Feuille d'exercices 6. Limite d'une suite

Feuille d'exercices 6. Limite d'une suite

Exercice I.

Calculer les limites éventuelles des suites dénies par : 1. un= ln(n) + 3n³+ 2n− 1

n 2. un=n²eⁿ+ 1

n−3 3. u_n= 2− 3

n² + 1 ln(n) 4. un= 21−n³

n²+ 1 5. u_n= 2n³−n²+ 5

1−n⁴

6. un= 3√

n⁴+ 1−√

8n⁴−1 7. u_n=√

4n³+ 2−2√ n³−1 8. un=n(√

n²−1−√

n²+ 3) 9. u_n= 1

√

n²+ 1− 1 n 10. un= (−1)ⁿ+

1 3

n

11. u_n= (−1)ⁿ+ 1 n−1

12. u_n= (−1)ⁿ+⁵₂

−3 +_n²2

13. un= 3ⁿ−(−2)ⁿ 14. un= 5ⁿ−2ⁿ+ (−6)ⁿ 15. u_n= aⁿ+bⁿ

aⁿ−bⁿ (a6=beta6=−b)

Exercice II.

On admet que ∀α >0,∀q >1,∀b >0, lim

n→+∞

qⁿ

n^α = +∞ et lim

n→+∞

(ln(n))^b n^α = 0. En utilisant, si besoin, ces résultats, déterminer les limites éventuelles des suites suivantes :

1. un=n⁵−3ⁿ

2. u_n=−3×4²ⁿ⁺¹+ 5×n¹¹ 3. un=n⁴−3n²−2n³ln(n)

4. un=n+ (−2)ⁿ−3ⁿ 5. u_n= n²+ 2ⁿ

(−3)ⁿ−1

Exercice III.

On considère la suiteu dénie par u0 = 1 et ∀n∈N, un+1 = 3u_n+ 1 2un+ 4. 1. Montrer que ∀n∈N, un≥0.

On introduit alors la suite auxiliaire t dénie par ∀n∈N, t_n= 2u_n−1 u_n+ 1. 2. Montrer que la suitetest géométrique.

3. Expliciter alorst_n en fonction den, puisu_n en fonction den. 4. En déduire la convergence de la suite uet donner sa limite.

Exercice IV.

Soit la suite vériant ∀n∈N, u_n+1=e√

u_n, avecu₀ >0. 1. Montrer que ∀n∈N, u_n>0.

On introduit la suite auxiliaire t dénie par ∀n∈N, t_n= lnu_n. 2. Justier que la suitet est arithmético-géométrique.

3. En déduire l'expression det_n en fonction denett₀ puis deu_n en fonction denetu₀. 4. En déduire la convergence de la suite uet donner sa limite.

1

Exercice V.

Soitu la suite vériant la relation ∀n∈N, un+2 =√

unun+1 avec u0 >0 et u1 >0. 1. Montrer que ∀n∈N, un>0

On considère alors la suite w dénie par ∀n∈N, wn= lnun.

2. Montrer que la suitew est récurrente linéaire d'ordre2 à coecients constants.

3. Expliciterwn en fonction den, w1, w0, puis en déduireun en fonction den,u1,u0. 4. Calculer alors la limite deu en +∞en fonction de u0 etu1.

Exercice VI.

Soita∈R+ etu la suite dénie pourn∈N^∗ par un= 1 + a

n n

. 1. Montrer que ∀t∈R+, t

1 +t ≤ln(1 +t)≤t. 2. Montrer alors que ∀n∈N^∗, na

n+a ≤lnu_n≤a.

3. En déduire la convergence des suites (lnu_n)n∈N et (u_n)n∈N. Exercice VII.

On considère la suiteu dénie par ∀n∈N, un+1= 2un

3u_n+ 1 etu0 = 1. 1. Montrer que ∀n∈N, 1

3 ≤u_n. 2. Montrer que ∀x≥ 1

3, 2x 3x+ 1 ≤ x

2 +1 6 3. En déduire que ∀n∈N, un+1 ≤ un

2 +1

6, puis que ∀n∈N, un≤ 1

3+ 1

3×2ⁿ⁻¹. 4. Déduire des questions précédentes que la suite uconverge et donner sa limite.

Exercice VIII.

Soitu la suite dénie par u_n+1= 2u²_n

1 + 5un et u₀≥0.

1. Montrer que ∀n∈N, un≥0. En déduire la monotonie deu.

2. La suite est-elle convergente ? 3. Montrer que ∀n∈N, u_n+1 ≤ 2un

5 puis que ∀n∈N, u_n≤ 2

5 n

u₀. 4. En déduire la limite de la suite.

Exercice IX.

On considère la suiteu dénie par : ∀n≥2, un+1=un

1− 1

n²

et u2 = 1

1. Montrer que ∀n∈N\{0; 1}, 0≤un≤1, puis donner la monotonie de la suiteu.

2. En déduire que la suiteu est convergente.

3. Montrer que ∀n≥2, u_n= n

2(n−1) et en déduire lim

n→+∞u_n.

2

Exercice X.

On pose, pour tout n≥1, u_n= X

n≤k≤2n

1 k. 1. Calculer u₁ etu₂.

2. Montrer que la suite(u_n)n∈N est décroissante, puis en déduire qu'elle converge.

3. Majorer et minoreru_n, puis en déduire un encadrement de sa limite.

Exercice XI.

Soit la suite(un)n∈N, dénie par la donnée deu0,u1,u2, et la formule de récurrence : un+1

4un−1+ 1

4 2

un−2+ 1

4 3

un−3= 0, pourn≥3. On pose M = max(|u₀|; 2|u₁|; 4|u₂|).

1. Montrer que ∀n∈N, |u_n| ≤ M 2ⁿ.

2. En déduire la convergence de la suite (un)n∈N. Exercice XII.

On considère la suite(u_n)n∈N dénie par u₀ = 0 et ∀n∈N, u_n+1 = 2−(−1)ⁿ un+n+ 1. 1. Calculer u1.

2. Montrer que ∀n∈N, un≥0.

3. Montrer que ∀n∈N^∗, |u_n| ≤ 3 n. 4. En déduire la limite de la suite.

Exercice XIII.

Soitu la suite dénie par u0 >0 et un+1 =un+ 1

u_n, pour n∈N.

1. Montrer que ∀n∈N, u_n>0 et en déduire la monotonie de la suite u. 2. Montrer par récurrence que ∀n∈N, u²_n≥2n+u²₀ et déterminer lim

n→+∞u_n. Exercice XIV.

Soit la suite(u_n)n∈N dénie paru₀ = 3 et∀n∈N, u_n+1= u²_n+ 1 2 . 1. Montrer que ∀n≥3, n²+ 1

2 −n≥1.

(Si besoin, cette question pourra être admise et utilisée par la suite.) 2. Montrer que la suite(un)n∈N est croissante.

3. Montrer que ∀n∈N, un≥n. 4. En déduire la limite de la suite.

3

Exercice XV.

On dénit deux suitesaetbpar a_n= Pn

k=0

1

k! etb_n=a_n+ 1 n×n!. 1. Pour quelles valeurs den sont dénies an etbn?

2. Montrer que ces deux suites sont adjacentes. Conclure.

Exercice XVI.

On dénit la suite de terme général u_n=

n

X

k=1

(−1)^k

k , pourn∈N^∗.

Montrer que les suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N sont adjacentes. Conclure.

Exercice XVII.

On considère les suites(un)n∈N^∗ et(vn)n∈N^∗ dénies par : un=

n

X

k=1

1

k−ln(n) et vn=

n

X

k=1

1

k −ln(n+ 1).

On admet également que ∀n∈N^∗, 1

n+ 1 ≤ln(n+ 1)−ln(n)≤ 1 n. Montrer que les suites(u_n)n∈N^∗ et(v_n)n∈N^∗ sont adjacentes, et conclure.

Exercice XVIII.

Soientaetbdeux réels tels que 0< a < b. On dénit deux suites u etv par u₀ =a,v₀ =b et ∀n∈N, u_n+1 = 2u_nv_n

un+vn et v_n+1= u_n+v_n 2 .

1. Montrer que ∀n∈N, 0< u_n< v_n puis donner la monotonie des suites u etv 2. Montrer que ∀n∈N, 0≤vn+1−un+1≤ vn−un

2 puis que 0≤vn−un≤ v0−u0

2ⁿ . 3. En déduire lim

n→+∞(v_n−u_n).

4. Déduire des questions précédentes que les deux suites sont convergentes.

5. Montrer que la suite(u_nv_n)n∈N est constante.

6. En déduire la limite commune des suitesu etv.

Exercice XIX.

1. Soit(u_n)n∈N^∗ et(v_n)n∈N^∗ deux suites qui convergent respectivement vers des réels aetb. a. Montrer que u+v converge vers a+b.

b. Montrer que (u²_n)n∈N converge vers a². c. Montrer que uv converge vers ab.

2. Mêmes questions avec des suites qui tendent vers+∞. 3. Et si l'une tend vers+∞ et l'autre vers un réel ? Exercice XX.

Soit la suite(u_n)n∈N dénie paru₀ = 2 et∀n∈N, u_n+1= ln(u²_n+ 1). On rappelle queln(2)'0.7 etln(3)'1.1

1. Calculer u₁ etu₂.

2. Montrer que ∀n∈N, 0≤u_n≤2.

3. Etudier les variations de la fonctionf dénie par f(x) =x−ln(x²+ 1). 4. En déduire son signe surR+.

5. Montrer que la suite(un)n∈N est décroissante.

6. Est-elle convergente ? Justier.

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