HAL Id: inria-00072447
https://hal.inria.fr/inria-00072447
Submitted on 24 May 2006
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Least-Squares Polynomial Filters for Ill-Conditioned Linear Systems
Jocelyne Erhel, Frédéric Guyomarc’H, Yousef Saad
To cite this version:
Jocelyne Erhel, Frédéric Guyomarc’H, Yousef Saad. Least-Squares Polynomial Filters for Ill- Conditioned Linear Systems. [Research Report] RR-4175, INRIA. 2001. �inria-00072447�
ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--4175--FR+ENG
a p p o r t
d e r e c h e r c h e
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE
Least-squares polynomial filters for ill-conditioned linear systems
Jocelyne Erhel , Frédéric Guyomarc’h , Yousef Saad
N˚4175
Mai 2001
THÈME 4
' ( ) *+-,$%.-,/ .-011%2
354687:9<;=7?>@BA7:9DCFEHGH@BI:JI8@LKM6?NPOQ;R45SUT5@L65VWAYXZE%[4RO\L7:]^QTRT5J`_
a&bdcLegfhjilknmoepdqsrut)mwv:x-f.t2vzy{t)mwems|}r~t}movzx
f|}n|t}cLefL| v:eydqwf.{fL|
)v~f.t2D
r~ydy5vz }t f }fB$bdf. $$bdfxzhu~?iFrzm~:dizyr~zfB|
ZQ L¡.¢u£d¤z¡z¥ x¦mwey5vz }t)rzx:t§y }v:¨dqwfLeª©bdms$b¦r~ )mo|}fL|mox«|}f.¬zfL )rzqr~ydydqoms.rut)mwv:x|ms|t}v"x t}bdf
|}vzqop{t)mwv:x?v~®&r~xmwqoqW¯° v:x mwt}movzxdf knneef t) }msknf.emw¯Mv:|}mwt}mo¬zff.xdmwt}fqomwxdfBr~ |}n|t}fLe±©bdv:|}fg }mozb8t¯
br~x |}m f#ms|y5f. }t}pd )¨f ¨8²xdvzms|}fz³¦°xUt}bdms|§|}mWt)prut)mwv:x1´+mWt§ms| fB|mo )rz¨dqof-®µv: t}bdf|v:qwp{t)mwv:x¶t)v·¨f
r:..pd )r~t}f#mox²t)bdf mo )fLt)mwv:x|v~®fLmw:f.xn¬zfBt}v: )|r:|}|}v{ msrut}f ©mwt}b¦qsr~ )zf#f.mozfLxn¬¸rzqwpfL|L´+rzx t}v·br¸¬:f
|}er~qoq vzey5vzxdfLx8t)|+mwxZt}bdf|}yrz.f¹r:|}|}v{ msrut)f ©mwt}b#|erzqwqofL|t+fLmw:f.xn¬ur~qopdfL|L³ºef t)bdv ms|&yd )fL|}f.x8t}f
t)v|)rut)mo|®µt)bdfL|}f )fL»8pdmo )f.ef.x8t)|L´z©bmo$b§ms|¼¨rz|}f v:xZ v:x|t) }pt}moxdryv:qwnxdv:egmsr~qqwt}f. +p|}mwxqofLrz|t¯
|)»8pr~ )fL|¼t)fL$bdxdms»8pdfL|L³
½P¾8¿RÀ)Á ¢uÃQ z¥ vzqo8xvzemorzq5qWt)f. $|.´{qofLr:|t}¯Ä|)»8pr~ )fL|¼y5vzqo8xvzemorzqo|L´nmwqoqw¯Ä.vzx mwt}movzxf |{|t}f.e|L´{ }fLzp{¯
qsr~ )moÅLrut)mwv:x1´{aÆ{$bdv:xdvu¬ }fLzpdqsr~ )moÅLrut)mwv:x1´nmwerzzf¹ }fB vu¬zfL }:´{Ǽbf.¨n{|bdfL¬§¨r:|fB|.³
ÈsÉÊ}ËÄÌLÍ&ÊÎQÏoËÄÐMÑ Ò
ÓÔÕ<Ö§×MØBÙ¸Ù~ÔÕÛÚ<ÜÝÞ ßÚMà¸ÜâáãäQÕÛå¼ß§æ1Ü×MÜç$ÕÛèÄàPé%êèÜâØBë¸Ý¸ÜÕ2ìÕMç$ë Úíäî$íä%äí¼ïð)ñóòò)ñÄï°ñµò$ô õögç$ëBÝ-Þ ßÚMàBÜ
÷âøùë¸ë¸Ü×MÔ$ÚMçãLظÙ~ÜÕÛèÔåÙBØBÚMÜÕ%úóë¸×<Ú<øÚMØLÚMÜû
ü
úµæúÛãLäî)úµýQæ1úóä¼þzá%æPæÜë¸ë¸Ü×þ~ÿÔLèÜßBëBÜ ûÕ<àBÜQøùëBÕ<øçBûwÕþ~à ÚÛÚMÙîî ûøùÕ<øù×MçBûoÕMî$çç$ݸøùë~î)Ù~ÜÕÛ×MÔ.î)ÜÕ<àBÜsûà Ú<å
úµæ1úÛãLäHî)úµý%æúóäÆþ$á%ægæ1Üë¸ë¸Ü×}þuÕ<ÜݸÜÕÛøùèûQØBß Ôå2ç$Õ<èMàQøùë¸ÕÛøçBûoÕþ à.ÚÛÚ<Ùîî ûøùÕÛøù×ÄçBûwÕÄî$çç$ÝBøùë~î)Ù~ÜÕÛ×MÔ.îwìØBß Ôå2ç$Õûà.Ú<å
áë¸ø ÜÕ<×<øÚóß(ÔU÷âøùë¸ë¸Ü×<Ô$ÚÄçBþ íQÜÙuç$ÕÛÚ<åÜë.ÚYÔRÔåÙ¸ØLÚMÜÕYãLèøùÜëBèÜ ç$ë¸Ýë¸ìøùë¸ÜÜÕ<øùëBì¸þ¦à.ÚÛÚ<Ùîî 1ñ
ظ×MÜÕÛ×}ûè×}ûظåë:ûÜÝBØ~îÆ×Mçç$Ý~î
Unité de recherche INRIA Rennes
IRISA, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES Cedex (France) Téléphone : 02 99 84 71 00 - International : +33 2 99 84 71 00
Télécopie : 02 99 84 71 71 - International : +33 2 99 84 71 71
Z(,-j12j ·*¼,$%
¥ x-y }v:¨dqwcLefDmoeyv: t$r~x8t&»8pdm|}fâyv8|f r~x|Æydqop|}mwfLpd $|+rzydydqomoLrut)mwv:x|+fL|t f¹t) }v:pd¬zfL
qsr|}vzqop{t}movzx pdxF|}n|t}cLefqwmoxLrzmw )f|}8e.t} )mo»8pdf|}f.emw¯ .xdm1y5v:|}mwt}mw®f.ter~q.vzx mWt)mwv:xdxz´5r¸¬zfBDpx
|}fL.vzx efLe¨d )fy5f. }t}pd )¨¼yr~ p¨d )pdmwtL³Drzx|.f¼Lrz|L´Bmoq:®Ûr~p{t»:pfÆqsr2|v:qwpdt}movzx|}vzmwt%yd L.mo|}f rzx|1qofL|
mw )fL t}movzx|&yd )vzy }fB|+r:|}|}v{ m.fB|+rzp{Z: )rzx fL|+¬ur~qof.p )|&yd )vzy }fB|.´{»8p f.qoqwfrzmWt fy5f t)mWt)fL|2.vzeyv8|}rzx8t}fL|
r~x|Dqwf|}vzp|¯MfB|yrz frz|)|v{ mrzp{Pyf.t}mwt}fL|â¬urzqwfLpd )|Dyd )vzyd )fL|L³â2vzp|yd L|}f.x8t)vzx|Dpdxdfge t}bv fg»8pdm
|)rut)mo|®Ûr~mwt fB| vzx mWt)mwv:x|âf t»8pdmÆfL|tâ¨rz|.f|p qor# v:x|t} )pt)mwv:x pdxqwt} )fyv:qwnxdv:emorzq|v:qwp{t)mwv:x
pdx#yd )vz¨qwcLegfrzp{Zevzmox )fL|Lr~ ) B|.³
 ¡B À ¤ ¥ mwqwt} )fL|+y5vzqonxdvzemsr~p{´8egv:mwx }fB|¼Lr~ ) B|.´n|}n|t}cLefL|¼erzq vzx mWt)mwv:xdxB|.´n .zpqorz }ms|}r~¯
t)mwv:x1´{ .zpqorz }ms|}r~t}movzx faÆ{$bdv:xdvu¬R´8 )fL|t)rzpd $rut}movzx moer~:fL|L´{¨rz|}fL| fǼbdfL¨nn|}bdfL¬5³
  °xY|fL¬zf. $r~qDmwey5vz }t)rzx:tPr~yydqwms.r~t}movzx|-mwtms| }fB»:pmw )f t)vU|}vzqo¬zfr¶qomwxfLr~
|}{|t)f.e vz®
mwef.x|movzx?t)bdf¹®µvz )e
z³o
moxF©bdms$bPt)bdferut) }mw ms|¬:f. )-moqwqw¯° vzx mWt)mwv:xdf rzx ©bdfL }ft}bdf }mozb8t¯Äbrzx |m f mo|DyfL t)pd )¨f
©mwt}bxdv:mo|}fz³HÄtms| vzeevzx-t}brut mo||}moxdzpdqsr~ rzx brz|rqorz }:fDxnpde¨fL v~®Q|}moxdzpdqsr~ &¬ur~qopdfB| qov:|}f
t)vZÅLf. )v³D|Dr )fL|}pdqwtL´5t}bfxdv:mo|}ft}brutâmo|Dyd )fL|}f.x8tmox ©moqwq%t}fLx t)vZ¨5fr~eydqomwf moxPt)bdfy|fLp v~¯
moxn¬zfL )|}f§|v:qwpdt}movzx
vz®t}bdf#|{|t}fLe³®ót}fLx·t}bdf )fL|}pdqWt)mwx?|v:qwpdt}movzx ¨5fL.vzefL|©¼v: t)bdqwfB|}|
r:|2mwtDms| v:emwxr~t}f ¨n-xdv:mo|}fz³Hdr~eydqofL|2vz®HtnydmoLr~qQr~ydydqoms.rut)mwv:x|vz®Ht}bdms|xrut}p }frz }fmwx ms|) )f t}f
moxn¬zfL )|}fDy }v:¨dqwfLe|+®µvz moerzzf¹ }fB vu¬:f. )rzx mwx-t}v:evzz $r~yb8:³
°xmoer~:f2 }fB vu¬:f. )ât}bdfDer~t} )mW
)f.yd )fL|}f.x8t$|t}bdf¨dqwp } )mwxvzy5f. $rut)vz r~x mo|¼|neef t} )ms2|fLemW¯
y5v:|}mwt}mo¬zf f.xdmwt}fz³jxnpde¨5f. v~® )f.:pdqsr~ )mwÅBrut}movzx |t) )r~t}f.:mwfB|br¸¬:fg¨5f.fLx fB|mozxdf t}vF )fL.vu¬zfL âr
|}vzqop{t)mwv:xU©bmo$b¦ms| fL¨dqopd } )f rzx qWt)f. )f v:p{tZv~®xdv:mo|}fz³a&bdfF:f.xdfL )rzqyd )mwx.mwyqwfFvz®r~qoq2 }fLzp{¯
qsr~ )moÅLrut)mwv:x?ef t)bdv |ms|ât)vF|v:qw¬:ft)bdf§|}n|t}fLe r:. p )r~t}f.qoFv:xdqw?mwx"t)bdf§|moxd:pdqorz |yrz fr:|}|}v{ msrut}f
©mwt}b?t}bdfgqsr~ )zf|}moxdzpdqsr~ D¬ur~qopdfL|¹©bdmoqwf }fLevu¬8moxd-vz ¹ }f p moxd vzey5vzxdfLx8t)|¹rz|)|v{ msrut)f ©mwt}bt}bdf
|}er~qoq1|moxd:pdqorz &¬¸rzqwpfL||}mwx.f¹t}bdfB|fr~ )fDt8ymoLr~qoqw vzemwxrut}f ¨n§xvzms|f:³a%©+vgy }vzt}v~tny5fL|+v~®%t}bdfB|f
ef.t}bdv |Hrz }f+t}bf2a )pdxLrut}f k{mwxd:pdqsr~ ! r~qopdf
a2k" D%t}fL$bxdmo»8pdf:´:rzx a¼{$bdvzxvu¬¹ )f.:pdqsr~ )mwÅBrut}movzx³
a&bfL|}fr~ )f¨d )mwf$# mo|) p|}|}f moxPt}bfxdf.8tâ|p¨|fBt)mwv:x1³ v: )f ®µf. )f.x fL|vzxFa2k% ¹r~x a¼{$bdvzxdvu¬
)f.:pdqsr~ )mwÅBrut}movzx-|fLf'&(*)ij
°x©br~t®µvzqoqwvu©2|©+f ms|}.p|}| )f.:pdqsr~ )mwÅBrut}movzx®µvz Ht)bdf2.r:|f&©bdfLx ms|H|}8eef t) }ms|}f.emW¯Äy5v:|}mWt)mw¬:f
f xdmwt}f:³ÆfLzpdqsr~ )mwÅBrut)mwv:x-.rzx-¨5f¬nmwfL©¼f r:|ref t}bv ®µv: 2 vzeydpdt}moxd§rqWt)f. )f |}vzqop{t}movzxv~®Qt}bdf
®µv: }e
+', -/.
102
z³ù3
©bf. )ft)bdfD )vzqof¹v~®1t)bdf¹qWt)f. +®µpdx t}movzx
-
ms|Æt)v }fLegvu¬:f2vz rzeyfLxrzqwqRf.mozfLx{¯° vzey5vzxdfLx8t)|+ qov:|}f2t}v
ÅLf. )v⮵ }v:e t)bdf )mozb8t¯Äbr~x ¯Ä|}m fz³Qa&bdmo|¼ms| v:xdf2mox§vz f. t}vy }fL¬zf.x8tHt)bdfL|}fD.vzeyv:xdf.x8t$|.´8©bdms$b§r~ )f
tnydms.rzqwqo v:emwxr~t}f ¨n§xdv:mo|} r~t)r´n®µ }v:e ¨5f.moxdr~eydqomWf ³
Df.xv~t}moxdg¨n4 .65
0 t}bdf87fLr¸¬nmo|}m f2®µpdxt}movzx©bdms$bZms|+fL»8pr~q5t)vÅLf. )v®µvz 5:9<;
r~x t}vgvzxdf®µvz
5:=>;
´8t}bdfDqwt}f. ¼®µpdx t}movzxZ®µvz ¼t}bdf¹.rz|}fvz®t}bdfDt} )pdxLrut)f k% ¹Y }fLzpdqsr~ )mwÅBrut)mwv:x1´z.rzx§¨5fD© )mWt}t}fLx-rz|
-@?$.A5 0B
4
.A5DCFE 0
z³(G
©bf. )f
E
ms|rIH°t) }pdx.rut)mwv:x%Jyr~ $r~ef t)f. B³Pav?rzydydqo?t)bdfZrz¨vu¬:fqWt)f. ®µpdx t}movzx1´HrF|}mwxzpdqsr~ ¬urzqwpdf
fL v:eyv8|mwt}movzxmo|&xvz )erzqwqo§ )fL»8pdmo }f
³
°xPa¼{$bdvzxdvu¬ )f.:pdqorz }moÅLr~t}movzx1´:t}bfâqWt)f. ®µpxt)mwv:xms|&v~®Qt}bf⮵vz )e
-LK%.A5 0MON C N
N P .A52QSR
0UT
R T
R
T:P 5 T
z³hV
©bf. )f
R
ms|Dr§yr~ $r~ef t)f. B³&ÄtDms| v:eegv:xPmwxFt}bdms|DLrz|}fât}v-p|ft}bdfg vzx~pd:r~t}f: )r mwfLx8tr~qozvz )mwt}bde
t)v vzeydpdt}fr~x#r~yyd }v¸{moerut}movzxZt}v :³G³
°xF&oW)Ä´5Ç+r~qo¬zf.tt}mf.tr~qM³yd }v:yv8|frgef t)bdv ©bmo$bp|}fL|2rzxXHf {y5vzxdfLx:t)morzqYJDqWt)f. 2vz®t)bdf⮵vz )e
-/.A5
0MZN
C\[]"^`_aCb.6RcQS5
0
Td
z³ù3
a&bfzv8r~q%mo|t}v-vz¨{t$r~mox?r®µpdx t}movzx?t}br~tDms|D.qwv8|ft}vZÅLf. )v®µvz xdfLrz t)bdfv: }mozmoxFr~x
qov:|}ft}v-vzxdf
©bf.x
5
mo|®Ûr~ Ær¸©&r¸®µ )vze t)bdf2v: }mozmox1³Ç¼qwfBr~ )qwt)bdms|H®µpdx t}movzx§ms|HxdvztÆfL.vzxdv:emoLr~qoqwp|fBr~¨dqof
mo }fBt}qo
®µv: v:eydp{t}moxdZrzxPr~ydyd )v¸{mwer~t}movzxv~®t}bdf®µvz )e
z³ù3³2Ç+r~qo¬zf.tt)mf tB³w´yd )vzy5v:|}fmwx|t}fBr
t)vf {yr~x
t)bdms|&®µpdx t}movzx#mwxPrg¨r:|ms|&v~®Ç¼bdf.¨n{|bf.¬§y5vzqonxdvzemsr~qs|.³
°xt}bmo|âyrzyfL ⩼fyd )vzy5v:|}fr m5fL }fLx:tâtny5fgvz®Æqwt}fL L³Dpd âer~mox?ev~t)mw¬ur~t}movzxmo|¹t)v-yd )vu¬nm f
r#|}fL»8pdfLx fv~®&y5vzqo8xvzemorzqo|¹t)brut mo )fLt)qwr~ydy }v¸{moer~t}frzmo¬zf.xm fLrzqqWt)f. B³IDpd r~yyd }v8rz$bmo|
t)bdf. )f ®µv: }f+|moemwqsr~ mox|}ydmo }mwt%t)vt)brutHvz® &w$)M´zf d fLy{t%t)brutQt}bf+f.{yr~x|}movzxms| mRf. )f.x8tr~x t}bf+v: }mozmoxrzq
m fLr~qaqWt)f. +mo|+xdvqwv:xdzfL Ævz®1t}bdfD®µvz )e
:³G¨dpdt+ $rut)bdf. &rydmofL.f.©ms|fDyv:qwnxdv:emorzq®µpdxt}movzx-©bdms$b
mwt)|}f.qw®Drzydyd )v¸nmoerut)fL|®µpxt)mwv:x
:³(Vvz®2t}bfa2k% ¹0ef t}bv ³>Dpd evzt}mo¬¸r~t}movzx²mo|t}v f.¬:f.qovzy¶r
t)fL$bdxmo»8pdft}br~tPmo|#|}mwemoqorz -t)v¶t)bdf· v:xupd:r~t}fz $r mof.x8t-mox`t}bdf·|}f.x|}f?t)brut#mwt# )f.qomofL|#|v:qwfLqw v:x
er~t} )mWn¯Ä¬zfL t}v: ¹y }v p t)|L³+tt}bdfZ|)r~eft)mwefz´©+f©¼v:pdq qwmzft)bdf§mwt}f. $rut)mwv:x"yv:qwnxdv:egmsr~qÆv~®&t}bdf
ef.t}bdv ´t)v-emoemot}bdff5fBtv~®t)bdfa )pdxLrut)f k" Def t)bdv ³'Dpd âef t)bdv |¹¨fLzmox|¹©mWt)brzx
m fBr~qbmw:b{¯Myrz|)|qwt}fL D©bdms$bPms|DrZydmwfB fL©mo|}fr~yyd }v¸{moerut}movzxt)v§t}bf®µpdx t}movzx 4
.65 C 0
³¹a&bdmo|Dmox
t)pd )xms|r~yyd }v¸{moerut}f ¨nZrgy5vzqonxdvzemsr~qv~®Hr fL t$r~mox f.z )f.f¹vzxt)bdfmwx8t)f. )¬¸rzqv~®Qt}bdffLmw:f.xn¬ur~qopdfL|
vz®
³
a&bfyr~y5f. ms|v: }8r~xdmoÅ.f r:|¹®µvzqoqwvu©2|L³Za&bdf§xf nt|fBt)mwv:xy }vu¬nm fL|r#¨d )mof ®&vu¬zf. )¬nmwfL© v~®& )f.~¯
pqorz }moÅLr~t}movzxPt)fL$bdxdms»8pdfL|L³gk{fLt)mwv:x\(
fB|}. }mo¨fB|¹vzpd r~yyd }v8rz$bPp|}moxd#yv:qwnxdydemsr~qQqwt}fL )|L³gknfBt)mwv:x
h
ms|}.p|}|}fL|gr?®µf.© .vzxn¬zfL }:f.x.f }fB|pdqwt)|g )f.qsrut)f
t)v?t)bdf-ef.t}bdv
³¶knfBt)mwv:xU? }fLyv: t$|v:x¶rF®µfL©
xnpdefL }ms.rzqt)fL|t)|L³
mwxrzqwqoz´dt}bdfyrzyfL zmo¬zfB|+|}vzef v:x qop
moxd )f.er~ {|¼moxFknfL t}movzx d³
Z¾ <£{¢*z£d¡Â ¾ ¡ Â Ã%
a%v: )r:|yt)bdfâfRfL t&vz® )f.zpqorz }moÅLr~t}movzxmwt&ms|+bdf.qoy{®µpdq1t}vgp|f
t)bdfk{mwxd:pdqsr~ rzqwpf-DfL v:eyv8|mwt}movzx·vz® ´|}f.fz´f:³³w´ &(d´Qhd´ )¼®µv: f.t)rzmwqs|.³fxdvu© }f.t}pd )x"t}v
t)bdfzf.xf. $r~q¼|}mwt}pr~t}movzx ©bdfL }f ms|gxdvzx{¯°|}8eef t) }ms~´y5v:|)|mo¨dqo" }fBt)rzxdzpqorz v~®|}moÅ.f ©mwt}b
=
³1f.t ! t)bdfknmwxzpdqsr~ : r~qopdfâfB vzey5v:|}mWt)mwv:x
k% D+v~® ´{©bdf. )f r~x r~ )f
v: t)bdvzxvz )erzq¨rz|}fL|r~x mo|r msr~:vzxrzqRer~t} )mW-©bdv:|}fâf.x8t} )mwfB|r~ )f¹t}bdf|}mwxzpdqsr~ &¬ur~qopdfL|&vz®
> msr~
.#"%$'&)(()(&*",+
0 &
©mwt}b
"%$1=-&)(()(&$=."/+= ;10
a&bf¹ )mozb8t¯Äbr~x ¯Ä|}m f ms|f {yrzx f mox-t)bdf ¯Ä¨rz|}ms|+r:|
+
2
3*4
$,5 36/3
&
©mWt)b
5 3 6 3
&87
ZN
&()((&
0
a&bf¹y|fLp v~¯Ämox8¬:f. $|fâ|}vzqop{t}movzxv~®%t}bdf|}{|t)f.e Lr~xt}bdfLx#¨f© )mWt}t}fLxr:|+®µvzqoqwvu©2|)9
2
:);<%=
N
" 3 5 3>3
{³o
moxP©bdms$b
mo|t}bdfy|fLp v~¯Ämox8¬:f. $|f¹v~®
³+D|2.rzxP¨f|}f.fLx1´{®µv: |erzqwq|}moxdzpdqsr~ ¬¸rzqwpfL|2rzx8-xdvzms|}f
v:xgt}bdf2.vzeyv:xdf.x8t
5 3
©moqwqd¨5frzegyqwmwf ¨n
N Q?"
3
³a&bdms|H©moqwq5.r~p|f&xdv:mo|}fA@©bdmo$bms|Hyd )f v:emwxrzx8t
moxt}bdf|}er~qoq1 v:egy5vzxf.x8t)|A@t}v¨5fr~eydqomWf t}vpdxr:..f.y{t$r~¨dqofâqwfL¬zf.qs|L³
a&bf¹m fBrv~®% )f.:pdqsr~ )mwÅBrut}movzxZegf.t}bdv |2mo|&t)vmwx8t} )v p.fDqWt)f. ®Ûr:t}v: )|
- 3
mwxt}bf|v:qwp{t)mwv:x
+X
2
:);<%=
- 3
" 3 5 3>3
0
{³ù3
©bf. )f
3
ms|&p|}pr~qoqot}bdfâ¬ur~qopdfâv~®%rqwt}fL +®µpdxt)mwv:x rut
3
³f t rzx
t©¼v®µpdx t}movzx|
f.xdf
v:xrzx-mox8t}fL }¬ur~q
;1&
©mwt}b
" $
|}p$b-t}br~t
-/.A;
0M
;/& -D." 3
0B - 3 &
.A;
0B
;/& .65
0B +
& 5\.;1&80
Df xdf -/.
0 r~x
. 0 t)v¨5f2t}bf msr~:vzxrzqderut} )ms fL|©mWt)b§f.x8t} )mofL|
-/." 3 0 r~x
." 3 0 }fB|y5fL t}mo¬zf.qoz³
a&bfDqWt)f. )f |v:qwpdt}movzx#r~x t}bdfâqWt)f. )f }mozb8t}¯Mbrzx |}m fr~ )f
+' . 0 &
{³(G
+X
-D.
0* 0
{³hV
v~t)fDt)brutt)bdf )fL|}m pr~qms|&zmo¬zf.x¨n C
+
C-/.
0 ! ³
fvz¨|}f. )¬zft}br~t¹t)bdf }fLzpdqsr~ )moÅLrut)mwv:x r~ey5f.x|¹fBrz$b.vzey5vzxdfLx:tâv~®¼t}bdf|}vzqop{t}movzx¨8
-/." 3 0
¨5f ®µv: }f mw¬nm moxdmwtƨn
" 3
³QÄt+mo|tnydmoLr~qdmox§moqwqw¯Äyv8|f y }v:¨dqwfLe|Ht}vqWt)f. ¼vzp{t¼|}er~qoq|}mwxzpdqsr~ H¬ur~qopdfB|.´
|}vgt}bdf⮵pxt)mwv:x
-
mo|$bv:|}f.x#|vgt}brut
-/."
3
0
;/&
®µvz 2|}erzqwq
" 3 & -/." 3
0ZN
&
®µv: qorz }:f
" 3 0
¦mwt}b }fLzpdqsr~ )moÅLrut)mwv:x1´¸r~xnDxvzms|f+ vzey5vzxdfLx8t%moxt}bf mo )fLt)mwv:x
6 3
mo|Qr~eydqomWf ¨n
-/."
3 0 Q " 3
³Qa&b8p|.´
t)bdf&r~eydqomWLrut)mwv:xv~®dt)bdfÆxdv:mo|}fÆms|Q¨v:pdx f ´umox®Ûrz tQmwtQms|%f.¬zfLxer fÆt}vt}f.x t}vDÅ.fL }v®µvz |er~qoq
" 3 |.³
ǼqofLrz }qoz´t}bf )f.:pdqorz }moÅ.f
|v:qwpdt}movzxF©moqwq
mRf. â|mozxdmwLr~x8t}qo®µ }v:e t)bdfgy|fLp
vz¯Mmoxn¬zf. $|}f|v:qwp{t)mwv:xFmw®
t)bdf. )fr~ )fâerzxnZ|erzqwq1|}mwxzpdqsr~ &¬ur~qopdfL||}mox f
C + 2
: ;
<,=
N C-/."
3 0
" 3 5 3'3
0
7vu©¼fL¬zfL L´~mwt¼ms|moeyv: t$r~x8tt)vxdv~t)f2t)brut¼t}bdf2f.drzt+|v:qwp{t)mwv:x er¸¨5fefBr~xdmoxdzqofL|)|Æ|}mox f2mwt¼er¸
mox.qwp f¬zf. )xdv:mo|} r~t)rd³
A ¢ ¤:£{¡ ¾ Ã! #" a&bf|}mweydqofL|tD )f.:pdqorz }moÅLr~t}movzxef t}bv |moeydqw# )f.ydqsrz.fL|2t}bdfg|v:qwp{¯
t)mwv:x
{³o+¨n
? 2
:); < ? 5 3
" 3 > 3
{³ù3
mox?©bmo$b
E
mo|âr|fLqwfBt}f yrz )rzef t}fL L³a&bdms|¹mo|âr- }fLzpdqsr~ )moÅ.f |}vzqop{t)mwv:xF©bdf. )ft}bdfqwt}f. ¹®µpdxt}movzx
- ?
mo|-zmo¬zfLx¦¨n
z³(G ´©bdms$b«ms|ZydmofL.f.©ms f vzx|t$r~x8tZ®µpdxt}movzx`©mWt)bºr ¬urzqwpdfv~®ÅLf. )v·®µvz 5$
E
r~x v:xdfPf.qs|fL©bdf. )fz³«2f.zpqorz }moÅLr~t}movzxU¨rz|}f vzxUt}bfk% D r~ydy }v8rz$b1´¼ }fB»:pmw )fL|t}bfknmoxdzpdqsr~
rzqwpffB vzey5v:|}mWt)mwv:x-vz®%t)bdferut) }mw ´5r~x t)bdmo|2mo|.qwfBr~ )qw§xv~t2 )fLr~qoms|t)moD®µvz qsr~ )zfâerut) }ms fB|.³
xnpde¨fL vz®Ær~qwt}f. )xr~t}mo¬zfef t)bdv |br¸¬zf¨5f.f.x f.¬:f.qovzy5f @-t)bdf¨5fL|t nxdvu©x#vz®©bdmo$b´5a¼{$bdvzxdvu¬
)f.:pdqsr~ )mwÅBrut}movzx´:ms||pegerz }moÅ.f xdf.ntL³
¿ Â Â Z¾ Â M aÆ{$bdv:xdvu¬ )f.zpqorz }moÅLr~t}movzx &oBn´z~´ ( )1 }fLydqsrz fB|+t}bdf|}v~¯
qop{t)mwv:xvz®t)bdfvz )mw:mwxr~q|{|t}fLe ¨n§t}brutv~®Qt}bdf⮵v:qwqovu©moxd )f.zpqorz }moÅ.f
|{|t}f.e
C T P R T
T
&
©bmo$bmo|2vz¨{t$r~moxdf ¨nZ|v:qw¬nmoxdgt}bdf|}{|t)f.e
P R T
, &
a&bfâ|}vzqop{t)mwv:x-vz®%t)bdfr~¨5vu¬zfâ|{|t}fLe mo|2xdvu©º:mw¬:f.xZ¨n
K >P R T
$ - K .10U K .0 &
{³ G
©bf. )f - K
mo|+t)bdfaÆ{$bdv:xdvu¬gqwt}f. 2®µpdxt)mwv:x
z³hV ³
a&bf¹rz¨vu¬:fDr~yyd }v¸{moerut}movzxms|&|fLq vze v:eydp{t}f f.{r:t)qw¨n§r mw )fL t+ef t)bdv ³HÄt&mo|+mox|t)fLr
vz®ót}fLxFvz¨{t$r~moxdf ¨nt}bf v:xupd8rut}fz $r mof.x8tDrzqw:vz )mWt)bde#³knmwx ft)bdfer~t} )mW / ms|D|}bdmw®ót}f ´RmWt¹mo|
.vzeevzxZt}br~t+t)bdfâxnpde¨5f. &v~®Q|t)f.y|& )fL»8pdmo }f ¨nt}bfÇegf.t}bdv t}v v:xn¬zf. )zfvzx-|}p$b|{|t}f.e|
ms|&ev f. $rut)fz³
xdvzt)rz¨dqwf $r¸©¨r: vz®+a¼{$bdvzxdvu¬# )f.:pdqorz }moÅLr~t}movzxPms|¹t}br~tmWtât)f.x |¹t)v#yd }v p fr#|v:qwp{t)mwv:x
t)brut2ms|&v~®ót)f.x#f d.fL|)|mo¬zfLqw§|}ev8vzt}b1³°x#moerzzfâyd )v{ fL|)|}mwxdt}bmo| )fL|}pdqwt)|&mox#qwv8|}|+v~®H|}br~ )ydxdfB|}|L³
)f.qsrut)f egf.t}bdv t}brutms|»:pmWt)f§ vzeevzxmwxt)bdf§.r:|fgv~®&qwvu© xdvzms|f:´1ms||moeydqoPt}v#p|}ft}bdf
Ǽv:xupd8rut}fz $r mof.x8tef t)bdv ®µvz &|v:qw¬nmoxd / ` ! r~x |t)vzyt)bdfyd )v{ fB|}|Æyd }fLerut}p )rzqw:´zmM³f:³w´
©+f.qoq¨5f ®µvz )f v:x8¬:f. )zfLx fDv~®Qt}bdfrzydyd )v¸nmoerut)f¹|}vzqop{t}movzx\&(S)M³
¾ ¿ ¾ ¡L¢*Û¤P¤z£ ¾
¦bdfLx?t)bdferut} )mw ms|â|neef t) }ms|fLegmw¯Äyv8|mwt}mo¬zf f xmWt)fz´
t)bdf.x-t}bf
"
|r~ )f2t)bdfâf.mozf.xn¬ur~qopdfB|
v~® r~x t)bdfDqof ®ót2rzx )mozb8t+|}mwxzpdqsr~ +¬zfBt}v: )|+r~ )ffB»8pr~q5t}v
t)bdffLmw:f.xn¬zfBt)vz $|v~® ´5mM³fz³o´
> 6 &
®µv: bN
&0)00)&
H³°xFt}bdms|DLrz|}fz´t}bdff {yd )fL|)|movzx|
d³(V2r~x
{³hV&rz }f|t}moqwq1¬urzqwm ©mWt)b }fLydqor: f ¨n§t)bdferut) }mw-vz®QfLmw:f.xn¬zfBt}v: )| r~x )f.ydqsrz.f ¨8Zt}bdf
morzzvzxr~qRerut} )mw v~®f.mozfLx8¬urzqwpdfB|.³
 ¿  ۣ Û¡ ¾ ¢u
Ǽvzx|}m f. r|}negef.t} )moâerut) }mw
rzx rgqwt}fL ®µpdx t}movzx
-
´t)brut
ms||}pdmWt$r~¨dqof⮵vz )f.:pdqsr~ )mwÅLmwxdt}bdfv: }mozmoxrzqR|}{|t)f.e#³a&bdfL }f.®µvz )ft)bdf⮵pdx t}movzx
-
|)rut)mo|fL|
.A;
0B
;/& -D.A5
0M 5 .65
0 0
v~t)ft}br~tt}bf®µpdx t}movzx
-
mo| f xdf v:xdqw?®µvz 5 = ;
|}mwx.f§mwt©mwqoq¼r:tv:x |moxd:pdqorz ¬ur~qopdfL|
vz
fLmw:f.xn¬ur~qopdfL|v~®¹|fLegmw¯Äyv8|mwt}mo¬zf f xmWt)f|}negef.t} )mo-erut} )ms fL|³ fP.r~x²r~qs|v vzx|m f. t}brutt}bdf
®µpxt)mwv:xUms| f.xdf ¨n¶|}negef.t} )·®µvz §xf.:r~t}mo¬zf
5
¨n
-/.A5 0 -/.UC 5 0
´+mM³fz³o´Æt)brut§mwt§mo|rzx²fL¬zfLx
®µpxt)mwv:x1³
a&bf®µpdx t}movzx
- f.y5f.x |¹vzx ´vzx ´rzx vzx nxdvu©qwf zfv~®Ht}bfyd )vz¨qwfLe(¨5f.moxdev f.qof ³
°x-t}bf.vz )z´n®µ )vzet)bdf-nxdvu©qof :fDvz®t}bfDqWt)f. &®µpdx t}movzx
-
´dvzxfâLr~x-fLrz|}moqw§v:¨{t)rzmwxZt}bdf )f.:pdqsr~ )mwÅLf
|}vzqop{t)mwv:xZ¬nmort}bf¹ )f.qsrut)mwv:x
d³(V³a&bnp|L´8t}bdf¹®µpdx t}movzx nmwfLq | mw )fL t}qot}bdfâ )f.:pdqorz }moÅ.f |v:qwpdt}movzx1´
y }vu¬nm f vzxfZ.rzx·fLrz|}moqw vzeydpdt}f§t)bdfZy }v p tv~®
.
10 t)mwefB|rP¬:fL t}vz B³`72vu©+f.¬zfL L´%®µvz qorz }:f
er~t} )mo.fL|L´nt}bdfâ )f.zpqorz }moÅ.f |}vzqop{t}movzx
.
0 er¸§¨f m§ pqWt2v: f {yfLx|}mw¬:fDt)v vzeydpdt}fz³
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
filter function
Tychonov filter function φρ and Piecewise Polynomial Filter function φ [1,1]
Tychonov φρ − ρ = 0.1 PPF φ [1,1] − a = 0.3
Bû
ÐÏ
! "$#&%'()*%
Ë
+#
Í
%'
Ï
,
Ǽv:x|}m fL Qt}bdf+t©+v¹f.dr~eydqofL|Qv~®t}bdf&qwt}fL ®µpdx t}movzx|H|}bdvu©xgmwx mw:pd }f (³w:³%a&bdf r:|bdf qomoxdf&mo|
t)bdfa¼{$bdvzxdvu¬âqWt)f. ©mwt}b R
;10
N r~x t)bdf|}vzqom qomwxfmo|t}bdf&qwt}fL ÆydmofL.f.©ms|fy5vzqonxdvzemsr~qn®µpdxt}movzx
f xdf ¨8
--
$.$0/
.A5
0B21 C T
34 55
P 5
36 5 T
®µv:
5
;1&#&
N ®µv:
5
%&#&
(d³o
©mwt}b
;107 ³
a&bfyd )vz¨dqof.eY©mWt)bât}bdfB|ft©¼vqWt)f. 1®µpxt)mwv:x|.´¸ms|t)brut1t)bdf. vxdv~tqofLr t}vrzxâfLrz|}¹f.¬ur~qoprut)mwv:x
vz®dt}bf }fLzpdqsr~ )mwÅLf |}vzqop{t}movzxg¬nmor
d³(V³Qa&bdfaÆ{$bdv:xdvu¬¹qWt)f. )f |v:qwpdt}movzx K .
10
.rzx¨5f v:egyp{t}f
¬nmsrZrzxFf.mozfLx8¬urzqwpdf fL.vzeyv8|mwt}movzx?v~®
vz âr~xk% DmoxFt)bdfqofLr:|t}¯Ä|)»8pr~ )fL|2Lrz|}f ´5¨p{t¹mwtâmo|Dvzxdqo
rzydyd )v¸{mwerut)f mwx#yd $rz t}ms fz´np|}moxd§r~xmWt)f. $rut)mw¬:fDef t)bdv |p$bPr:|+t}bdfǼv:xupd:r~t}f ¹ )r mof.x8tL³
a&bfgymwfB f.©ms|}fyv:qwnxdv:egmsr~qqWt)f.
- -
$8.$0/
ms|f.¬:f.xegv: }f
m§ pdqwtt}vFrzydyd )v¸{mwerut)fz³X72vu©+f.¬:f. B´
t)bdf§|}vzqop{t}movzxyd )vzy5v:|}f
mwxt}bmo|yr~y5f. ms|:9(;=<?>@>BA;DCFEHG:<90IJ<KLM>BENI8O?IDPQERDIS>T;ULKV;GWEN<UX!UY9(IDA[ZL\<
>;UYLKV;GMEN<U]EHK^RD;G:IWU_I8<`R9)a(RbDc<A?IRRDIKRId
Df xdffe+g .$
t)bdf|}f t¹v~®y5vzqo8xvzemorzqo|h?vz® f.: }fLffiP|p$bPt}br~tjh .A;
0 ;
r~x e]gk
$.
T
t)bdf|}f t
vz®%y5vzqonxdvzemsr~qs|+hvz® f.z )f.fli P,N |}p$b-t}br~t!h .;
0B hVm .;
0M
; 9
e]g
.$$npo 5 &(()(&25 gq
r~x e+gk
$.
T
npo 5T
&(()(&25 gk
$ q
a&bfDr~qozv: }mwt}be|ƨdpdmoq
r|}fL»8pdfLx fDv~®1y5vzqo8xvzemorzqo|
-
gmoxre]gk
$8.
T
r~x
r|}fL»8pdfLx fDv~®1y5vzqo8xvzemorzqo|
gmoxJe]g .$
|}p$bZt)brut
g .; 0B
;1& - g .65
0B 5 g
.A5
0 &
rzx v:egyp{t}fr )f.:pdqorz }moÅ.f rzydyd )v¸nmoerut)mwv:x grzqwv:xd©mWt)bFr~x <?>F>VA; CFEHG <9(I XU9(IDAI AE 9)aT<K
|}m
f
gvz®%t)bdf⮵vz )e#´
g g .0 & g - g .10 0
a&bfârzydyd )v¸{mwerut)f¹|}vzqop{t)mwv:x
g¨5f.qovzx:|+t}vt)bdfâ }nqovu¬§|p¨|yrz f
g . &
0B g . &
0MA1
&(()(&
g
&
(d³ù3
©bmwqof¹t}bdfrzydyd )v¸nmoerut)fqwt}fL }f }mozb8t¯Äbrzx |}m fmo|&moxt}bdfâ )nqwvu¬|}pd¨|}yrz.f
g . &
0B g . &
0M g . & T 0BA
T
&)(((&
gk
$
0
(d³(G
v~t)fZt)brutt}bfF|yr: f gFms|xdv~tt)bdfP|yr: fv~® )fL|}m pr~qs| C gxdv: gt}bdfP|}yrz.f-vz® }fB|m przqW¯
|r:|}|}v{ msrut}f ©mwt}b²t}bdfqwt}fL }f )mw:b:t}¯Mbr~x |}m f -D.
102 ´¼|}mwx f#xdf.mwt}bf. xdv:
-D.
102 ¨5f.qovzxdt}v
g . &
0 ³
a&bf§xrzqÆ )fL»8pdmo }fLef.x8t®µvz t}bdf-yv:qwnxdv:emorzq
-
g#ms|t)brutgmWt|bdv:pdq r~ydy }v¸{moer~t}fgt}bfXHm fLr~q
qWt)f. D®µpdxt)mwv:x%J
-
´Rmwx?|}vzefg|fLx|f:´5rzx v:xn¬zf. )zfât)vZmwt®µv: i mox?|}vzef|}f.x|}fz³ v: 2t}bmo|D©¼f
|}moegyqw f xdf
-
ggrz|+t)bdfqofLrz|t¯°|)»:pr~ )fL|+r~ydyd )v¸{mwer~t}movzx§t)vgt}bdf⮵pdxt}movzx
-
³Æa&bdfL }f.®µvz )fz´
- g .A5
0B
g
2
3*4
$ - &
3 3 .A5
0 &
(d³hV
©bf. )f
3
ms|ârZ¨rz|}mo|Dv~®+yv:qwnxdv:egmsr~qs|t}br~t¹ms|¹vz }t}bdv:xdvz )er~q1®µv: |v:egf
T
mwxxdf. }¯My }v p tL³a&bdf
T
¯Ämwxxdf. yd )v pt§©moqoq¨fF|}f.qofL t}f fL|)|}f.x8t}msr~qoqw t}v"er zf-t}bfF vzeydpdt)rut)mwv:x¶t) )r:t$r~¨dqof#©mWt)bdvzp{t
)fL|}vz }t}moxd¹t}vxnpdefL }ms.rzqdmwx8t)f.z $rut)mwv:x1³%a&bf2xdf nt¼|}fL t}movzx fB| )mw¨5fL|Ht}bdf2vu¬:f. $r~qoqnyd }v{.f pd )fmox f t$r~moq<³
A"!
¾PÂ$# £  ¢¸¡ Â%Â
££d Û Â$#&%¼Â ¿  ۣ Û
vz &t)bdf|}r zf¹v~®H qsr~ )mWt:´n©¼f fLqor¸
t)bdf ms|) p|)|movzx¦vz®ât}bdf?$bvzms fFvz®¹t)bdf'
T
mwxxdf. }¯My }v p tZpdx8t}moqqsrut)f. -mwxºknfBt)mwv:x,(d³ù{³|)|pegf
t)bdf. )f ®µv: }f¼t}brutHt}bf(
T
moxdxdf. }¯Äyd }v pt®µvz t)bdf2r~¨5vu¬zf+qwfBrz|t¯°|}»8prz }fB|%rzydyd )v¸{mwerut)mwv:xms| f xdf r~x
t)brut¹ vzeydpdt}moxdZ|}p$b)
T
¯Ämoxdxdf. yd }v pt)|v~®yv:qwnxdv:emorzqo|ms|2moxdf.ny5f.x|mo¬zfLqwrz..vzeydqomo|}bdf ³¼ÄtDmo|
bf.qoy{®µpdqM´d®µvz 2.vzeydp{t$rut)mwv:xr~qydp }y5v:|}fL|L´nt}vp|}fr~x#vz }t}bvzxdv: }er~qR¨r:|ms|&v~®Qyv:qwnxdv:emorzqo|r:|}|}v{ msrut}f
©mwt}b?t}bdms|¹mwxxdf. âyd )v ptB³a&bdms|ms|Dt} $r mwt}movzxrzqwqo vzxf©mwt}b?t}bdfg©¼fLqwqw¯88xvu©xk8t}moffB|¹yd }v{.f pd )fz´
©bmo$bFpdt}moqwmoÅ.fB|DrI(u¯Mt}f. )e0 }fB pd ) )f.x.f&*)M³k8t)rz t)mwx§©mWt)br- f. }t)rzmwx?yv:qwnxdv:egmsr~q+*
=
t)bdf|fB»:pf.x.f
ms|&¨dpdmoqwtDrz|¼®µvzqoqovu©2|.³
, -/.101243654798;:4<=>< 1¡¾ ? ¾
@BA
= n ;1&
C>A D $ * = EGF
&
HIA $*.65
0B
$
JBK
* = .A5
0 &
L A MONQP
7
SR
&0)00&
UT
N
VWA X 3
5Y
3
&
3 &
ZWA * 3
.65
0 5Y
3
.A5
0 C X 3 3 .65
0 C D 3 3 $ .65 0 &
[ A D 3 k $ * 3
E\F
&
]IA
3 k $ .A5
0B
$
J
;^
K * 3 .A5
0 0
_WA `ba4c T N
v~t)f-t)brut®µv: § v:x8¬:f.xdmof.x f-t}bdf# $|ty5vzqonxdvzemsr~qmoxUt}bdfP|}fL»8pdf.x f#mo|
©mwt}b
=
mox|t}fBr
v~®2¨5f.moxd
=
©mWt)b
$rn;
rz|mo|g v:eegv:x·yd $rzt)mo.fz³Fa&bdf-yv:qwnxdv:emorzqo||)rut)mo|®µt}bdf
t)bd )f.f ¯Mt}fL }e }fB pd ) }fLx f
3 k
$3.65 0B
N
D 3 k $ .65b
3
.65 0 C X 3 3
.A50 C D 3 3
$3.65 00 7 ZN &00)0&
(d³ù3
a&bf$bdv:mo.fv~® * =
©moqoq fLyfLx v:xPt}bdfg|yrz f®µvz ©bmo$bF©+frz }f¨pdmwq moxd-r§¨rz|}mo|L³ 72fL }ft}bdf
qWt)f. ®µpdxt}movzx|
- g r~ )f¹moxt}bdf|}yr: fle gk
$8.
T
|}vt}br~t * = .A5
0 5 T 0
a&bfr~¨5vu¬zf¹yd }v{.f pd )fâ }fB»8pdmw )fL|
v:xdqot)v¨5fPr~¨dqof§t)v.vzeydp{t)f
mwxxdf. yd )v pt$|gv~®2y5vzqo8xvzemorzqo|L´
3t}bdfyd )v pt
5 h¶®µvz
rFzmo¬zf.x"y5vzqonxdvzemsr~qh²r~x
(GâqomwxfLr~ g v:e¨dmoxrut)mwv:x|vz®&y5vzqonxdvzemsr~qs|.³Pa&bdf f t$r~moqo|vzx·bdvu© t}v
y5f. }®µvz )ejt)bdfL|}fâvzy5f. $rut}movzx|&©mwqoq¨f mo|) p|)|}f mwxFknfBt}movzx| (d³ùrzx knfL t}movzx`(d³ d³
¾S%Æ ¿  <£¡   ¡Â % £d¤ ¾ Û Â Â ¢ % D< f t
¨f#t)bdfPeru{mwepde
mwef.x|movzxPvz®Qt)bdf|}pd¨|}yrz.fL|
g
r~x g
®µv: i = N ³+ |t) }v:xd }fLqor~t}movzx|}bdmoyP.r~xP¨5ffB|t$r~¨dqomo|}bdf
¨5f t©+f.fLxt}bdfâqwt}fL }f |yr: f g
r~x t)bdfy5vu8xvzemorzq1|yrz f e
gk
$.
T
´d©bdms$b#©mwqoq1¨5f»8pdmWt)fbdf.qoy{®µpdqM³
a&bmo|& )f.qsrut)mwv:x|bmwymo|+t)bdfer~ydymwxd
- g
e]gk
$.
T - g .
102
g . &
0 (d³ G
¦bf.x\i
H´{t)bdms|er~ydydmoxdms|r¨mfBt}movzx³
¦brutms|2mox8t}f. )fL|t}moxdZrz¨v:p{t2t)bdmo|er~ydydmoxd§ms|t)brut¹mWt¹r~qoqwvu©2|p|t}vZyd }vu¬nm fât}bf â )8qovu¬Z|}pd¨{¯
|}yr: f( g . &
0 ©mWt)br v~t&yd )v ptB´8©bmo$b-mo|&.rzxdvzxmoLr~qoqw fL }mo¬zf ®µ }v:e t}bdf¹yv:qwnxdv:emorzqR|}yr: fz³
D|rg }fB|pdqwtv~®%t}bdms|©+f¹v:¨{t)rzmwx#r~xms|v:egv: }ybdmo|}ej¨5f t©+f.f.x-t}bfât©¼v|}yrz.fL|+©bdms$brzqwqovu©2|+p|.´{©mwt}b
®µfL© f d.f.y{t)mwv:x|.´t}vp{t}moqwmoÅ.fev:|tgvz®2t}bf©+f.qoqw¯#nxdvu©x²ÇD¯Mtnyf#r~qozv: }mwt}bde|®µvz v:eydp{t}moxdt}bdf
rzydyd )v¸{mwerut)f¹|}vzqop{t)mwv:x g ³
f f.xdfât}bf ùrzx ÅLv:| |fB»8pdf.x.f
> 3
©mwt}b# )fL|}yfBt&t}vgt}bmo|moxdxdfL 2yd )v pt¨n
>3
3 .
102
¦mwt}b¶t}bdms|mo|}vzevz )ydbdms|}e´Hr?x8pe¨5f. gv~®|t)r~x r~ vzy5f. $rut)mwv:x|mox·t}bfZqwt}fL }f |}yrz.f§br¸¬zf§t}bdfLmw
moeef msrut)fr~xrzqwv:zpdfB|Æmoxt}bdfy5vzqonxdvzemsr~q1|}yrz.fz³
moqWt)f. )f |}yrz.f v:qwnxdv:egmsr~q|}yrz.f
mWt)mwv:x#v~®¬zfL t}v: )| mWt)mwv:x-vz®Qy5vzqonxdvzemsr~qs|
kd.r~qomoxdv~®¬zfL t}v: )| |).rzqwmoxdgv~®yv:qwnxdv:emorzqo|
°xxdf. 2y }v p t)| moxdxdfL yd )v pt$|
%r~x.Å.v8|+qw:vz )mWt)bde knt}mof.qfL|yd )v{ f pd )f
(~¯<t)f. )e )fL p } )f.x.f (~¯<t)f. )ej }fB pd ) )f.x.f
>3
r~x Å.v8| ¨r:|ms|&¬zfBt)vz v: t)bdvz:vzxrzqy5vzqonxdvzemsr~q 3
moqWt)f. )f |}fL»8pdf.x f g y5vzqonxdvzemsr~q|}fL»8pdf.x f - g
°x#yrz t)mo.pdqsr~ B´:t)bdf¬zfBt)vz $|
>3
¬zfL }mw®µt}bf (u¯Mt}f. )e )fL.pd } )f.x f
> 3 k $ N
D 3 k $ . > 3 C X 3 > 3 C D 3 > 3 $ 0
&17X=
N & > $ N
D $ T & > =
;10
(d³
©bmo$b-mo|&|}mweydqot}bdfârzx ÅLv:|¼yd )vn.f p }f:´:©mwt}b-t}bdf¹p|}pr~q@p qom fBr~x-mwxdxf. }¯Myd )v p t¼ )f.ydqsrz.f ¨n
t)bdfmoxdxdf. }¯Äyd }v pt f xdf ®µ }v:e t)bdfyv:qwnxdv:emorzqR|}yr: fz³
