Solution proposée par Gaston ParrourPréambule La figure ci-contre correspond à l'étape 3 (les 4 petits cercles à l'intérieur des 4 grands ne sont pas représentés ici) [C]

(1)

4919. La mosaïque des 21 cercles

A l’étape n°1,on trace un cercle (C) de rayon unité.

A l’étape n°2, on trace 4 cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (C).

A l’étape n°3, à l’intérieur de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4, on trace quatre cercles coloriés en bleu, tangents deux à deux et tangents au cercle (Ci) puis le cercle colorié en vert tangent aux quatre cercles (C1), (C2), (C3) et (C4) et enfin les quatre cercles coloriés en rouge au Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest et Nord-Ouest du cercle (C) , tangents à ce cercle et à deux cercles de type Ci.

On obtient ainsi une mosaïque de 21 cercles.

Q1 Déterminer le rapport de la surface de ces 21 cercles à celle du cercle (C).

Q2 On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits. A l’étape n°4, le motif de chaque cercle (Ci),i = 1 à 4,devient celui de (C) à l’étape n°3 avec 21 cercles qui se substituent aux 4 cercles tracés précédemment. Par ailleurs à l’intérieur de chacun des 5 cercles coloriés en vert et en rouge, on trace à nouveau 4 cercles comme à l’étape n°2.Et ainsi de suite jusqu’à l’étape n°7.

Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.

Solution proposée par Gaston Parrour

Préambule

La figure ci-contre correspond à l'étape 3 (les 4 petits cercles à l'intérieur des 4 grands ne sont pas représentés ici)

[C]

Calcul des rayons des petits cercles présents à chaque étape Etape 1 le cercle [C] r1 = R = 1

Etape 2 4 cercles La symétrie de la figure construite montre :

- la droite des centres des paires de cercles opposés passe par O

- la tangente commune à 2 cercles consécutifs et passant par O, telle que ( O A) : est perpendiculaire à leur droite des centres ( telle que (O1 O4) au point T) fait un angle de 45° avec une droite des centres voisine

(comme O A avec la droite des centres (O O4) ) Ainsi un triangle tel que O T O4 est rectangle isocèle

On en déduit O O4 = sqrt(2) r2 où r2 est le rayon commun aux 4 cercles de cette étape 2 Et aussi O O4 = R – r2

d'où r2 = R (sqrt(2) -1) (1) et avec ici avec R = 1

==> les 4 cercles de l'étape 2 ont pour rayon commun r2 = (sqrt(2) – 1) Etape 3 4 cercles à l'intérieur des 4 cercles [Ci] précédents (chacun jouant le rôle de [C]) 4 ''petits'' cercles dans chacun des angles précisés dans l'énoncé

1 ''petit'' cercle central

N.B. Pour ces 21 petits cercles d'origine différent, le calcul de leur rayon doit être spécifique à chaque famille O4 O

o'4 O1

O2

O3 T

o'3 h A h'

[C4]

[C1]

(2)

(a) les 16 petits cercles dans les 4 cercles de l'étape 2 ont tous même rayon r3

r3 s'obtient à partir du même passage qui a fourni r2 à partir de r1 = R (voir (1) ci-dessus) Donc r3 = r2 (sqrt(2) – 1) → r3 = (sqrt(2) – 1)²

(b) les 5 nouveaux petits cercles

→ rayon des 4 cercles colorés en rouge tangents aux 4 cercles Ci de l'étape 2

N.B. Avec les notations de la figure, on raisonne ici à partir des cercles [C1] et [C4]

La perpendiculaire à (O O4) en O4 coupe le cercle [C4] en h et le rayon OA en o'4 Dans le triangle rectangle isocèle O O4 o'4 → O4 o'4 = O O4 = sqrt(2) r2 (r2 étape 2) et o'4 h = O4 o'4 – r2 = r2 (sqrt(2) – 1) → o'4h = (sqrt(2) -1)² , et par symétrie par rapport au rayon OA de [C] ,

au point h sur [C4] correspond le point h' sur [C1] → o'4h' = o'4h Distance de o'4 à A o'4 A = OA – O o'4 OA = R = 1

et dans triangle rectangle isocèle O O4 o'4 O o'4 = 2 OT = 2 O4T = 2r2 → o'4 A = 1 – 2r2 = 3 – 2sqrt(2) = (sqrt(2) – 1)²

==> les points A h et h' sont sur le cercle de centre o'4 et de rayon r3 = (sqrt(2) – 1)² N.B. Ce cercle, tangent aux trois cercles [C] [C1] [C4] , - puisque les points A , h et h' sont sur les

droites des centres (respectivement (O o'4) (O1 o'4) et (O4 o'4) ) -, est le cercle rouge compris entre [C1] et [C4]

→ rayon du cercle vert central

Le rayon du cercle vert qui par raison de symétrie est tangent simultanément aux 4 cercle [Ci] est r'3 = R – 2r2 (sur droite (O O4) )

donc r'3 = r3 = (sqrt(2) – 1) ² DONC bien que d'origine diverse :

==> les 21 cercles de l'étape 3 ont pour rayon commun → r3 = (sqrt(2) – 1)²

N.B. On vérifie directement que si on conserve l'homogénéité en notant R le rayon du cercle [C], le rayon commun à l'étape 3 est → r3 = R (sqrt(2) - 1)²

Q1 Déterminer le rapport de la surface de ces 21 cercles à celle du cercle [C]

Soit R3 le rapport demandé à cette étape 3.

Avec ce qui précède :

l'aire des 21 petits cercles 21 x PI x (sqrt(2) – 1)⁴ , rapportée à PI (aire de [C] de rayon 1), conduit à ==> R3 = 0,6181 … R3 ≈ 62%

On poursuit étape après étape la construction de la mosaïque avec des cercles de plus en plus petits jusqu’à l’étape n°7.

Q2 Dénombrer le nombre de petits cercles obtenus à cette étape et déterminer le rapport de leur surface totale à celle du cercle (C) en % arrondi à l’entier le plus proche.

Rayon des petits cercles présents à l'étape p

Le passage de l'étape 2 à l'étape 3 montre que le rayon commun des cercles présents passe de r2 =(sqrt(2) – 1) à r3 = (sqrt(2) – 1)²

Ceci est vrai en particulier lors du passage d'un grand cercle étape 2 à ''4 petits'' étape 3.

D'autre part, la démonstration de l'égalité du rayon des 5 cercles rouge/vert à celui des nouveaux ''4 petits'' cercles ne dépend pas du rang des étapes considérées

==> quel que soit le rang de l'étape considérée, l'ensemble des petits cercles présents sont de même rayon De la même façon qu'on obtient r3 en (a) ci-dessus on a donc à l'étape p

rp = (sqrt(2) - 1)^(p-1) pour la valeur du rayon commun des petits cercles présents Nombre de petits cercles présents à l'étape 7

L'étape 3 montre que les 21 cercles, bien que tous de même rayon, sont d'origine diverse.

Pour faire leur décompte étape par étape, il faut tenir compte de cela.

Remarquons (dès l'étape 3), qu'on a affaire, à une étape donnée, à des groupements par 4 et à des singletons.

Alors d'une étape à l' étape suivante :

- chaque groupement par 4 va générer : 4 groupements par 4 et 5 singletons, - chaque singleton va générer 1 groupement par 4

(3)

Ainsi pour le passage de l'étape 3 à l'étape 4 ( Etape 2 ) Etape 3 Etape 4

(4 grands cercles ) → 4 de 4 → 4x4 de 4 soit 16 de 4 4x5 de 1 soit 20 de 1

5 de 1 → 5 de 4 donc 5 de 4

Bilan à l'étape 4 nombre total de petits cercles présents N4 = 104 qui se distribuent en 21 groupements par 4 et 20 singletons

En poursuivant et en distinguant à chaque nouvelle étape le nombre de groupements par 4 et le nombre de singletons, on a ainsi successivement :

Etape 4 Etape 5

21 de 4 → 21x4 de 4 soit 84 de 4 21x5 de 1 soit 105 de 1 20 de 1 → 20 de 4 donc 20 de 4

Bilan à l'étape 5 nombre total de petits cercles présents N5 = 521 qui se distribuent en 104 groupements de 4 et 105 singletons

Etape 5 Etape 6

Etape 6 Etape 7

Conclusion de Q2

A l'étape n = 7 il y a 13021 petits cercles présents

L'aire totale de ces petits cercles, égale à 13021 x PI x (sqrt(2) – 1)^2(n-1) , rapportée celle du cercle [C]

initial de rayon R = 1, conduit à

R7 = 13 021 x (sqrt(2) – 1)¹² = 0,3321 R7 ≈ 33%

Commentaire sur ce résultat :

Bien que le nombre de petits cercles à l'étape 7 (13 021) soit grand devant celui obtenu à l'étape 3 (21), on observe que R7 est presque la moitié de R3.

En fait on voit qu'à chaque passage d'un ''grand cercle générateur'' à un groupe de 4 à l'étape suivante, l'aire totale de ces 4 nouveaux petits cercles est bien sûr inférieure à celle du cercle auquel ils sont tangents

intérieurement.

Mais à cette nouvelle aire de 4 petits cercles s'ajoute (statistiquement) 5/4 de l'aire d'un nouveau petit cercle (singleton ci-dessus).

Un calcul direct montre alors que l'aire totale précédente reste inférieure à celle du ''grand cercle'' générateur → D'où la décroissance de Rp en fonction du rang p de l'étape considérée