La mosaïque des 21 cercles
Problème D4919 de Diophante
A l’étape n°1, on trace un cercle (C) de rayon unité.
A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C).
A l’étape n°3, à l’intérieur de chaque cercle (Ci), i = 1 à 4, on trace quatre cercles coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (Ci) puis le cercle colorié en vert tangent aux quatre cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) et en fin les quatre cercles coloriés en rouge au Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest et Nord-Ouest du cercle (C) , tangents à ce cercle et à deux cercles de type Ci.
On obtient ainsi une mosaïque de 21 cercles.
Q1 Déterminer le rapport de la surface de ces 21 cercles à celle du cercle (C).
Q2 On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits. A l’étape n°4, le motif de chaque cercle (Ci), i = 1 à 4, devient celui de (C) à l’étape n°3 avec 21 cercles qui se substituent aux 4 cercles tracés précédemment. Par ailleurs à l’intérieur de chacun des 5 cercles coloriés en vert et en rouge, on trace à nouveau 4 cercles comme à l’étape n°2. Et ainsi de suite jusqu’à l’étape n°7.
Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.
Solution
Le rayon de (C) vaut 1 celui des cercles (Ci) vaut k, où k = 2 – 1 0,4142 … Il s'en suit que le rayon des cercles bleus vaut k2 et cette valeur est aussi celle du rayon du cercle vert et des cercles rouges.
Les 21 petits cercles ont chacun pour aire k4 fois celle de (C). Sachant que k2 vaut 0,1715 … et k4 = 0,0294 … le rapport demandé est légèrement inférieur à 62 %.
