n, le nombre de cercles de rayon Rn est Un = 4 Un-1 + 5 Un-2

Pour n=1, à l’étape 1, le nombre de cercles de rayon R1 est U1=1 Pour n=2, à l’étape 2, le nombre de cercles de rayon R2 est U2=4 Nous avons une suite récurrente linéaire.

Son équation caractéristique est la suivante : x² = 4x + 5 de racines -1 et 5.

D’où le résultat : Un = [5ⁿ-(-1)ⁿ]/6

On rappelle qu’à l’étape n les cercles ont un rayon Rn = = (√2 – 1)^n-1 , donc une surface Sn = π. (√2 – 1)^2n-2 La surface totale occupée par les petits cercles est alors de : S’n = = π. (√2 – 1)^2n-2 . [5ⁿ-(-1)ⁿ]/6

Sachant que S1= π, alors

S’n/S1 = (√2 – 1)

. [5

-(-1)

]/6

Question 1 : Au rang 3, le nombre de petits cercles obtenus est de 21 et le rapport de leur surface totale à celle du cercle initial est de 62%

Question 2 : Au rang 7, le nombre de petits cercles obtenus est de 13021 et le rapport de leur surface totale à celle du cercle initial est de 33%

Complément : Quand le rang augmente, le ratio tend vers zéro, ce qui signifie que paradoxalement la surface totale des cercles tend vers zéro alors que leur nombre tend vers l’infini.

En langage courant les cercles disparaissent. Le cercle initial devient vide.