D4919 - La mosaïque des 21 cercles

A l’étape n°1, on trace un cercle (C) de rayon unité.

A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C₁), (C₂), (C₃) et (C₄) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C).

A l’étape n°3, à l’intérieur de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4, on trace quatre cercles coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (Ci) puis le cercle colorié en vert tangent aux quatre cercles (C₁), (C₂), (C₃) et (C₄) et enfin les quatre cercles coloriés en rouge au Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest et Nord-Ouest du cercle (C) , tangents à ce cercle et à deux cercles de type Ci.

On obtient ainsi une mosaïque de 21 cercles.

Q₁ Déterminer le rapport de la surface de ces 21 cercles à celle du cercle (C).

Q₂ On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits. A l’étape n°4, le motif de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4, devient celui de (C) à l’étape n°3 avec 21 cercles qui se substituent aux 4 cercles tracés précédemment. Par ailleurs à l’intérieur de chacun des 5 cercles coloriés en vert et en rouge, on trace à nouveau 4 cercles comme à l’étape n°2.Et ainsi de suite jusqu’à l’étape n°7.

Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.

Q1 : A l’étape 2, puisque le rayon du grand cercle est la somme du rayon du petit et de la projection de deux de ces rayons, les quatre cercles ont un rayon r tel que r(1+√2)=1 soit r=√2-1. Le rapport de la surface des quatre cercles à celle du cercle initial est 4r²=4(3-2√2), un peu supérieur à 68,6%.

A l’étape 3, le rayon du cercle vert est v=1-2r ; celui des cercles bleus est b=r² ; enfin, si g est le rayon des cercles rouges, le carré formé par les centres de ces cercles a un coté égal à 2(r+g) et la demi-diagonale (r+g)√2 vaut 1-g donc g=(1-r√2)/(1+√2)

Or, 1-2r=3-2√2, r²=2-2√2+1=3-2√2, et (1-r√2)/(1+√2)=(√2-1)(√2-1)=3-2√2 : v=b=g : les 21 cercles sont égaux et le rapport des surfaces est 21r⁴ =21*(17-12√2) un peu supérieur à 61,8%.

Q2 : Si un est le nombre de cercles tracés à l’étape n, nous avons u1=1, u2=4, et un=4un-1+5un-2 pour n≥3 ; en transposant la démonstration ci-dessus, tous ces cercles sont égaux de rayon r^n-1=(√2-1)^n-1. On obtient ainsi

- étape 4 : 104 cercles de rayon 5√2-7 - étape 5 : 521 cercles de rayon 17-12√2 - étape 6 : 2604 cercles de rayon 29√2-41

- étape 7 : 13021 cercles de rayon 99-70√2 soit un rapport de surfaces de 13201*(19601-13860√2), un peu supérieur à 33,2%

D4919 - La mosaïque des 21 cercles