Feuille d'exercices 16. Intégration sur un segment
Exercice I.
Trouver une primitiveF def dénie parf(x) =x2ex. (On chercheraa,b etc tels queF(x) = (ax2+bx+c)ex)
Exercice II.
Justier l'existence des intégrales suivantes, puis les calculer : I1=
Z 5 2
−10t4+ 4t3−5t+ 4
dt I2= Z 1
−1
t3−t2+ t 2 −1
dt I3= Z 12
−13
−t3−t2+ 1 dt
I4= Z x
0
t2+xt+x2
dt I5= Z x2
x
t3−2xt2+x2t−1
dt I6= Z 1
2
lnx
x dx I7= Z 4
2
dx x(lnx)2 I8=
Z 1 0
2t2
√1 + 5t3dt I9= Z ln(5)
0
et
et+ 1dt I10= Z −3
0
tet2dt I11= Z 2
−4
|x|dx I12=
Z 3
−1
|x2−3x+ 2|dx I13= Z 2
−1
|2x2+ 3x+ 1|dx
Exercice III.
Justier l'existence des intégrales suivantes, puis les calculer : I1=
Z e 1
ln(t)dt I2= Z x
1
tln(t)dt I3= Z 14
1 2
tln(t)dt I4= Z 1/2
0
ln(1−t)dt I5= Z 5
0
t2e−tdt
Exercice IV.
1. Soitk∈N∗. Donner un encadrement de 1
t sur[k;k+ 1], et en déduire un encadrement deZ k+1 k
dt t . 2. En déduire que 1
k+ 1 ≤ln(k+ 1)−ln(k)≤ 1 k. 3. Pourn∈N∗, minorerSn=
n
X
k=1
1
k, et retrouver la divergence de la série associée.
Exercice V.
Etudier la monotonie des suites de terme général : In=
Z 1 0
tne
√tdt In= Z n
0
e−t2dt Jn= Z 1/n
0
(et2−3)dt Kn= Z −1
0
en2x2dx An= Z 1/n
1
(lnx)2dx
Exercice VI.
Déterminer l'intervalle sur lequel les fonctions suivantes sont de classeC1, et calculer leur dérivée : g(x) =
Z x 1
dt
t2−2t−3 h(x) = Z x
1
tln|t|dt k(x) = Z x2
x
dt tlnt r(x) =
Z x2 0
e
√tdt r(x) = Z 1
x2
dt
lnt s(x) = Z x2
1/x
ln(t)dt
Exercice VII.
Soit la fonctionF dénie sur ]0; +∞[parF(x) = Z x
1
et tdt. 1. Etudier les variations deF, et montrer que lim
x→0+F(x) =−∞. 2. Calculer lim
t→+∞
et
t . En déduire la limite deF en+∞.
1
Exercice VIII.
Vérier que la fonctionu:x7−→ x
x+ 1 est de classeC1sur[1; 2]. En déduire, à l'aide d'un changement de variable bien choisi, la valeur deZ 2
1
1 x(x+ 1)ln
x x+ 1
dx.
Exercice IX.
Soit, pour toutn∈N,In= Z 1
0
tn√
1−t dt.
1. Montrer que la suite(In)n∈Nest décroissante minorée. Que peut-on en déduire ? 2. Montrer que∀n∈N, 0≤In≤ 1
n+ 1. En déduire la limite de la suite.
3. Intégrer par partiesIn+1 et l'exprimer en fonction deIn. 4. En déduire l'expression deIn en fonction den.
Exercice X.
Soit, pour toutn∈N,In= 1 n!
Z 1 0
tne−tdt. 1. Montrer que∀n∈N, 0≤In≤ 1
(n+ 1)!. En déduire lim
n→+∞In. 2. CalculerI0, puis montrer que∀n∈N, In+1=In− 1
e(n+ 1)!. 3. En déduire que∀n∈N, In= 1−1
e
n
X
k=0
1
k!, et retrouver la valeur de X
k≥0
1 k!.
Exercice XI.
Soit la fonctionF dénie parF(x) = Z x
0
dt 1 +t2.
1. Justier queF estC1 surR, impaire, et étudier son signe et ses variations surR.
2. Montrer que ∀t≥0, 1
(1 +t)2 ≤ 1
1 +t2 ≤ 2
(1 +t)2, puis que ∀x≥0, Z x
0
dt
(1 +t)2 ≤F(x)≤2 Z x
0
dt (1 +t)2. 3. CalculerZ x
0
dt
(1 +t)2. Que peut-on en déduire pour le comportement asymptotique deF? 4. On poseG(x) =F(x) +F
1 x
.
a. Montrer queGest dérivable surR∗+, et calculerG0(x). Quelle remarque peut-on faire ? b. En déduire que lim
x→+∞F(x) = 2F(1).
Exercice XII.
Calculer les limites des suites de terme général suivant :
un=
n
X
k=1
1
n+k vn= 1 n
n−1
X
k=1
k n
2
s 2 +
k n
3 wn=
n
X
k=1
k2
nα, suivant la valeur du réelα.
Exercice XIII.
1. Soitx∈R. Montrer par récurrence surn∈NqueZ x 0
(x−t)n
n! etdt=ex−
n
X
k=0
xk k!
2. En déduire que
ex−
n
X
k=0
xk k!
≤ ex
(n+ 1)!. Quelle est la somme de la série de terme général xn n! ? 2
Exercice XIV.
1. Soit la fonctionf dénie par f(x) =
( x2+ 4x−3, si−2≤x <1
−5x+ 2, si1≤x≤3 a. Justier quef est continue par morceaux.
b. Calculer alors l'intégrale I= Z 3
−2
f(x)dx.
2. Soit la fonctionf dénie par f(x) =
0, six≤ −1
2, si−1< x≤0
−2x3+ 4x2+ 1, si0< x≤2
0, six >2
a. Justier quef est continue par morceaux.
b. Calculer alors l'intégrale I= Z −3
4
f(x)dx.
3. Soit la fonctionf dénie par f(x) =
xex, si0≤x≤2 3x+ 4, si2< x≤3 2x2−1, si3< x≤5 a. Justier quef est continue par morceaux.
b. Calculer alors l'intégrale I= Z 5
0
f(x)dx.
3
