Exercices sur l'intégration sur un segment

(1)

Intégration sur un segment

Continuité uniforme

Exercice 1 [ 01818 ][correction]

Montrer quex7→√

xest uniformément continue surR⁺.

Montrer quex7→lnxn’est pas uniformément continue surR^+?.

Montrer quex7→xlnxest uniformément continue sur ]0,1].

Soitf :R⁺→Runiformément continue. Montrer qu’il existe des réels positifsa etb tels que

∀x>0,|f(x)|6ax+b

Soitf : [0,1[→Runiformément continue. Montrer que f est bornée.

Soitf :R⁺→Rcontinue et tendant vers 0 à l’infini.

Montrer quef est uniformément continue.

Soitf :R^+?→Rune fonction uniformément continue vérifiant

∀x >0, f(nx)−−−−→

n→∞ 0 Montrer quef converge vers 0 en +∞.

Fonctions continues par morceaux

Soitf : [a, b]→Rune fonction en escalier.

Montrer qu’il existe une subdivisionσdu segment [a, b] adaptée àf telle que toute autre subdivision adaptée àf soit plus fine queσ.

La fonctiont7→sin¹_t si t >0 et 0 sit= 0 est-elle continue par morceaux sur [0,1] ?

Calcul d’intégrales

Calculer les intégrales suivantes : a)

Z 2 1

dt t² b)

Z 1 0

dt 1 +t² c)

Z 1/2 0

√ dt 1−t²

Z 2π 0

cos²tdt b) Z 2

1

lntdt c) Z 1

0

√ t

1 +t²dt

Pourm, n∈N, calculer

Im,n= Z 2π

0

cos(mt) cos(nt) dt

Démontrer que, pour toutQ∈R[X], Z 1

−1

Q(t) dt=−i Z π

0

Q(e^iθ)e^iθdθ

(2)

Soitλun réel tel que |λ| 6= 1 a) Etudier la fonction

f_λ(x) = sinx

√1−2λcosx+λ² b) Calculer

Z π 0

f_λ(x) dx

Calculer

I= Z π/4

0

ln(1 + tanx) dx

Calcul de primitives

Déterminer les primitives suivantes : a)

Z

te^t²dt b) Z lnt

t dt c) Z dt

tlnt

Z

costsintdt b) Z

tantdt c) Z

cos³tdt

Z t²

1 +t³dt b)

Z t

√

1 +t²dt c) Z t

1 +t⁴dt

Z dt it+ 1 b)

Z

e^tcostdt c) Z

tsinte^tdt

Soitλ∈C\R,a= Re(λ) etb= Im(λ). Etablir Z dt

t−λ = ln|t−λ|+iarctan t−a

b

+C^te

Intégration par parties

Z

tlntdt b) Z

tarctantdt f) Z

tsin³tdt

Z

(t²−t+ 1)e^−tdt b) Z

(t−1) sintdt c) Z

(t+ 1)chtdt

Z 1 0

ln(1 +t²) dt b) Z e

1

tⁿlntdt(avecn∈N) c) Z e^π

1

sin(lnt) dt

Z 1 0

arctantdt b) Z 1/2

0

arcsintdt c) Z 1

0

tarctantdt

Calculer

Z 1 0

ln(1 +t²) dt

(3)

Soient (a, b)∈R²,µ∈R^+? etf ∈ C²([a, b],R) telles que

∀x∈[a, b],|f⁰(x)|>µetf⁰ monotone Montrer :

Z b a

e^2iπf(t)dt

6 1 µπ

Changement de variable

Déterminer les primitives suivantes en procédant par un changement de variable adéquat :

a)

Z dt

√t+√ t³ b)

Z lntdt t+t(lnt)² c)

Z e^2tdt e^t+ 1

Déterminer

Z dt t√

t²−1

Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat : a)

Z e 1

dt

t+t(lnt)² b) Z e

1

dt t√

lnt+ 1 c) Z 1

0

dt e^t+ 1

Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat a)

Z 1 0

p1−t²dt b) Z 1

0

t²p

1−t²dt c) Z 2

1

lnt

√tdt

a) Observer

Z π/4 0

ln(cost) dt= Z π/4

0

ln cosπ 4 −t

dt b) En déduire

Z π/4 0

ln(1 + tant) dt

a) Montrer que Z π/2

0

cost

cost+ sintdt= Z π/2

0

sint

cost+ sintdt=π 4 b) En déduire

Z 1 0

√ dt

1−t²+t

Soitf : [a, b]→Rcontinue telle que

∀x∈[a, b] ,f(a+b−x) =f(x) Montrer que

Z b a

xf(x) dx= a+b 2

Z b a

f(x) dx

a) Soitf ∈ C([0,1],R). Etablir Z π

0

tf(sint) dt= π 2

Z π 0

f(sint) dt b) En déduire la valeur de

In = Z π

0

xsin²ⁿ(x)

sin²ⁿ(x) + cos²ⁿ(x)dx

(4)

a) Etudier les variations de la fonctionx7→3x²−2x³. b) Soitf : [0,1]→Rcontinue. Montrer

Z 3/2

−1/2

f(3x²−2x³) dx= 2 Z 1

0

f(3x²−2x³) dx

Pouraet bdes réels tels queab >0, on considère I(a, b) =

Z b a

1−x² (1 +x²)√

1 +x⁴dx

a) CalculerI(−b,−a),I(1/a,1/b) et I(1/a, a) en fonctionI(a, b).

b) Poura, b >1, calculer I(a, b) via changement de variables v=x+ 1/xpuis v= 1/t.

c) Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour touta, btels queab >0.

Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable ad hoc : a)

Z π 0

sint

3 + cos²tdt b) Z 2

1

√ dt

t+ 2t c) Z 2

1

ln(1 +t)−lnt

t² dt

Calculer

Z

√3

0

arcsin 2t

1 +t²

dt

Intégrales fonctions des bornes

Soitf :R→Rune fonction continue.

Justifier que les fonctionsg:R→Rsuivantes sont de classeC¹ et exprimer leur dérivée :

a)g(x) = Z x²

2x

f(t) dt b)g(x) = Z x

0

x f(t) dt c)g(x) = Z x

0

f(t+x) dt

Soitϕ:R→Rla fonction définie par : ϕ(t) = sht

t pourt6= 0 etϕ(0) = 1 Soitf :R→Rdéfinie par :

f(x) = Z 2x

x

ϕ(t) dt

a) Montrer quef est bien définie et étudier la parité def. b) Justifier quef est dérivable et calculerf⁰(x).

c) Dresser le tableau de variation def.

Soitf : [0,1]→Rcontinue. On définitF : [0,1]→Rpar F(x) =

Z 1 0

min(x, t)f(t) dt a) Montrer queF est de classeC² et calculerF⁰⁰(x).

b) En déduire

F(x) = Z x

0

Z 1 u

f(t) dtdu

Soitg:R→Rune fonction continue.

On pose, pour toutx∈R,

f(x) = Z x

0

sin(x−t)g(t) dt a) Montrer quef est dérivable et que

f⁰(x) = Z x

0

cos(t−x)g(t) dt

b) Montrer quef est solution de l’équation différentielley⁰⁰+y =g(x).

c) Achever la résolution de cette équation différentielle.

(5)

Soientf :R→Rde classeC¹et F :R^?→Rdéfinie par

∀x6= 0, F(x) = 1 2x

Z x

−x

f(t) dt

a) Montrer queF peut être prolongée par continuité en 0. On effectue ce prolongement.

b) Montrer queF est dérivable surR^? et exprimer F⁰(x) à l’aide d’une intégrale c) Montrer queF est dérivable en 0 et observerF⁰(0) = 0.

Soitf continue deRdansRtelle que

∀(x, y)∈R², f(x)−f(y) = Z 2y+x

2x+y

f(t) dt Montrer quef est de classeC¹et déterminerf.

Pourx∈]0,1[, on pose

ϕ(x) = Z x²

x

dt lnt

a) Montrer queϕest bien définie et que cette fonction se prolonge par continuité en 0 et en 1.

b) En déduire la valeur de

Z 1 0

x−1 lnx dx

Soit

f(x) = Z x²

x

dt lnt

a) Calculer les limites def en 0⁺ et +∞, la limite en +∞def(x)/xet montrer quef(x) tend vers ln 2 quand xtend vers 1.

b) Montrer quef est de classeC^∞surR^+? mais qu’elle ne l’est pas surR⁺. c) Etudier les variations def et tracer sa courbe représentative.

a) Montrer que la fonction

f :x7→

Z 2x x

e^t t dt est définie et dérivable surR^?.

b) Déterminer la limite def en 0.

Soit

f :x∈R^?7→

Z 2x x

cht t dt

a) Etudier la parité def. On étudie désormaisf sur ]0,+∞[.

b) Prolongerf par continuité en 0.

c) Montrer quef est de classeC¹ surR⁺. d) Branches infinies, allure.

Soientf ∈ C¹(R,R) etg:R^?→Rdéfinie par g(x) = 1

x Z x

0

f(t) dt a) Prolongergpar continuité en 0.

b) Montrer que la fonction ainsi obtenue est de classeC¹ surR.

Etude et graphe de la fonction x7→

Z 2x x

√ dt

1 +t²+t⁴

On préciser le comportement de la fonction quandx→0 et quandx→ ±∞.

Pour toutx∈[1,+∞[, on pose F(x) =

Z x 1

√ t

t³−1dt

(6)

a) Montrer que la fonctionF est bien définie, continue sur [1,+∞[ et de classe C^∞ sur ]1,+∞[.

Exprimer sa dérivéeF⁰(x)

b) Etudier la dérivabilité deF en 1. Préciser la tangente au graphe deF en 1.

c) Etudier la limite deF en +∞.

d) Justifier queF réalise une bijection de [1,+∞[ sur un intervalle à préciser.

e) Justifier queF⁻¹est dérivable sur ]0,+∞[ et solution de l’équation différentielle yy⁰ =p

y³−1 f) Etudier la dérivabilité deF⁻¹ en 0.

Sommes de Riemann

Déterminer les limites des suites définies par le terme général suivant : a)

n

X

k=1

n

n²+k² b)

n

X

k=1

k

n²+k² c)

n

X

k=1

√ 1

n²+ 2kn

En faisant apparaître une somme de Riemann, déterminer un équivalent simple de Sn=

n

X

k=1

√ k

Déterminer la limite de la suite de terme général (2n)!

nⁿn!

_n¹

Etudier les limites de _n

Q

k=1

1 + ^k_n 1/n

et de _n

Q

k=1

1 + _n^k2

1/n

.

Calculer les limites de

n

X

k=1

sin k

n

sin k

n²

et

n

X

k=1

sin² 1

√k+n lorsquen→+∞.

Sin∈N^? et x∈R, soit fn(x) =

n

P

k=1 sin(kx)

k .

Soitx_n le plus petit réel strictement positif en lequelf_n atteint un maximum local. Calculer limf_n(x_n).

Déterminer un équivalent quandn→+∞de un=

n

X

k=1

1 (n+ 2k)³

Etudier la suite suivante

u_n= r(1) +r(2) +· · ·+r(n) n²

avecr(k) le reste de la division euclidienne denpark.

Indice : étudier la suite suivante

vn= (n−r(1)) + (n−r(2)) +· · ·+ (n−r(n)) n²

a) Déterminer

n→+∞lim

2n

X

p=n+1

1 p b) Pourα >1, déterminer

n→+∞lim

2n

X

p=n+1

1 p^α

(7)

c) En déduire

n→+∞lim

2n

X

p=n+1

sin 1

p

a) Soitn∈N^?. Montrer que

X²ⁿ−1 = (X²−1)

n−1

Y

k=1

(X²−2Xcoskπ n + 1) b) Soit un réela6=±1 ; déduire de a) la valeur de

Z π 0

ln(a²−2acost+ 1) dt

Formules de Taylor

Enoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégrale.

Etablir que pour toutx∈[0, π/2], x−1

6x³6sinx6x−1

6x³+ 1 120x⁵ Exercice 64 [ 03217 ][correction]

[Egalité de Taylor-Lagrange]

Soientf :I→Ret a∈I. Montrer que sif est de classeCⁿ⁺¹ alors

∀x∈I,∃c∈I, f(x) =

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n+ 1)! (x−a)ⁿ⁺¹

Montrer que pour toutn∈Net toutx∈R

e^x−

n

X

k=0

x^k k!

6|x|ⁿ⁺¹e^|x|

(n+ 1)!

En déduire

n→∞lim

n

X

k=0

x^k k!

En appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange à la fonctionx7→ln(1 +x) entre 0 et 1, montrer que :

1−1 2 +1

3−1

4 +· · ·+(−1)ⁿ⁻¹

n −−−−−→

n→+∞ ln 2

En exploitant une formule de Taylor adéquate établir

n→+∞lim

n

X

k=0

(−1)^k k+ 1 = ln 2

Soitg: [0,1]→Rune fonction continue.

Déterminer les fonctionsf : [0,1]→R, deux fois dérivables, telles que f(0) =f(1) = 0 etf⁰⁰=g

Soientf :R→Rde classeC²et a∈R. Déterminer

h→0lim

f(a+h)−2f(a) +f(a−h) h²

Soitf :R→Rde classeC². On suppose

f(x), f⁰⁰(x)−−−−−→

x→+∞ 0 Montrer que

f⁰(x)−−−−−→

x→+∞ 0

(8)

Soientf : [0,1]→Rune application de classeC² et Sn=

n

X

k=1

f(k/n²)−nf(0) Déterminer la limite de la suite (Sn).

Soitf :R→Rde classeC² telle quef⁰⁰(0)6= 0.

a) Montrer que, pour chaquex∈R^?, il existeθ∈]0,1[ vérifiant la relation f(x) =f(0) +xf⁰(θx)

b) Montrer qu’au voisinage de 0 ceθest unique.

c) Déterminer la limite deθquand x→0.

a) Montrer, pour toutx∈]0, π/2[, l’existence deθx∈]0,1[ tel que sinx=x−x³

6 cos(xθx)

b) Etudier la limite deθ_x quandxtend vers 0 par valeur supérieure.

Soientn∈N^? et ϕ:R→Rune fonction de classeCⁿ telle que ϕ(x) =

x→0o(xⁿ) a) Montrer que

∀06p6n, ϕ^(p)(x) =

x→0o(x^n−p) b) On introduitψ:R→Rdéfinie par

ψ(x) =

ϕ(x)/x six6= 0

0 sinon

Montrer que

∀06p < n, ψ^(p)(x) =

x→0o(x^n−p−1)

En déduire queψ est de classeCⁿ⁻¹ surR.

c) Soientf :R→Rde classeCⁿ et g:R→Rdéfinie par g(x) =

_f(x)−f(0)

x six6= 0 f⁰(0) sinon Montrer queg est de classeCⁿ⁻¹.

d) Soientf, g:R→Rde classeCⁿ telles que

f(0) = 0,g(x) = 0⇔x= 0 etg⁰(0)6= 0 Montrer quef /gest de classeCⁿ⁻¹.

Propriétés de l’intégrale

Soientf : [a, b]→Rune fonction continue par morceaux etc∈]a, b[.

Montrer que 1 b−a

Z b a

f(t) dt6max 1 c−a

Z c a

f(t) dt, 1 b−c

Z b c

f(t) dt

!

Soitf : [a, b]→Rcontinue. Montrer

Z b a

f(t) dt

= Z b

a

|f(t)|dtsi, et seulement si, f >0 ouf 60

f étant continue sur [a, b] et à valeurs dans R, trouver une condition nécessaire et suffisante pour que

Z b a

f(x) dx

= Z b

a

|f(x)|dx

Soient (a, b)∈R²aveca < bet f ∈ C⁰([a, b],C).

A quelle condition portant surf a-t-on

Z b a

f

= Z b

a

|f|?

(9)

Soitf : [0,1]→Rcontinue telle que Z 1

0

f(t) dt= 1 2 Montrer quef admet un point fixe.

Soitf : [a, b]→Rune fonction continue.

Montrer :

∃c∈]a, b[, 1 b−a

Z b a

f(t) dt=f(c)

[Formule de la moyenne]

Soientf, g: [a, b]→Rcontinues avec g>0.

Montrer qu’il existec∈[a, b] tel que Z b

a

f(t)g(t) dt=f(c) Z b

a

g(t) dt

[Seconde formule de la moyenne]

Soientf, g: [a, b]→Rdeux fonctions continues avec f décroissante et positive.

a) Pourn∈N^?, on pose Sn=

n−1

X

k=0

f(ak) Z a_k+1

a_k

g(t) dtavecak =a+k(b−a) n Montrer que

Sn −−−−−→

n→+∞

Z b a

f(t)g(t) dt b) On introduitGla primitive deg s’annulant ena.

Montrer que

f(a) min

[a,b]

G6Sn6f(a) max

[a,b]

G

c) En déduire qu’il existec∈[a, b] vérifiant Z b

a

f(t)g(t) dt=f(a) Z c

a

g(t) dt d) Soientf, g: [a, b]→Rcontinues avec f monotone.

Montrer qu’il existec∈[a, b] tel que Z b

a

g(t) dt+f(b) Z b

c

g(t) dt

Soitf une fonction réelle de classeC¹ positive et décroissante surI= [a, b].

Soitgune fonction continue surI. On définitG:I→Rpar la relation G(x) =

Z x a

g(t) dt a) Montrer qu’il existem, M ∈Rtel que

G([a, b]) = [m, M]

b) Montrer que Z b

a

f(t)g(t) dt=f(b)G(b)− Z b

a

f⁰(t)G(t) dt c) En déduire qu’il existec∈[a, b] tel que

Z b a

a

g(t) dt

Soitf : [0, π]→Rcontinue.

a) Montrer que si

Z π 0

f(t) sintdt= 0 alors il existea∈]0, π[ tel quef s’annule ena.

b) Montrer que si

Z π 0

f(t) sintdt= Z π

0

f(t) costdt= 0 alorsf s’annule 2 fois sur ]0, π[.

(indice : on pourra regarderRπ

0 f(t) sin(t−a) dt).

(10)

Soient (a, b)∈R² tel quea < b,f : [a, b]→Rcontinue etn∈Ntelle que

∀k∈ {0,1, ..., n}, Z b

a

t^kf(t) dt= 0 Montrer que la fonctionf s’annule au moinsn+ 1 fois sur [a, b].

Soitf : [a, b]→R. Montrer que la fonction x7→

Z b a

f(t) sin(xt) dt est lipschitzienne.

Soientf : [0,1]→Rcontinue telle que Z 1

0

f(t) dt= 0 mle minimum def etM son maximum.

Prouver

Z 1 0

f²(t) dt6−mM

Soientf et gdeux fonctions croissantes et continues sur [0,1]. Comparer Z 1

0

f(t)g(t) dtet Z 1

0

f(t) dt

× Z 1

0

g(t) dt

Limites d’intégrales

Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales correspondantes :

a) lim

x→0⁺

Z x

−x

sint²dt b) lim

x→+∞

Z 2x x

dt

lnt c) lim

x→+∞

Z 2x x

sint t dt Exercice 90 [ 00286 ][correction]

Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales correspondantes :

a) lim

x→0⁺

Z 2x x

e^tdt

t b) lim

x→+∞

Z 2x x

e^1/t

t dt c) lim

x→+∞

Z 2x x

cos(1/t) t dt Exercice 91 [ 01976 ][correction]

Soitf : [0,1]→Rcontinue. Montrer que Z 1

0

tⁿf(t) dt−−−−→

n→∞ 0 Exercice 92 [ 01977 ][correction]

Soitf :R⁺→Rcontinue. Déterminer lim

x→0⁺

1 x

Z x 0

f(t) dt

Utilisation de primitives

Soitf : [0,1]→Rcontinue vérifiant Z 1

0

f(t) dt= 0 Montrer qu’il existex∈]0,1[ vérifiant

Z x 0

tf(t) dt= 0

Soitf :R→Rcontinue etT >0. On suppose que Z x+T

x

f(t) dt=C^te Montrer quef est périodique.

(11)

Soitf : [0,1]→Rcontinue. Montrer quef possède une unique primitiveF telle que

Z 1 0

F(t) dt= 0

Inégalité de Cauchy-Schwarz

[Inégalité de Poincaré]

Soitf ∈ C¹([0,1],R) avecf(0) = 0.

a) Montrer que

Z 1 0

f(t)²dt6 1 2

Z 1 0

f⁰(t)²dt b) Sif(1) = 0, améliorer l’inégalité obtenue en a).

Suites dont le terme général est défini par une in- tégrale

Pourpetqentiers naturels, on pose : I_p,q =

Z b a

(t−a)^p(b−t)^qdt a) Former une relation de récurrence liantIp,q etI_p+1,q−1. b) Donner une expression deIp,q à l’aide de factoriels.

[Intégrales de Wallis]

Pourn∈N, on pose

In= Z π/2

0

sinⁿtdt a) Montrer queIn=Rπ/2

0 cosⁿtdt etIn>0 b) Montrer que pour toutn∈N, on a

In+2=n+ 1 n+ 2In

c) Donner une expression deIn à l’aide de factoriels en distinguant les casn= 2p etn= 2p+ 1.

d) Etablir que pour toutn∈N,

(n+ 1)I_n+1I_n=π

2 et I_n+26I_n+16I_n e) Déterminer un équivalent deIn.

On pose, pourn∈N

I_n = Z 1

0

(1−x)ⁿ n! e^xdx a) Montrer que la suite (In) tend vers 0.

b) Montrer que

In= 1

(n+ 1)!+In+1

c) En déduire que

e = lim

n→∞

n

X

k=0

1 k!

Pourn∈N, on pose

In= Z e

1

(lnx)ⁿdx a) CalculerI₀et I₁.

b) Etablir une relation liantI_n etI_n+1. c) En déduire que

∀n∈N, 0< I_n < e n+ 1 d) Déterminer la limite puis un équivalent simple de (In) . e) Soit (un) une suite réelle définie par

u0=aet∀n∈N, un+1= e−(n+ 1)un

On suppose quea6=I₀, montrer, en étudiantD_n=|un−I_n|, que|un| →+∞.

(12)

Soientn∈Net x∈]0, π[.

a) Justifier l’existence de In =

Z π 0

cos(nt)−cos(nx) cost−cosx dt

b) ExprimerI_n. On pourra commencer par calculerI_n+1+I_n−1.

Pourn∈N, on pose

un= Z 1

0

dx 1 +xⁿ a) Calculeru0, u1, u2.

b) Montrer que (un) est une suite strictement croissante.

c) Montrer queun→1.

d) Etablir

∀n∈N^?, Z 1

0

xⁿdx 1 +xⁿ =ln 2

n − 1 n

Z 1 0

ln(1 +xⁿ) dx e) Montrer que

n→∞lim Z 1

0

ln(1 +xⁿ) dx= 0 et en déduire que

un= 1−ln 2 n +o

1 n

Pourp, q∈N, calculer

Ip,q = Z 1

0

t^p(1−t)^qdt

Pourn∈N, posons

I_n= Z π/2

0

(sint)ⁿdt

a) Pourn>2, former une relation de récurrence liantIn et I_n−2. b) En déduire l’expression deIn selon la parité du natureln.

Déterminer un équivalent lorsquen→+∞de I_n=

Z 1 0

t 1 +t²

n

dt

Soit

I_n = Z 1

0

xⁿ x+ 1dx a) Montrer queIn→0 en décroissant.

b) SimplifierIn+In+1 et en déduire une expression deIn à l’aide d’un symbole sommatoire.

c) Déterminer

lim

N→+∞

N

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n d) Exploiter

J_n= Z 1

0

xⁿ x²+ 1dx pour déterminer

lim

N→+∞

N

X

n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1

a) Calculer

Z 1 0

dt 1 +t² b) Etablir, pour toutn∈N

Z 1 0

n

X

k=0

(−1)^kt^2kdt= π 4 +

Z 1 0

(−1)ⁿt²ⁿ⁺² 1 +t² dt c) Justifier

06 Z 1

0

t²ⁿ⁺² 1 +t²dt6

Z 1 0

t²ⁿ⁺²dt= 1 2n+ 3 d) En déduire

n

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1 −−−−→

n→∞

π 4

(13)

Calcul de primitives de fonctions rationnelles

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble de validité :

a) x⁵

1 +x¹² b) 1

x(x²−1) c) x+ 1 x²−x+ 1

d) 1

x²−2x+ 2 e) x

x²+ 2x+ 2 f) 1 x(x²+ 1) g) 1

x³+ 1 h) x

x³−1 i) x⁴+ 1 x⁴−1

j) 1

x⁴+x²+ 1 k) 1

(x²+x+ 1)² l) 1 x⁴+ 1 Exercice 109 [ 01233 ][correction]

Z 1 0

dx

x²+x+ 1 b) Z 1

0

x

x³+ 1dx c) Z 1

0

arctanx (x+ 1)²dx Exercice 110 [ 01234 ][correction]

Soitn∈N^?. On désire déterminer la primitive surRs’annulant en 0 de la fonction f_n :x7→ 1

(1 +x²)ⁿ

a) Justifier l’existence et l’unicité de la fonction cherchée. Celle-ci est désormais notéeFn.

b) CalculerF1(x).

c) En procédant au changement de variablex= tanθ, déterminerF2(x).

d) En s’aidant d’une intégration par parties, former une relation de récurrence entreF_n+1(x) etF_n(x).

e) CalculerF₃(x).

Calcul de primitives ou d’intégrales se ramenant à une fonction rationnelle

a) 1

e^x+ 1 b) 1 e^2x+ e^x c) √

e^x−1 c) 1

√1 + e^2x

Calculer

Z 1 0

√ dx e^x+ 1

a) cosx

1 + cos²x b) sinx 1 + sin²x c) 1

cos⁴x d) 1

cos³x

Déterminer une primitive surRde la fonction x7→ 1

3 + cosx

Calculer pour toutx∈Rl’intégrale Z x

0

dt 3 + cos²t

Calculer : a)

Z π/2 0

dx

2 + cosx b) Z π/4

0

dx

1 + sinxcosx c) Z 2π

0

dx 1 + cos²x

(14)

Pourα∈]0, π[, calculer

Z π/2 0

sinα

1 + cosαcosxdx Exercice 118 [ 01241 ][correction]

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de validité :

a) thx

1 + chx b) chx 1 + ch²x c) chx

shx+ chx d) 1 ch³x Exercice 119 [ 01242 ][correction]

Calculer

Z 1 0

dx chx Exercice 120 [ 01243 ][correction]

a) x

1 +√

x+ 1 b) 1−√ x 1 +√

x c)

rx−1 x−2 Exercice 121 [ 01244 ][correction]

a) x+ 1

√

2−x² b) x

p(x−1)(3−x) c)p

x−x²+ 6 d) x+ 1

√x²+ 1 e) 1 x+√

1 +x² f)

√x²−1 x Exercice 122 [ 01245 ][correction]

Sur ]−1/2,+∞[, déterminer

Z dx (2x+ 1)√

x²+x+ 1

Z 3 1

√ dx

x(x+ 3) b) Z 2

0

√ dx

x+ 1(x+ 4) c) Z 1

−1

√ dx

1 +x+√ 1−x

(15)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

Poury>x>0,

(√ y−√

x)²=y+x−2√

xy6y−x

donc √

y−√ x6√

y−x Par symétrie

∀x, y>0,

√y−√ x

6p

|y−x|

Soitε >0. Considéronsη=ε²>0.

Pour toutx, y>0,

|y−x|6η⇒

√y−√ x

6p

|y−x|6√ η =ε La fonction racine carrée est donc uniformément continue.

Par l’absurde supposons quex7→lnxsoit uniformément continue surR^+?. Pourε= 1, il existeη >0 tel que

∀x, y >0, |y−x|6η⇒ |lny−lnx|6ε Poury=x+η,

|lny−lnx|= ln x+η

x

−−−−→

x→0⁺ +∞

Absurde.

Soitf : [0,1]→Rdéfinie par f(x) =

(xlnxsix6= 0 0 sinon

f est continue sur le segment [0,1], donc uniformément continue sur [0,1] et donc a fortiori sur ]0,1].

Pourε= 1>0 l’uniforme continuité assure l’existence d’unα >0 tel que

∀x, y∈R, |x−y|6α⇒ |f(x)−f(y)|61 Posonsn=bx/αc. On a|f(α)−f(0)|61,|f(2α)−f(α)|61,. . . ,

|f(nα)−f((n−1)α)|61 et|f(x)−f(nα)|61 donc en sommant

|f(x)−f(0)|6n+ 1 puis|f(x)|6bx/αc+ 1 +|f(0)|6ax+baveca= 1/α et b= 1 +|f(0)|.

Pourε= 1, il existeα >0 tel que

∀x, y∈[0,1[,|y−x|6α⇒ |f(y)−f(x)|61 Par suite, pour toutx∈[1−α,1[, on a|f(x)−f(1−α)|61 puis

|f(x)|61 +|f(1−α)|.

De plus, la fonctionf est continue donc bornée sur le segment [0,1−α] par un certainM.

On a alorsf bornée sur [0,1[ par max{M,1 +|f(1−α)|}.

Soitε >0. Il existe A∈R⁺ tel que

∀x>A,|f(x)|6ε/2 et alors

∀x, y∈[A,+∞[,|f(y)−f(x)|6ε(*)

De plus,f est continue sur [0, A] donc uniformément continue et il existeα >0 tel que

∀x, y∈[0, A],|y−x|6α⇒ |f(y)−f(x)|6ε(**) Soitx, y∈R⁺ avec|y−x|6α. On peut supposerx6y.

Six, y∈[0, A], on a|f(y)−f(x)|6εen vertu de (**)

Six, y∈[A,+∞[, on a à nouveau|f(y)−f(x)|6εcette fois-ci en vertu de (*).

Six∈[0, A] ety∈[A,+∞[, on a nécessairement|x−A|6α. (*) et (**) donnent alors

Autre méthode : on introduitg=f◦tan définie sur [0, π/2[ que l’on prolonge par continuité enπ/2. Ce prolongement est continue sur un segment donc

uniformément continue. Puisquef =g◦arctan avec arctan lipschitzienne, on obtientf uniformément continue !

(16)

Soitε >0. Puisquef est uniformément continue, il existe α >0 vérifiant

∀x, y >0,|y−x|6α⇒ |f(y)−f(x)|6ε

Considérons alors la suite (f(nα)). Puisque celle-ci converge vers 0, il existe N ∈Nvérifiant

∀n>N,|f(nα)|6ε PosonsA=N α. Pourx>A, il existe n>N vérifiant

|nα−x|6α et donc

|f(x)|6|f(x)−f(nα)|+|f(nα)|62ε On peut alors conclure quef converge vers 0 en +∞.

SoitAl’ensemble desn∈Ntel qu’il existe une subdivisionσ= (a0, . . . , an) adaptée àf.

Aest une partie non vide deN, elle possède donc un plus petit élémentp.

Il existe une subdivisionσ= (a₀, . . . , a_p) adaptée àf.

Montrons que toute subdivisionσ⁰ = (b₀, b₁, ..., b_n) adaptée àf est plus fine queσ.

Par l’absurde : supposons∃i∈ {1,2, ..., p−1} tel quea_i∈ {b/ ₀, b₁, . . . , b_n}.

On peut alors affirmer qu’il existej∈ {1,2, . . . , n}tel que a_i∈]b_j−1, b_j[.

Commeσetσ⁰ sont adaptées àf on peut affirmer quef est constante sur ]a_i−1, ai[,]ai, ai+1[ et ]b_j−1, bj[ puis quef est constante sur ]a_i−1, ai+1[.

Par suite la subdivisionσ⁰= (a0, . . . , a_i−1, ai+1, . . . , ap) est adaptée à f or cela contredit la définition dep.

Cette fonction n’a pas de limite en 0, elle n’est donc pas continue par morceaux.

Dans chaque cas la détermination d’une primitive est (assez) immédiate a)

Z 2 1

dt t² =

−1 t

2 1

=1 2

b)

Z 1 0

dt

1 +t² = [arctant]¹₀=π 4 c)

Z 1/2 0

√ dt

1−t² = [arcsint]^1/2₀ = π 6

a) En linéarisant Z 2π

0

cos²tdt= Z 2π

0

1 + cos 2t

2 dt=

t

2 +sin 2t 4

^2π

0

=π b) On connaît une primitive du logarithme ou l’on intègre par parties

Z 2 1

lntdt= [tlnt−t]²₁= 2 ln 2−1 c) On reconnaît une formeu⁰/√

u Z 1

0

√ t

1 +t²dt=hp

1 +t²i¹

0

=√ 2−1

Sim=n= 0 alors

In,n= Z 2π

0

dt= 2π Sim=n6= 0 alors

I_n,n= Z 2π

0

cos²(nt) dt= Z 2π

0

1 2+1

2cos(2nt) dt=π Sim6=n, en exploitant

cos(mt) cos(nt) = 1

2(cos(m+n)t+ cos(m−n)t) on obtient

Im,n=1 2

Z 2π 0

cos(m+n)tdt+1 2

Z 2π 0

cos(m−n)tdt=[sin(m+n)t]^2π₀

2(m+n) +[sin(m−n)t]^2π₀ 2(m−n) = 0

(17)

Par linéarité de l’intégrale, il suffit de vérifier la relation pourQ=Xⁿ avecn∈N. D’une part

Z 1

−1

Q(t) dt= 1

n+ 1tⁿ⁺¹ 1

−1

=1−(−1)ⁿ⁺¹ n+ 1 et d’autre part

Z π 0

Q(e^iθ)e^iθdθ= 1

i(n+ 1)e^i(n+1)θ ^π

0

=e^i(n+1)π−1 i(n+ 1) Sinest impair alors

Z 1

−1

Q(t) dt= 0 =−i Z π

0

Q(e^iθ)e^iθdθ Sinest pair alors

Z 1

−1

Q(t) dt= 2 n+ 1 et

Z π 0

Q(e^iθ)e^iθdθ= −2 i(n+ 1) et la relation voulue est encore vérifiée.

Une alternative plus courte, mais moins élémentaire consister à exploiter que la forme différentielle

ω(x, y) =Q(z) dz=Q(x+iy) (dx+idy)

est exacte et que donc son intégrale curviligne le long d’un pourtour fermée est nulle.

a) On peut écrire

1−2λcosx+λ²= (λ−cosx)²+ sin²x et par conséquent 1−2λcosx+λ²>0 pour toutx∈Rcar|λ| 6= 1.

La fonctionf_λ est donc définie surR. Elle est de classeC^∞, 2π-périodique et impaire. Nous limitons son étude à l’intervalle [0, π].

Le casλ= 0 est immédiat puisquef0(x) = sinx. On suppose dans la suiteλ6= 0.

On a

f_λ⁰(x) = cosx(1−2λcosx+λ²)−λsin²x (1−2λcosx+λ²)^3/2

f_λ⁰(x) est du signe de

λ²cos(x)−λ(1 + cos²x) + cosx= (λcosx−1)(λ−cosx)

Cette expression s’annule en changeant de signe pour cosx=λou cosx= 1/λ.

Pour|λ|<1,

x 0 arccosλ π

f_λ⁰(x) + 0 −

fλ(x) 0 % 1 & 0 Pour|λ|>1,

x 0 arccos 1/λ π

f_λ⁰(x) + 0 −

f_λ(x) 0 % 1/λ & 0 b) Pourλ= 0, on a

Z π 0

f₀(x) dx= Z π

0

sin(x) dx= 2

Pourλ6= 0, on peut directement calculer l’intégrale en reconnaissant une former u⁰/√

u. On obtient Z π

0

f_λ(x) dx= 1 λ

hp1−2λcosx+λ²iπ 0

= |1 +λ| − |1−λ|

λ Pour|λ|<1,

Z π 0

f_λ(x) dx= 2 Pour|λ|>1,

Z π 0

fλ(x) dx= 2

|λ|

La fonctionx7→ln(1 + tanx) est définie et continue sur [0, π/4] doncI existe.

ln(1 + tanx) = ln(cosx+ sinx)−ln(cosx) et cosx+ sinx=√

2 cos ^π₄ −x . Ainsi

I=πln 2

8 +

Z π/4 0

ln cosπ 4 −x

dx− Z π/4

0

ln(cosx) dx or

Z π/4 0

ln cos x−π

4

dx =

t=^π₄−x

Z π/4 0

ln cos(t) dt donc

I= πln 2 8

(18)

a) On reconnaît une formeu⁰e^u Z

te^t²dt=1

2e^t²+C^te b) On reconnaît une formeu⁰u

Z lnt t dt=1

2(lnt)²+C^te c) On reconnaît une formeu⁰/u

Z dt

tlnt = ln|lnt|+C^te

a) C’est une formeu⁰udonc Z

costsintdt= 1

2sin²t+C^te b) C’est une formeu⁰/udonc

Z

tantdt=−ln|cost|+C^te c) On se ramène à une formeu⁰u² via cos²t= 1−sin²t

Z

cos³tdt= Z

cost− Z

costsin²t= sint−1

3sin³t+C^te

Dans chaque cas on reconnaît une formeu⁰f(u) a)R t²

1+t³dt= ¹₃ln 1 +t³

+C^te sur ]−∞,−1[ ou ]−1,+∞[.

b)R _t

√

1+t²dt=√

1 +t²+C^te surR. c)R t

1+t⁴dt= ¹₂arctant²+C^te surR. Exercice 19 :[énoncé]

a) En isolant partie réelle et imaginaire Z dt

it+ 1 =1 i

Z dt t−i =−i

Z t+i t²+ 1dt

puis

Z dt

it+ 1 = arctant− i

2ln(t²+ 1) +C^te b) On observe

Z

e^tcostdt= Re Z

e^(1+i)tdt

et

Z

e^(1+i)tdt= 1

1 +ie^(1+i)t+C^te donc

Z

e^tcostdt= e^t

2(cost+ sint) +C^te c) On observe

Z

tsinte^tdt= Im Z

te^(1+i)tdt

et par intégration par parties Z

te^(1+i)tdt= t+i(1−t)

2 e^(1+i)t+C^te donc

Z

tsinte^tdt=e^t

2(tsint+ (1−t) cost) +C^te

On peut écrire 1

t−λ = t−a+ib

(t−a)²+b² = t−a

(t−a)²+b² +i b (t−a)²+b² or

Z t−a

(t−a)²+b²dt= 1 2ln

(t−a)²+b²

+C^te= ln|t−λ|+C^te et

Z b

(t−a)²+b²dt= arctant−a b +C^te puis la formule proposée.