Paramétrage quasi-optimal de l'intersection de deux quadriques : théorie, algorithmes et implantation

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Paramétrage quasi-optimal de l’intersection de deux quadriques : théorie, algorithmes et implantation

Laurent Dupont

To cite this version:

Laurent Dupont. Paramétrage quasi-optimal de l’intersection de deux quadriques : théorie, algo-

rithmes et implantation. Génie logiciel [cs.SE]. Université Nancy II, 2004. Français. �tel-00103446�

UFR math´ematiques et informatique Ecole doctorale IAEM Lorraine´ D´epartement de formation doctorale en informatique

Param´ etrage quasi-optimal de l’intersection de deux quadriques : th´ eorie, algorithme et implantation

TH` ESE

pr´ esent´ ee et soutenue publiquement le 6 octobre 2004 pour l’obtention du

Doctorat de l’universit´ e Nancy 2

(sp´ ecialit´ e informatique) par

Laurent Dupont

Composition du jury

Pr´ esident : Jean-Fran¸ cois Mari, Professeur ` a l’universit´ e de Nancy 2

Rapporteurs : Bernard Mourrain, Directeur de recherche ` a l’INRIA Sophia-Antipolis Elmar Sch¨ oemer, Professeur ` a l’universit´ e de Ma¨ınz

Examinateurs : Bernard Lacolle, Professeur ` a l’universit´ e de Grenoble Sylvain Petitjean, Charg´ e de recherche au CNRS Directrice de th` ese : Hazel Everett, Professeur ` a l’universit´ e de Nancy 2

Laboratoire Lorrain de Recherche en Informatique et ses Applications — UMR 7503

Mis en page avec la classe thloria.

R´ esum´ e

Cette th` ese pr´ esente un algorithme robuste et efficace du calcul d’une forme param´ etr´ ee exacte de la courbe d’intersection de deux quadriques d´ efinies par des ´ equations implicites ` a coefficients rationnels. Pour la premi` ere fois, le param´ etrage que nous obtenons contient toutes les informations topologiques de la courbe et est assez simple pour ˆ etre exploit´ e dans des applications g´ eom´ etriques non triviales.

De nombreux progr` es, dans diff´ erents domaines, ont ´ et´ e n´ ecessaires pour atteindre ce r´ esultat.

Nous avons r´ ealis´ e une ´ etude exhaustive de tous les cas possibles d’intersection, d’abord dans P

( C ) en nous basant sur les travaux de Segre, puis dans P

( R )

en exploitant les r´ esultats d’Uhlig sur la r´ eduction simultan´ ee de deux formes quadratiques r´ eelles. Cette ´ etude syst´ ematique nous a permis de maˆıtriser compl` etement la g´ eom´ etrie inh´ erente

`

a l’intersection de deux quadriques. Nous sommes maintenant capables de d´ eterminer toutes les caract´ eristiques de la courbe d’intersection, ` a savoir son genre, ses points singuliers, le nombre de ses composantes alg´ ebriques et connexes, et les incidences entre ces composantes. Quand il en existe, nous trouvons un param´ etrage rationnel des composantes de la courbe d’intersection.

En ce sens, notre algorithme est optimal. Nous avons aussi fait des progr` es significatifs sur la complexit´ e de l’expression radicale des coefficients du param´ etrage obtenu. Notre r´ esultat est quasi-optimal dans le sens o` u les coefficients du param´ etrage de la courbe d’intersection que nous calculons contiennent au plus une racine carr´ ee non n´ ecessaire dans leur expression.

De plus, notre r´ esultat est optimal dans le cas le pire, dans le sens o` u pour chaque type de courbe d’intersection (par exemple une quartique r´ eguli` ere, ou une cubique et une droite, ou deux coniques), il existe des paires de quadriques pour lesquelles le nombre de racines carr´ ees apparaissant dans l’expression des coefficients de notre param´ etrage est minimal.

Enfin, nous avons r´ ealis´ e une implantation compl` ete de notre algorithme en MuPAD qui nous a permis d’afficher des performances in´ edites, tant en terme de vitesse d’ex´ ecution qu’en terme de simplicit´ e du r´ esultat obtenu.

Mots-cl´ es: I.1.2 [calcul formel et manipulations alg´ ebriques] : Algorithmes. I.3.5 [infor- matique graphique ] : g´ eom´ etrie algorithmique et mod´ elisation g´ eom´ etrique.

(ACM Computing Classification System (1998))

Abstract

This thesis presents a robust and efficient algorithm for the computation of an exact pa- rameterized form of the intersection curve of two quadric surfaces defined by implicit equations with rational coefficients. For the first time, the parameterization that we obtain contains all the topological informations of the curve and is simple enough to be exploited in non-trivial geometric applications.

Many new improvements, in different domains, were necessary to reach this result. We did a complete study of all possible cases of intersection, first in P

( C ) based on the work of Segre, then in P

( R ) by exploiting the results of Uhlig on the simultaneous reduction of two real quadratic forms. This systematic study allowed us to have a fine understanding the geometry of the intersection of two quadric surfaces. We are now able to determine all characteristics of the intersection curve, that is its genus, its singular points, its algebraic components and connected components, and all the links between these components. When one exists, we find a rational parameterization of the components of the curve. In this sense, our algorithm is optimal. We also made some significant improvements on the complexity of the radical expression of the coefficients of the obtained parameterization. Our algorithm is near-optimal in the sense that the coefficients of the parameterization contain at most one unnecessary square root in their expression. Our algorithm is optimal in the worst case, in the sense that for every type of intersection curve (for example a regular quartic, or a cubic and line, or two conics), there exist pairs of quadrics for which the number of square roots in the expression of the coefficients is minimal.

Finally, we made a complete implementation of our algorithm in MuPAD which allowed us to get previously unheard of performances, in terms of running time and in terms of the simplicity of the result.

Keywords: I.1.2 :

v

Remerciements

L’entr´ ee en th` ese a ´ et´ e pour moi le reflet d’un choix d´ elicat, ` a savoir poursuivre dans la continuit´ e de son DEA, ou bifurquer vers le monde professionnel. Ce choix je l’ai fait grˆ ace aux encouragements de ma famille, d’Hazel Everett, de Sylvain Lazard et Sylvain Petitjean, sans connaˆıtre toutes les difficult´ es qui ont surgies immanquablement au cours de la th` ese, les moments de doute, de remise en cause. Je l’ai fait aussi sans savoir ` a quel point ce travail allait m’enrichir, m’´ epanou¨ır. Je suis heureux de l’avoir fait. Un autre aspect qui n’apparaˆıt g´ en´ eralement pas au moment du choix est sans doute l’importance de l’´ equipe dans laquelle la th` ese se fera. En effet, j’estime avoir ´ et´ e particuli` erement chanceux ` a ce propos, puisque j’ai int´ egr´ e une ´ equipe qui m’a offert des conditions de travail id´ eales, tant par l’environnement du laboratoire et sa qualit´ e scientifique que par la personnalit´ e des membres de cette ´ equipe. Ces aspects sont essentiels dans le d´ eroulement d’une th` ese.

Je voudrais en premier lieu remercier Jean-Fran¸ cois Mari d’avoir accepter mon jury de th` ese, Bernard Mourrain et Elmar Sch¨ oemer de m’avoir fait l’honneur de r´ ediger chacun un rapport sur mes travaux de th` ese, malgr´ e les difficult´ es linguistiques qui ont pu apparaˆıtre durant la lecture du document. Je tiens aussi ` a remercier Hazel Everett, Sylvain Petitjean et Bernard Lacolle d’avoir particip´ e ` a ce jury.

Je tiens ` a remercier Hazel Everett d’avoir accepter de diriger ma th` ese. J’ai particuli` erement appr´ eci´ e son souci constant de m’orienter dans les bonnes directions, tant dans ma d´ emarche scientifique que dans les choix qui ont influenc´ e la qualit´ e de mon dossier pour la suite de mon parcours. Je tiens ` a remercier Hazel Everett, Sylvain Lazard et Sylvain Petitjean pour m’avoir int´ egr´ e dans leur ´ equipe depuis mon arriv´ ee en DEA. Durant ce DEA et toute ma th` ese ils ont fait preuve de beaucoup de bienveillance et m’ont toujours pouss´ e vers le haut. Ils ont cr´ e´ e les meilleures conditions de recherche en manifestant une patience sans limite. Je m’estime d’autant plus chanceux d’avoir ´ et´ e leur ´ etudiant que lors du choix d’un sujet de DEA, la personnalit´ e des chercheurs nous est encore inconnue, et que j’aurais pu int´ egrer une ´ equipe moins attentive au bien-ˆ etre de ses ´ etudiants. Merci ` a Xavier Goaoc et Marc Glisse qui ont eux aussi r´ epondu ` a mes questions et se sont toujours montr´ es disponibles pour m’aider.

Merci ` a Daniel Lazard sans qui les r´ esultats apparaissant dans cette ne seraient pas ce qu’ils sont aujourd’hui. Je tiens encore ` a remercier Elmar Sch¨ oemer de m’avoir accueilli cinq mois ` a Sarrebruck et m’avoir ainsi donn´ e l’opportunit´ e de prolonger mes recherches. Merci ` a Michael Hemmer pour tout le temps qu’il m’a consacr´ e, et qu’il me consacre encore dans ces recherches.

Merci ` a Jean-Claude Paul de m’avoir accueilli dans l’´ equipe ISA. Merci ` a Isabelle pour sa disponibilit´ e.

Merci ` a Fabrice Rouillier et Bruno Pin¸ con de leur soutien durant l’ann´ ee de maˆıtrise. Leurs encouragements m’ont incit´ e ` a pers´ ev´ erer et je ne serais sans doute pas l` a sans eux.

Merci ` a tous ceux de mon entourage qui m’ont soutenu durant les diff´ erentes ´ epreuves que traverse tout th´ esard. Merci ` a mes parents de leur soutien constant durant toutes ces ann´ ees de doutes. Merci ` a ma soeur et ` a mon fr` ere de leurs encouragements.

Enfin, merci ` a celle qui partage ma vie, qui me soutient, m’encourage et me suit dans tout

ce que je fais, avec qui je construis ma vie, merci Brigitte.

vi

vii

pour mes parents,

pour Brigitte.

viii

Table des mati` eres

Table des figures xiii

Liste des tableaux xv

Notations 1

Chapitre 1 Introduction 3

1 Historique du probl` eme . . . . 3

2 Contributions . . . . 5

3 Organisation du document . . . . 7

Chapitre 2 ´ Etat de l’art 9 1 Intersection de deux quadriques . . . . 9

2 Applications . . . . 11

Chapitre 3 Quadriques : d´ efinitions et g´ en´ eralit´ es 13 1 Quadriques . . . . 13

2 Faisceau de deux quadriques . . . . 18

Chapitre 4 Calcul de l’intersection : m´ ethode na¨ıve 21 1 Description de l’algorithme . . . . 21

2 Analyse de la m´ ethode . . . . 25

Chapitre 5 M´ ethode de Levin 29 1 R´ esultats . . . . 29

2 Description de l’algorithme . . . . 31

3 Analyse de la m´ ethode . . . . 31

4 Perspectives . . . . 33

Chapitre 6 Intersection de quadriques et espace projectif : pr´ eliminaires 35 1 Les espaces projectifs . . . . 35

ix

x Table des mati` eres

2 Quadriques dans l’espace projectif . . . . 36

3 D´ efinitions li´ ees aux courbes d’intersection . . . . 39

Chapitre 7 Caract´ erisation du faisceau de deux quadriques 45 1 Equation d´ ´ eterminantielle et invariants associ´ es . . . . 45

2 Caract´ erisation des faisceaux dans P

( C ) . . . . 48

3 Faisceaux dans P

( R ) . . . . 53

4 Vers l’´ elaboration d’un algorithme . . . . 59

Chapitre 8 R´ esultats li´ es ` a la complexit´ e alg´ ebrique 61 1 Intersection et complexit´ e alg´ ebrique . . . . 61

2 M´ ethode de Gauss, transformations congruentes . . . . 62

3 Param´ etrages et ´ equation aux param` etres . . . . 65

4 Conclusion . . . . 73

Chapitre 9 Algorithme associ´ e aux faisceaux r´ eguliers, cas g´ en´ eral 75 1 Compl´ ements sur les propri´ et´ es de la courbe de base . . . . 75

2 Choix de la quadrique ` a param´ etrer . . . . 83

3 Algorithme associ´ e aux faisceaux r´ eguliers . . . . 86

4 Algorithme g´ en´ eral . . . . 86

Chapitre 10 ´ Etude des courbes singuli` eres 91 1 Singularit´ es convexes ou concaves de la courbe de base . . . . 91

2 R´ esultats . . . . 92

3 Application du th´ eor` eme d’Uhlig . . . . 97

4 R´ esultats d´ etaill´ es . . . 106

Chapitre 11 Algorithmes associ´ es aux diff´ erents cas 119 1 Pourquoi de nouveaux algorithmes . . . 119

2 S´ eparation des cas . . . 123

3 Calcul de la forme param´ etr´ ee . . . 125

Chapitre 12 Implantation 145 1 Choix du langage . . . 145

2 Organisation des algorithmes . . . 145

3 Validit´ e des r´ esultats et jeux de tests . . . 146

4 R´ esultats d’ex´ ecution . . . 148

5 Interpr´ etation . . . 151

xi Chapitre 13 Conclusions, applications et perspectives 153 1 Analyse de nos r´ esultats . . . 153 2 Applications . . . 153 3 Perspectives . . . 155

Annexes

Annexe A Validit´ e des param´ etrages projectifs 159

Annexe B Rappels alg´ ebriques 163

B.1 Extensions et th´ eorie de Galois . . . 163 B.2 R´ esolution de polynˆ ome . . . 165

Bibliographie 169

xii Table des mati` eres

Table des figures

3.1 Diff´ erentes quadriques : (de gauche ` a droite et de haut en bas) ellipso¨ıde, cylindre elliptique, cˆ one, hyperbolo¨ıde ` a 1 nappe, hyperbolo¨ıde ` a 2 nappes, parabolo¨ıde

hyperbolique. . . . 14

5.1 Arbre de d´ ecision permettant de d´ eterminer le type affine d’une quadrique Q

. . 30

6.1 Singularit´ es possibles de la courbe d’intersection . . . . 42

9.1 Intersections possibles pour les faisceaux r´ eguliers . . . . 77

9.2 Faisceaux ne contenant pas de quadriques d’inertie (2, 2) . . . . 87

10.1 Singularit´ es convexes et concaves . . . . 92

10.2 Intersections possibles quand E

a une racine quadruple r´ eelle . . . . 94

10.3 Intersections possibles quand E

a une racine triple et une simple . . . . 95

10.4 Intersections possibles quand E

a une racine double et deux simples . . . . 96

10.5 Intersections possibles quand E

a deux racines doubles . . . . 98

10.6 Intersections possibles quand E

est identiquement nulle . . . 100

12.1 Mesures de temps de calculs dans le cas o` u le faisceau d´ efinit une quartique r´ eguli` ere148 12.2 Mesures de temps de calculs dans le cas o` u le faisceau d´ efinit une quartique singuli` ere149 12.3 Mesures de temps de calculs dans le cas o` u le faisceau d´ efinit une cubique et une droite . . . 150

12.4 Mesures de temps de calculs dans le cas o` u le faisceau d´ efinit deux coniques . . . 150

12.5 Mesures de temps de calculs dans le cas o` u le faisceau d´ efinit une conique et deux droites . . . 151

12.6 Mesures de temps de calculs dans le cas o` u le faisceau d´ efinit quatre droites concourantes . . . 151

13.1 Illustration des diff´ erents cas possibles dans le retour ` a l’espace affine . . . 154

xiii

xiv Table des figures

Liste des tableaux

3.a Equations canoniques des quadriques de ´ R

et types affines associ´ es (a, b, c ∈

R

\ {0}). . . . 18

3.b Equations canoniques des quadriques, nom des types affines associ´ ´ es, param´ e- trages correspondants, avec a, b, c ∈ R

\ {0}, (u, v) ∈ R

. . . . 19

4.a Types affines du tableau 3.b correspondant aux ´ equations canoniques susceptibles d’ˆ etre obtenues en fonction du nombre de valeurs propres non nulles de P

. ε

∈ R

, i = 1, 2, 3, b

, b

, c

∈ R . . . . 24

6.a Types projectifs des quadriques . . . . 38

7.a Classification par facteurs invariants dans P

( C ). . . . 51

7.b Classification des courbes de base d’un faisceau de quadriques par facteurs inva- riants dans P

C pour les faisceaux d´ eg´ en´ er´ es. . . . 52

8.a Param´ etrages optimaux des quadriques projectives dont l’inertie est diff´ erente de (3, 1). . . . . 66

9.a Intersections possibles pour les faisceaux r´ eguliers . . . . 76

10.a Intersections possibles quand E

a une racine quadruple r´ eelle . . . . 93

10.b Intersections possibles quand E

a une racine triple et une simple . . . . 94

10.c Intersections possibles quand E

a une racine double et deux simples . . . . 95

10.d Intersections possibles quand E

a deux racines doubles . . . . 97

10.e Intersections possibles quand E

est identiquement nulle . . . . 99

10.f Blocs de Jordan et racine quadruple . . . 101

10.g Une racine quadruple dont la matrice de la quadrique associ´ ee est de rang 2 . . . 106

11.a Corps de d´ efinition, dans le pire cas, du param´ etrage de chaque composante al- g´ ebrique de la courbe de base et optimalit´ e th´ eorique, pour les cas o` u la partie r´ eelle de l’intersection est de dimension 0 ou 1. Si le r´ esultat th´ eorique n’est pas optimal, la nature du test n´ ecessaire ` a la v´ erification de l’optimalit´ e en pratique est donn´ ee. . . 143

xv

xvi Liste des tableaux

Notations

Ensembles :

R

espace affine r´ eel de dimension n PR

espace projectif r´ eel de dimension n PC

espace projectif complexe de dimension n PR

espace quasi-projectif r´ eel de dimension n Quadriques :

Q

, Q

, Q

quadriques

P matrice associ´ ee ` a la quadrique Q

P

sous-matrice 3 × 3 sup´ erieure gauche de P F(Q

, Q

) faisceau engendr´ e par Q

et Q

E

´ equation d´ eterminantielle d´ efinie par P et Q

Ω

´ equation aux param` etres obtenue en ins´ erant un param´ e- trage de Q

dans l’´ equation implicite de Q

Matrices de transformations :

T matrice carr´ ee d’une application lin´ eaire Points de R

et P

( R ) :

Les points de R

seront not´ es

(x

, x

, x

) ou

(x

, x

, x

, 1) selon qu’ils aient ou non une co- ordonn´ ee homog` ene. Le mˆ eme symbole X d´ esignera indiff´ eremment

(x

, x

, x

) ou

(x

, x

, x

, 1), la distinction se faisant selon qu’il est associ´ e ` a l’´ equation implicite d’une quadrique ou qu’il ap- paraˆıt dans une expression matricielle. De plus, quand il n’y aura pas de confusion possible, nous omettrons le symbole «

» de transposition dans le corps du texte.

1

2 Notations

Chapitre 1

Introduction

1 Historique du probl` eme

La conception assist´ ee par ordinateur a toujours ´ et´ e une branche importante de l’informa- tique, permettant de concevoir et simuler l’usage de produits industriels comme des voitures, des avions, et de mani` ere plus g´ en´ erale des pi` eces m´ ecaniques. Cette ´ etape est essentielle dans les processus industriels avant la r´ ealisation effective de prototypes car elle permet de r´ eduire consid´ erablement les coˆ uts de conception de nouveaux produits. Tr` es tˆ ot, les grandes firmes auto- mobiles et a´ eronautiques ont per¸ cu l’int´ erˆ et de logiciels d’infographie. Le constructeur de voiture General Motors ou l’entreprise Dassault ont eux-mˆ emes r´ ealis´ e leur logiciel de CAO, GMSOLID pour le premier, et Catia pour la deuxi` eme. L’´ etendue des applications de ces logiciels s’est ´ elar- gie ` a d’autres domaines comme l’architecture, l’animation, ou le cin´ ema. D’autres programmes sont apparus, sp´ ecialis´ es dans telle ou telle application comme Maya [May], Povray [Pov], Blen- der [Ble], etc... Ils ont en commun de manipuler des repr´ esentations virtuelles d’objets tridimen- sionnels, chacun les exploitant ensuite dans des traitements propres ` a son domaine d’application.

Il existe de nombreuses fa¸ cons de repr´ esenter ces objets, et ces repr´ esentations ont une incidence non n´ egligeable sur les traitements ult´ erieurs comme le rendu r´ ealiste, les calculs de propri´ et´ es physiques des objets (comme la p´ en´ etration dans l’air d’une aile d’avion,. . . ), ou l’animation d’une sc` ene.

Une mani` ere naturelle de construire des objets est d’appliquer une combinaison d’unions, d’intersections et de diff´ erences ` a des volumes simples. Cette construction induit une repr´ esen- tation volumique appel´ ee mod` ele CSG, pour Constructive Solid Geometry, et est tr` es souvent utilis´ ee dans la phase de conception des sc` enes. Une autre approche consiste ` a d´ efinir les objets d’une sc` ene par des mod` eles surfaciques, appel´ es mod` eles BRep, pour Boundary Representa- tion. Ces mod` eles sont d´ efinis par leurs diff´ erentes faces ext´ erieures, c’est-` a-dire pour chacune d’entre elles, la description de la surface d´ efinissant la face, et les courbes d´ elimitant la face.

Cette conception moins naturelle offre cependant de nombreux avantages dans la manipulation des objets ; elle est mˆ eme indispensable pour r´ ealiser certains traitements comme le calcul de radiosit´ e pour la d´ etermination de l’illumination d’une sc` ene.

Dans ces deux repr´ esentations des objets, il faut encore d´ eterminer la mani` ere dont sont d´ efi- nis soit les volumes ´ el´ ementaires pour le premier, soit les faces pour le deuxi` eme. Historiquement, les premi` eres descriptions des faces des mod` eles BRep ont ´ et´ e faites au moyen de maillages po- lygonaux (polygones qui sont le plus souvent des triangles). Le plan contenant un polygone (ou triangle) repr´ esente la surface qui contient la face, l’ensemble de ses arˆ etes d´ ecrivent le bord de la face. Ils offrent une grande souplesse d’utilisation par le faible degr´ e des ´ equations en jeu lors

3

4 Chapitre 1. Introduction de leur manipulation (des ´ equations de degr´ e 1 correspondant ` a l’intersection de segments, de plans). En contrepartie, ils n´ ecessitent un nombre important de polygones pour d´ ecrire chaque objet et en offrir un aspect acceptable, ce qui allonge consid´ erablement les temps de calcul. Il n’est pas rare de devoir traiter pour une seule sc` ene un million de triangles, de leur appliquer des transformations g´ eom´ etriques, de plaquer sur leur surface des textures, le tout pour obtenir un rendu en temps r´ eel (la limite th´ eorique des cartes graphiques actuellement utilis´ ees ´ etant de 150 millions de triangles, la limite pratique se situe entre 300 000 et 1 million de triangles pour des sc` enes r´ ealistes). Il existe une litt´ erature tr` es importante sur les maillages, tant dans le domaine de leur d´ etermination en tant qu’approximation de surface que dans le domaine de leur repr´ esentation en m´ emoire, leur manipulation ou leur rendu. Leur ´ etude constitue toujours un domaine actif de l’infographie.

Il est possible de g´ en´ eraliser les maillages en n’utilisant plus seulement des plans pour contenir les faces, mais aussi des surfaces alg´ ebriques de degr´ e sup´ erieur. La fronti` ere entre les diff´ erentes faces n’est plus uniquement constitu´ ee de segments de droites mais aussi de courbes de degr´ e plus

´

elev´ e, et les ´ equations entrant en jeu dans les calculs sont beaucoup plus compliqu´ ees. Leur usage se limite actuellement ` a des surfaces alg´ ebriques particuli` eres comme les quadriques naturelles (sph` eres, cˆ one droit, cylindre ` a base circulaire) et tores. Notons que la description des surfaces alg´ ebriques peut se faire de deux fa¸ cons, par ´ equation implicite ou par param´ etrage. Si cette remarque n’a que peu de cons´ equences pour les maillages d´ efinis par des faces planes, elle est en revanche essentielle pour des maillages dont les faces sont contenues dans des surfaces alg´ ebriques de degr´ e plus ´ elev´ e, le passage d’une repr´ esentation ` a l’autre ´ etant d´ ej` a en soi un probl` eme ardu.

Les maillages ne sont cependant pas, loin s’en faut, la seule repr´ esentation possible des surfaces.

Citons par exemple les repr´ esentations ` a base de surfaces de B´ ezier ou de NURBS qui poss` edent la propri´ et´ e commune avec les maillages ` a base de polygones (ou triangles) de pouvoir ˆ etre d´ eform´ es facilement grˆ ace ` a des points de contrˆ ole (les sommets des triangles dans le cas des maillages).

Pour les mod` eles CSG, les volumes ´ el´ ementaires peuvent ˆ etre d´ ecrits th´ eoriquement par les mˆ emes objets g´ eom´ etriques, maillages, NURBS, surfaces de B´ ezier, surface alg´ ebriques, mais en les consid´ erant comme des volumes. Par exemple, dans le dernier cas, l’appartenance au volume peut se faire par l’´ evaluation n´ egative, positive ou nulle de l’´ equation implicite en un point, ce qui indique si ce point est ` a l’int´ erieur, ` a l’ext´ erieur ou sur le bord de l’objet. En pratique, les volumes ´ el´ ementaires sont des cubes, des pav´ es, des pyramides, pouvant ˆ etre d´ ecrits par des plans, des quadriques naturelles, ou encore des tores. Seules quelques exp´ eriences de mod` eles CSG ` a base de NURBS ont ´ et´ e r´ ealis´ ees par S. Krishnan et D. Manocha [?]. Notre choix s’est port´ e sur une repr´ esentation des volumes ´ el´ ementaires par les ´ equations implicites des surfaces qui les bornent.

Les mod` eles CSG et BRep ont chacun des avantages et des inconv´ enients qui leur sont

propres. Il est souvent n´ ecessaire dans un syst` eme graphique de maintenir ` a jour simultan´ ement

ces deux mod` eles ; il faut donc pouvoir faire des conversions entre les deux. La difficult´ e de

cette conversion vient de la fa¸ con dont les primitives g´ eom´ etriques de base du mod` ele CSG

sont d´ efinies. La caract´ eristique critique dans notre cas est le degr´ e des ´ equations implicites des

surfaces alg´ ebriques servant ` a d´ ecrire les volumes ´ el´ ementaires du mod` ele CSG. Maˆıtriser le cas

non-lin´ eaire dans sa g´ en´ eralit´ e et non plus pour telle ou telle ´ equation aux propri´ et´ es particuli` eres

constitue l’un des grands d´ efis actuels de la g´ eom´ etrie algorithmique. Dans notre cas, le premier

pas en avant se traduit par l’apparition d’une nouvelle g´ en´ eration de modeleurs, comme SGDL

Studio [Sgd] o` u les objets sont d´ efinis par des mod` eles CSG dont les primitives de base sont

born´ ees par des surfaces alg´ ebriques de degr´ e au plus 4, c’est-` a-dire les plans, les quadriques,

les cubiques et les quartiques. Dans le cadre d’un projet de r´ ealisation de la conversion d’un

2. Contributions 5 mod` ele CSG d´ efini par des volumes born´ es par ces quadriques, en un mod` ele BRep, nous nous attachons, dans ce document, ` a d´ ecrire le calcul d’une forme param´ etr´ ee exacte de la courbe d’intersection de deux quadriques. Ce calcul constitue la premi` ere ´ etape dans la conversion, les courbes param´ etr´ ees servant ` a d´ efinir les arˆ etes des diff´ erentes faces du mod` ele BRep.

Si nous nous sommes int´ eress´ es ` a cet algorithme de calcul d’une forme param´ etr´ ee de la courbe d’intersection de deux quadriques dans le cadre de l’infographie, il faut noter que son int´ erˆ et va au-del` a et qu’il peut apparaˆıtre dans de nombreux probl` emes. En g´ eom´ etrie algorith- mique, par exemple, ce calcul peut en effet servir de base dans les algorithmes de d´ etermination d’arrangements de quadriques [GHS01a], calcul de l’enveloppe convexe de carreaux de quadriques [HI95, GHS01b], ou dans le calcul de diagrammes de Vorono¨ı de segments de l’espace R

dont les r´ egions sont d´ elimit´ ees par des quadriques. Ce dernier exemple n’a encore jamais ´ et´ e r´ eellement

´ etudi´ e. Enfin, comme nous l’avons d´ ej` a signal´ e, la manipulation des quadriques constitue le pre- mier pas dans le monde non lin´ eaire. Les quadriques sont les objets courbes les plus simples, le calcul du param´ etrage exact de leur intersection est un probl` eme qui devient fondamental au mˆ eme titre que le calcul d’un param´ etrage exact de l’intersection de deux plans.

2 Contributions

Les progr` es que nous apportons avec notre m´ ethode rel` event de deux aspects diff´ erents ; nous avons d’une part recherch´ e toutes les informations que nous pouvions obtenir sur la g´ eom´ etrie de la courbe d’intersection afin d’en trouver la forme param´ etr´ ee la plus simple possible, et nous avons d’autre part mis en œuvre des techniques d’alg` ebre classique ou des techniques plus directement li´ ees ` a notre probl` eme pour r´ eduire la complexit´ e des coefficients num´ eriques que nous manipulons. Il faut toujours garder en tˆ ete ces deux aspects du probl` eme pour comprendre tout l’int´ erˆ et de notre m´ ethode. L’algorithme que nous avons construit n’est aussi robuste et efficace, son r´ esultat si simple ` a utiliser que par les progr` es conjoints que nous avons pu r´ ealiser sur ces deux aspects.

Nous avons maintenant une vision compl` ete de la g´ eom´ etrie de l’intersection de deux qua- driques, nous maˆıtrisons enti` erement les difficult´ es de l’algorithme, et nous avons r´ eussi ` a l’im- planter efficacement, avec une arithm´ etique exacte. Pour la premi` ere fois, nous avons une descrip- tion topologique compl` ete de la courbe d’intersection ; notre r´ esultat constitue une base solide qui peut ˆ etre exploit´ ee dans des applications g´ eom´ etriques non triviales. Dans tous les cas, nous sommes maintenant capables de d´ ecrire compl` etement les composantes alg´ ebriques de la courbe d’intersection, leurs positions les unes par rapport aux autres, le nombre et la nature des points singuliers de cette courbe ; en ce sens, notre algorithme est optimal. Quand il en existe, nous obtenons un param´ etrage rationnel de chacune des composantes de la courbe d’intersection, c’est-` a-dire un param´ etrage dont les coordonn´ ees sont d´ efinies par des fonctions rationnelles (le rapport de deux polynˆ omes) ; notre algorithme est aussi optimal en ce sens.

Nous avons su contrˆ oler l’apparition de nombres alg´ ebriques au cours des diff´ erentes ´ etapes

de notre algorithme. Cela constitue un progr` es crucial pour ce probl` eme, sans lequel il n’est

pas possible de manipuler le r´ esultat de notre algorithme. Nous avons pu ainsi obtenir des

r´ esultats d’optimalit´ e concernant la complexit´ e des coefficients apparaissant dans le param´ etrage

de la courbe d’intersection que nous ressortons. Notre algorithme est optimal dans certains cas,

quasi-optimal dans d’autres. Cela signifie qu’il existe des paires de quadriques pour lesquelles

l’expression exacte des coefficients de la forme param´ etr´ ee de la courbe d’intersection que nous

exhibons est la plus simple possible, et que dans d’autres cas, il est possible que notre algorithme

introduise une racine carr´ ee non n´ ecessaire dans l’expression finale des coefficients de la forme

6 Chapitre 1. Introduction param´ etr´ ee de leur courbe d’intersection.

Nous pouvons analyser plus finement les progr` es que nous venons de pr´ esenter. Ils sont le fruit de r´ esultats interm´ ediaires, certains ´ etant particuliers ` a notre probl` eme, d’autres relevant de domaines plus g´ en´ eraux. Nous avons commenc´ e par nous placer dans l’espace projectif qui est l’espace le plus adapt´ e ` a l’´ etude des surfaces et de leur intersection. Dans cet espace, nous avons d´ etermin´ e de nouveaux param´ etrages des quadriques r´ egl´ ees, param´ etrages ayant la pro- pri´ et´ e d’ˆ etre lin´ eaires en un de leurs param` etres ; c’est-` a-dire pour toutes les quadriques sauf les ellipso¨ıdes, les hyperbolo¨ıdes ` a deux nappes et les parabolo¨ıdes elliptiques, quadriques pour lesquelles cette propri´ et´ e de lin´ earit´ e par rapport ` a un param` etre ne peut pas ˆ etre v´ erifi´ ee. Ces param´ etrages r´ epondent d’autre part ` a un autre souci (li´ e au deuxi` eme aspect de notre pro- bl` eme), ils contiennent le moins possible de racines carr´ es dans leurs coefficients. Nous dirons qu’ils sont optimaux en terme de complexit´ e alg´ ebrique de leurs coefficients, pour la classe des param´ etrages lin´ eaires en au moins un param` etre.

Un apport important de notre m´ ethode est la description compl` ete et syst´ ematique dans l’espace projectif r´ eel des diff´ erents cas possibles d’intersection de deux quadriques. Cela nous permet de r´ esoudre le probl` eme quelles que soient les quadriques de d´ epart, sans renvoyer l’uti- lisateur ` a d’autres m´ ethodes pour tel ou tel cas d´ eg´ en´ er´ e. Pour distinguer tous les cas possibles nous utilisons les invariants du faisceau de deux quadriques, la nature, r´ eelle ou complexe, et la multiplicit´ e des racines d’un polynˆ ome (d´ ependant d’un param` etre) associ´ e au faisceau de deux quadriques, l’´ equation d´ eterminantielle. Ainsi, par exemple, avec le crit` ere simple de savoir si ce polynˆ ome n’a que des racines simples ou pas, nous pouvons affirmer si la courbe poss` ede ou non des points singuliers. Cette propri´ et´ e est importante car, dans le premier cas, la courbe d’intersection est une quartique r´ eguli` ere ne pouvant ˆ etre param´ etr´ ee rationnellement, dans le deuxi` eme cas, des r´ esultats non triviaux de g´ eom´ etrie alg´ ebrique nous assurent que la courbe (ou plus exactement chacune de ses composantes) peut ˆ etre param´ etr´ ee rationnellement. ´ Etudions les progr` es que nous avons r´ ealis´ es dans chacun de ces deux cas.

Si la courbe d’intersection est une quartique r´ eguli` ere, la m´ ethode de J. Levin [Lev76] sur laquelle nous nous sommes appuy´ es permet d’obtenir une forme exacte d’un de ses param´ e- trages, optimale dans le sens o` u la racine carr´ ee de polynˆ ome pr´ esente dans son expression est n´ ecessaire. Nous obtenons ainsi la meilleure forme exacte possible du param´ etrage de la courbe d’intersection. Le deuxi` eme point important est la complexit´ e des coefficients num´ eriques appa- raissant dans l’expression du param´ etrage que nous obtenons. Pour am´ eliorer cette complexit´ e, nous avons travaill´ e ` a plusieurs niveaux. Nous avons d’abord progress´ e en ne d´ eterminant que des transformations (des changements de rep` ere) ` a coefficients rationnels comme, par exemple, l’utilisation de la d´ ecomposition en carr´ es des formes quadratiques, de Gauss, plutˆ ot qu’un calcul de vecteurs et valeurs propres de la matrice associ´ ee aux quadriques. Grˆ ace ` a notre meilleure compr´ ehension de la g´ eom´ etrie du faisceau de deux quadriques, nous avons pu choisir la qua- drique utilis´ ee dans nos calculs dans un ensemble plus grand de quadriques que celui utilis´ e auparavant. L` a o` u J. Levin choisissait une quadrique parmi trois, nous la choisissons dans un ensemble contenant une infinit´ e de quadriques.

Quand la courbe d’intersection contient un ou plusieurs points singuliers, nous sommes obli-

g´ es de faire une ´ etude exhaustive de 47 cas possibles d’intersection. La distinction entre ces cas

se fait en deux temps. Nous commen¸ cons par exploiter les r´ esultats de T. Bromwich [Bro06] qui

expose les diff´ erents types d’intersection dans l’espace projectif complexe (hormis une certaine

classe d’intersections d´ eg´ en´ er´ ees que nous avons int´ egr´ ee ` a notre ´ etude). La deuxi` eme ´ etape de

cette ´ etude consiste ` a se ramener au cas r´ eel. Pour cela, nous utilisons les r´ esultats de F. Uh-

lig [Uhl76] sur la diagonalisation simultan´ ee des formes quadratiques r´ eelles. Grˆ ace ` a cette ´ etude,

nous pouvons dans chaque cas d´ eterminer le nombre de points singuliers de la courbe d’intersec-

3. Organisation du document 7 tion, le nombre de ses composantes alg´ ebriques, leurs positions les unes par rapport aux autres.

Par voie de cons´ equence, nous obtenons aussi le nombre de composantes connexes de la courbe.

Ces r´ esultats ont significativement influenc´ e notre algorithme puisque nous pouvons rapidement d´ eterminer dans quel cas nous nous trouvons, sans r´ eellement commencer le calcul de la courbe d’intersection elle-mˆ eme. Nous pouvons ainsi exploiter les propri´ et´ es de chaque cas d` es le d´ ebut du calcul. Cela nous permet entre autres, de d´ eterminer, quand il en existe un, un param´ etrage rationnel de la courbe, puisque nous savons qu’il en existe. Nous y arrivons en utilisant les quadriques singuli` eres du faisceaux. En utilisant leurs propri´ et´ es, leurs points singuliers, nous pouvons aussi am´ eliorer la complexit´ e alg´ ebrique des coefficients num´ eriques de notre solution, avec les r´ esultats d’optimalit´ e que nous avons d´ ej` a ´ enonc´ es. Enfin notons que notre m´ ethode a l’avantage d’exploiter les propri´ et´ es intrins` eques du probl` eme, ce qui permet d’´ eviter d’employer des m´ ethodes plus g´ en´ erales comme la factorisation de polynˆ omes multivari´ es ou le calcul de r´ esultants comme cela ´ etait souvent fait auparavant.

Nous avons r´ ealis´ e une implantation robuste et efficace de notre algorithme, dans un premier temps avec le logiciel MuPAD [MuP], puis en C++ pour obtenir des performances in´ edites. Ce travail nous permet de confirmer la robustesse et l’efficacit´ e de notre algorithme. Les r´ esultats peuvent ˆ etre ais´ ement manipul´ es dans d’autres applications.

3 Organisation du document

Ce document d´ ebute avec un ´ etat de l’art g´ en´ eral au chapitre 2. Nous introduisons ensuite les quadriques dans l’espace affine R

et les concepts qui s’y rattachent au chapitre 3. Dans les deux chapitres suivants nous pr´ esentons des m´ ethodes d´ ej` a connues de calcul d’une forme param´ etr´ ee de l’intersection de deux quadriques. Dans le chapitre 4, nous exposons une m´ ethode na¨ıve, et dans le chapitre 5 la m´ ethode d´ ecrite par J. Levin [Lev76], m´ ethode classique qui nous a servi de point de d´ epart pour notre travail. Nous analysons les points forts et les points faibles de ces deux m´ ethodes afin de distinguer ce qu’il faut conserver de ce qu’il faut reprendre pour l’´ elaboration d’un algorithme r´ epondant ` a nos exigences.

La premi` ere ´ etape pour construire notre algorithme est de se placer dans l’espace projectif que nous introduisons au chapitre 6. Nous d´ eveloppons dans ce chapitres toutes les d´ efinitions et propri´ et´ es relatives aux quadriques dans l’espace projectif. Nous pr´ esentons ´ egalement quelques propri´ et´ es des courbes alg´ ebriques, d’un point de vue g´ en´ eral, ce qui nous sera tr` es utile dans les chapitres suivants. Le chapitre 7 est consacr´ e ` a l’´ etude du faisceau de deux quadriques dans l’espace projectif. Apr` es avoir donn´ e quelques propri´ et´ es et d´ efinitions de base, nous abordons le vif du sujet en pr´ esentant la caract´ eristique de Segre [Seg83] d’un faisceau de deux quadriques dans l’espace projectif complexe de dimension n, P

( C ). Nous pr´ esentons ensuite le th´ eor` eme de r´ eduction simultan´ ee de deux formes quadratiques dans P

( R ) qui permet d’appliquer la caract´ eristique de Segre dans un espace r´ eel et d’y traiter les sous-cas qui y apparaissent par rapport au cas complexe. Le chapitre 8 introduit les outils n´ ecessaire ` a la r´ esolution des probl` emes de complexit´ e alg´ ebrique de notre r´ esultat. Nous rappelons les principes de la r´ eduction en carr´ e d’une forme quadratique de Gauss, m´ ethode permettant de d´ eterminer une forme canonique d’une quadrique en n’utilisant que des transformations lin´ eaires ` a coefficients rationnels. Nous pr´ esentons de nouveaux param´ etrages des quadriques, param´ etrages qui permettent de minimiser le nombre de racines carr´ ees dans les coefficients.

Le chapitre 9 d´ ecrit l’algorithme le plus g´ en´ eral que nous ayons implant´ e. Nous commen¸ cons

par pr´ esenter quelques propri´ et´ es de la courbe d’intersection dans le cas o` u elle est la plus g´ en´ e-

rale possible, c’est-` a-dire dans le cas o` u c’est une quartique r´ eguli` ere ne pouvant ˆ etre param´ etr´ ee

8 Chapitre 1. Introduction rationnellement. Nous donnons ensuite une m´ ethode permettant de trouver la quadrique r´ epon- dant le mieux (ou presque) ` a nos crit` eres pour faire les calculs, puis pr´ esentons l’algorithme g´ en´ eral lui-mˆ eme. Le chapitre 10 pr´ esente les diff´ erentes courbes d’intersection possibles si le faisceau ´ etudi´ e n’est pas compl` etement g´ en´ eral. Dans le chapitre 11 nous pr´ esentons les algo- rithmes associ´ es aux cas ´ etudi´ es au chapitre 10, en mettant l’accent sur les m´ ethodes employ´ ees pour r´ esoudre les probl` emes de complexit´ e alg´ ebrique.

Enfin nous concluons ce document au chapitre 13 en pr´ esentant des applications de notre

travail et en donnant quelques perspectives sur une g´ en´ eralisation ´ eventuelle de notre travail,

soit ` a des dimensions sup´ erieures, soit ` a des surfaces de degr´ e plus ´ elev´ e.

Chapitre 2

Etat de l’art ´

Nous nous sommes int´ eress´ es aux surfaces de degr´ e 2 car ce sont les surfaces courbes de plus petit degr´ e, c’est-` a-dire les plus simples ` a manipuler. La complexit´ e des calculs qu’elles induisent reste raisonnable. De plus, leur importance est consid´ erable en mod´ elisation de pi` ece m´ ecaniques puisque les quadriques naturelles (plans, cˆ ones, cylindres) repr´ esentent 95% des surfaces utilis´ ees pour mod´ eliser les objets [RV82].

Le calcul de l’intersection de deux quadriques est donc sujet qui a d´ ej` a ´ et´ e abord´ e dans de nombreux articles. Il constitue un ´ el´ ement fondamental de nombreuses applications, comme la conversion CSG-BRep pour les mod` eles d´ efinis ` a base de quadriques, l’arrangement de qua- driques, ou encore le calcul de diagramme de Vorono¨ı de segments dans R

.

1 Intersection de deux quadriques

Le calcul d’une forme param´ etr´ ee de l’intersection de deux quadriques est un sujet qui a d´ ej` a fait l’objet de nombreux articles. Il est ind´ eniable que celui de J. Levin [Lev76] fait office de r´ ef´ erence depuis pr` es de trente ans (tous les articles que nous citons dans cette section s’en inspirent directement ou indirectement). Dans cet article, J. Levin d´ ecrit une m´ ethode originale de calcul de l’intersection de deux quadriques se basant sur les quadriques singuli` eres du faisceau des deux quadriques initiales. Une ´ etude d´ etaill´ ee de son algorithme est donn´ ee au chapitre 5.

Nous ne connaissons aucune implantation robuste et compl` ete de son algorithme. Pour contourner les probl` emes num´ eriques, durant les ann´ ees qui ont suivi la parution des articles de J. Levin [Lev76, Lev79, Lev80], deux voies ont ´ et´ e explor´ ees. L’une consiste ` a restreindre le calcul

`

a l’intersection de surfaces appartenant ` a un sous-ensemble des quadriques, les quadriques natu- relles, c’est-` a-dire les cˆ ones, les cylindres, les sph` eres [Sar83, Mil87, GM91, SJ91, SJ92, SJ94b], principalement pour des applications de conception assist´ ee par ordinateur. Ainsi les propri´ et´ es sp´ ecifiques ` a chacune de ces surfaces sont utilis´ ees pour simplifier le calcul de l’intersection.

L’autre voie consiste en l’´ etude de certains types d’intersections, par exemple uniquement les intersections qui ne sont pas contenues dans des plans [WM93], ou l’´ etude des intersections dont il existe une forme param´ etr´ ee rationnelle [FNO89] ; dans les deux cas, aucune condition n’est impos´ ee aux deux quadriques de d´ epart, seule compte la forme de la courbe.

En ce qui concerne la premi` ere voie, d` es 1983 R.F. Sarraga [Sar83] calcule l’intersection de plans, de cylindres circulaires, de cˆ ones droits, et de sph` eres. Il ´ etudie les points singuliers de la courbe d’intersection pour des traitements ult´ erieurs en ´ etablissant un lien entre ces points et les points singuliers des quadriques initiales. Il montre comment retrouver les sections coniques

9

10 Chapitre 2. ´ Etat de l’art de la courbe d’intersection. Il s’int´ eresse aussi aux probl` emes de robustesse li´ es ` a cet algorithme et ´ etudie diverses m´ ethodes num´ eriques pour y rem´ edier. En 1987, J. Miller [Mil87] ´ etudie lui aussi l’intersection de quadriques naturelles. Il tire parti d’une approche alg´ ebrique et d’une approche g´ eom´ etrique du probl` eme, ´ etudie les intersections au cas par cas en fonction des deux quadriques de d´ epart (cylindre-cylindre, cylindre-cˆ one. . .). Par rapport ` a J. Levin, il parvient ` a ne devoir r´ esoudre que des ´ equations de degr´ e deux, ce qui lui permet d’utiliser une arithm´ etique exacte (cela vient aussi du fait qu’il ne consid` ere pas toutes les quadriques !). En collaboration avec R. Goldman il s’int´ eressera ensuite au calcul des sections coniques dans l’intersection de deux quadriques naturelles [GM91, MG95]. C.-K Shene et J. Johnstone ´ etudient aussi l’intersec- tion de quadriques naturelles [SJ94a] apr` es l’avoir ´ etudi´ ee dans des cas plus particuliers encore comme l’intersection d’un plan et d’une quadrique [SJ92], d’un plan et d’une quadrique de r´ e- volution [SJ94b], ou en recherchant les sections coniques dans l’intersection de deux quadriques naturelles [SJ91]. Ces approches sont int´ eressantes mais restent malheureusement cantonn´ ees ` a certaines classes de quadriques. Il est possible d’y puiser de l’inspiration sur tel ou tel point mais elles ne peuvent constituer l’ossature d’une m´ ethode performante comme peut s’en pr´ evaloir la m´ ethode de J. Levin.

La deuxi` eme voie qui consiste ` a consid´ erer n’importe quelle quadrique au d´ epart est repr´ e- sent´ ee principalement par cinq articles. En 1989, R. Farouki, C. Neff et M. O’Connor [FNO89]

font une ´ etude syst´ ematique dans les cas o` u l’intersection n’est pas une quartique r´ eguli` ere.

Ils donnent un crit` ere simple pour savoir si l’on est ou pas dans ce cas. Ils utilisent pour la premi` ere fois la caract´ erisation de Segre [Seg83] dont une description compl` ete ` a ´ et´ e faite par T. Bromwich [Bro06] et qui classe les intersections de deux quadriques dans l’espace projectif complexe. Ce dernier article est celui celui auquel nous nous r´ ef` ererons le plus souvent. Pour que leur algorithme aboutisse, ils mettent en œuvre la factorisation d’un polynˆ ome de degr´ e quatre en trois variables (le r´ esultant de deux polynˆ omes de degr´ e deux en quatre variables) ; notons cependant qu’il n’est pas fait mention d’´ eventuels probl` emes de robustesse, et que certains cas d´ eg´ en´ er´ es ne sont pas trait´ es. En 1993, I. Wilf et Y. Manor [WM93] ´ etudient la forme de la courbe d’intersection de deux quadriques en fonction de la factorisation de l’´ equation aux para- m` etres (polynˆ ome en deux variables). Ils limitent leur ´ etude aux cas des intersections dites « non planaires » et utilisent une caract´ erisation de Segre incompl` ete. Les probl` emes de robustesse ne sont pas abord´ es.

Plus r´ ecemment, les probl` emes li´ es au calcul de l’intersection sont revenus au goˆ ut du jour.

C. Tu, W. Wang et J. Wang [TWW02] ont ´ etudi´ e les diff´ erents cas possibles o` u l’intersection de deux quadriques n’a pas de points singuliers, c’est-` a-dire quand la courbe est une quartique r´ eguli` ere. Ils donnent un crit` ere simple de d´ etection de ces cas et ´ etudient les topologies pos- sibles pour cette quartique. Ils montrent qu’il existe trois configurations, l’une o` u la courbe est constitu´ ee d’une composante connexe affinement finie, l’autre o` u elle est constitu´ ee de deux com- posantes connexes affinement infinies, et enfin la derni` ere o` u la courbe est constitu´ ee de deux composantes connexes affinement finies.

W. Wang, B. Joe et R. Goldman [WJG02] ont am´ elior´ e une autre approche du calcul du param´ etrage de la courbe d’intersection de deux quadriques reposant sur la projection de la courbe d’intersection sur un plan. En g´ en´ eral cette courbe plane est une quartique et tout l’int´ erˆ et de leur m´ ethode est de choisir la projection de sorte que cette courbe soit une cubique (plane).

La d´ etermination de cette projection passe par le calcul d’un point de la courbe d’intersection

des deux quadriques. Ils utilisent la m´ ethode de J. Levin pour d´ eterminer ce point. En se basant

sur la classification des cubiques planes, ils peuvent classer les courbes d’intersection possibles

entre deux quadriques. Quand la courbe d’intersection est une quartique singuli` ere, c’est-` a-dire

contenant un point singulier, ils en d´ eterminent la nature (point double, cuspidal, isol´ e). En

2. Applications 11 revanche, ils ne font aucune allusion au sujet de la complexit´ e des coefficients num´ eriques et utilisent une arithm´ etique flottante. La forme du param´ etrage qu’ils obtiennent est exacte dans le sens o` u ce param´ etrage correspond ` a un param´ etrage exact de la courbe d’intersection (pas n´ ecessairement le plus simple), dont les coefficients auraient ´ et´ e approch´ es par des nombres flottants.

Enfin, derni` erement, W. Wang, R. Goldman et C. Tu [WGT03] ont montr´ e comment am´ elio- rer la m´ ethode de J. Levin. Ce travail est encore bas´ e sur les r´ esultats de T. Bromwich [Bro06], mais aussi sur ceux de F. Uhlig [Uhl76] qui permettent d’´ etudier plus facilement dans l’espace projectif r´ eel les r´ esultats obtenus dans l’espace projectif complexe par T. Bromwich. Ces r´ esul- tats montrent comment les racines d’un polynˆ ome de degr´ e 4 d´ ependant des deux quadriques peuvent ˆ etre utilis´ ees pour retrouver la topologie de la courbe d’intersection. Ils donnent une preuve plus simple du principal r´ esultat de J. Levin [Lev76] sur l’existence d’une quadrique

« simple » dans le faisceau de deux quadriques. Quand un param´ etrage rationnel de la courbe d’intersection existe, ils en d´ eterminent un. Ils utilisent comme pr´ ec´ edemment une projection de la courbe sur une cubique plane. De plus, ils semblent toujours utiliser une arithm´ etique flottante, ce qui peut avoir des cons´ equences sur la robustesse de l’algorithme.

Notons que dans les articles pr´ ec´ edents, l’´ equation donnant le crit` ere permettant de savoir si la courbe d’intersection est une quartique g´ en´ erique, ou, dans l’article de J. Levin, l’´ equation permettant de rechercher une quadrique r´ egl´ ee ne sont pas ´ etudi´ ees si elles sont identiquement nulles. De ce fait, un certain nombre de cas d´ eg´ en´ er´ es ne sont pas pris en compte. G´ en´ eralement les auteurs renvoient ` a des m´ ethodes de calcul de l’intersection d’un plan et d’une quadrique.

Une autre r´ ef´ erence importante dans le calcul de l’intersection de deux surfaces, est l’article de H-S. Heo, M-S. Kim et G. Elber [Heo99] concernant l’intersection de surfaces r´ egl´ ees. Il est malheureusement inutilisable ici car il nous pose deux probl` emes. D’une part il ne permet pas de calculer l’intersection de deux surfaces dont l’une est une sph` ere, puisque ce n’est pas une surface r´ egl´ ee, ce qui est particuli` erement gˆ enant pour nous. En effet l’int´ erˆ et de travailler avec des quadriques dans les mod` eles CSG est de pouvoir inclure les sph` eres, et en plus, les surfaces/volumes d´ efinis par des ´ equations de mˆ eme degr´ e. D’autre part, les surfaces r´ egl´ ees qu’ils consid` erent sont donn´ ees sous forme param´ etr´ ee. Les auteurs rejettent alors l’id´ ee d’ins´ erer le param´ etrage de l’une des surfaces dans l’´ equation implicite de l’autre, du fait de la complexit´ e de l’algorithme d’implicitisation d’une forme param´ etr´ ee. Dans notre cas, ce probl` eme n’a pas lieu d’ˆ etre puisque les quadriques que nous ´ etudions sont donn´ ees par leurs ´ equations implicites.

2 Applications

L’id´ ee de projeter la courbe d’intersection de deux quadriques sur un plan apparaˆıt aussi dans les articles de N. Geismann, M. Hemmer et E. Schoemer [GHS01a, GHS01b]. Ces articles sont plus consacr´ es ` a des probl` emes d’arrangements de quadriques et se servent du calcul de l’intersection de deux quadriques comme brique de base. Dans un mod` ele compos´ e de plusieurs quadriques, ils projettent sur un plan toutes les courbes d’intersection entre paires de quadriques de leur mod` ele et ´ etudient les interactions qui existent entre ces courbes. La courbe projet´ ee, dans ces articles, peut, contrairement ` a celle calcul´ ee par W. Wang, R. Goldman et C. Tu, ˆ etre de degr´ e 4. Ceci est li´ e au fait qu’ils projettent plusieurs courbes d’intersection de plusieurs paires de quadriques de leur mod` ele sur le mˆ eme plan. Ils ne peuvent donc pas se permettre de choisir aussi ais´ ement le plan de projection.

Le calcul de l’intersection de quadriques est aussi utilis´ e dans la d´ etection de collision entre

ellipso¨ıdes en mouvement [WWK01, CWK03, WCC

03]. Dans [WWK01], les auteurs se basent

12 Chapitre 2. ´ Etat de l’art sur la forme particuli` ere des ellipso¨ıdes pour en trouver une diagonalisation simultan´ ee. Ils com- mencent, par rotation, homoth´ etie et translation par transformer un des deux ellipso¨ıdes en la sph` ere unit´ e, puis par rotation, font co¨ıncider les axes du rep` ere avec ceux du deuxi` eme ellipso¨ıde.

Ils exploitent parfaitement des propri´ et´ es particuli` eres des ellipso¨ıdes.

La m´ ethode de conversion CSG-BRep consistant ` a calculer une forme param´ etr´ ee de toutes les courbes d’intersections des paires de quadriques du mod` eles puis ` a calculer les parties de ces courbes formant les arˆ etes des faces visibles du mod` ele BRep n’est pas la seule voie possible.

J. Keyser, S. Krishnan et D. Manosha [?, KKM97, KFC

01] ont construit une autre m´ ethode destin´ ee ` a convertir des mod` eles CSG d´ efinis par des surfaces de faible degr´ e en mod` eles BRep.

Elle consiste ` a convertir chaque volume d´ efinissant le mod` ele CSG en son ´ equivalent BRep, puis

`

a r´ e´ evaluer une ` a une chaque op´ eration bool´ eenne d´ efinissant le mod` ele. Les courbes limitant

chaque face sont d´ efinies par courbes alg´ ebriques et leurs sommets sont d´ efinis par des coordon-

n´ ees alg´ ebriques. Leur algorithme est plus g´ en´ eral que ce que nous recherchons puisqu’il peut

s’appliquer ` a des surfaces de degr´ e sup´ erieur ` a 2, mais il est n´ ecessaire que ces objets soient

en position g´ en´ erale. Le fait de ne consid´ erer que des surfaces de degr´ e au plus 2 nous permet,

contrairement ` a eux, de ne pas ` a savoir g´ erer des racines de polynˆ omes de degr´ e sup´ erieur ` a

quatre, possiblement non exprimable sous forme de radicaux.

Chapitre 3

Quadriques : d´ efinitions et g´ en´ eralit´ es

Le but de ce chapitre est de poser les premi` eres d´ efinitions n´ ecessaires ` a l’´ etude des qua- driques. Lors de la cr´ eation de sc` enes, en infographie, l’utilisateur se place dans l’espace affine r´ eel de dimension 3 et y d´ efinit ses objets. Il y a dans l’expression espace affine r´ eel deux no- tions, la structure affine de l’espace o` u nous nous pla¸ cons, et le corps sur lequel est d´ efinie cette structure. Il est naturel de consid´ erer le corps des r´ eels car les objets mod´ elis´ es appartiennent ` a l’espace dans lequel nous vivons. Il est tout aussi naturel de vouloir se placer dans l’espace affine car c’est l’espace le plus proche de la r´ ealit´ e telle que nous la percevons. Ce n’est cependant pas le seul espace o` u peuvent ˆ etre d´ efinies les quadriques comme l’ensemble des points dont les coordonn´ ees satisfont une ´ equation implicite qui est un polynˆ ome de degr´ e 2. Si nous ´ ecartons tout de suite les espaces des g´ eom´ etries dites non-euclidiennes (comme la g´ eom´ etrie hyperbo- lique), nous verrons, au chapitre 6, apr` es avoir expos´ e les m´ ethodes sur lesquelles nous nous sommes appuy´ es, qu’il existe un espace plus adapt´ e ` a la r´ esolution de notre probl` eme, l’espace projectif

r´ eel de dimension 3. Il nous arrivera de d´ efinir cet espace projectif sur le corps des complexes plutˆ ot que sur celui des r´ eels quand le besoin s’en fera sentir. C’est pourquoi nous aurons tendance ` a toujours pr´ eciser le corps sur lequel nous travaillons. En tout ´ etat de cause, jusqu’au chapitre 6, tous les espaces sont d´ efinis sur les r´ eels.

Nous d´ efinissons dans ce chapitre les quadriques dans l’espace affine R

, leurs propri´ et´ es les plus imm´ ediates, la fa¸ con dont nous les classons, les reconnaissons, comment nous les pa- ram´ etrons. ` A la fin de ce chapitre, nous introduisons la notion essentielle de faisceau des deux quadriques dont nous cherchons ` a calculer un param´ etrage de la courbe d’intersection. Enfin, notons que toutes les d´ efinitions et tous les th´ eor` emes sont donn´ es pour la dimension 3 mais se g´ en´ eralisent ` a n’importe quelle dimension finie.

1 Quadriques

Usuellement les quadriques de R

sont les surfaces de degr´ e 2, c’est-` a-dire les ellipso¨ıdes, hyperbolo¨ıdes, parabolo¨ıdes, cylindres, cˆ ones et paires de plans. Nous d´ efinissons les quadriques

1La g´eom´etrie projective n’est pas euclidienne par d´efinition, mais il est courant de ne pas y faire allusion lorsque l’on parle de g´eom´etrie non-euclidienne. Cet abus de langage est acceptable car la g´eom´etrie projective est d´efinie `a partir de la g´eom´etrie affine (euclidienne) et la prolonge, alors que les g´eom´etries non-euclidiennes comme la g´eom´etrie hyperbolique se d´efinissent parall`element `a la g´eom´etrie affine en changeant certains axiomes de d´epart.

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14 Chapitre 3. Quadriques : d´ efinitions et g´ en´ eralit´ es comme les ensembles de points dont les coordonn´ ees v´ erifient une ´ equation de degr´ e au plus 2.

D´ efinition 3.1 (Quadrique) Une quadrique Q

de R

est l’ensemble des points dont les co- ordonn´ ees (x

, x

, x

) v´ erifient l’´ equation :

3

X

i=1 3

X

j=i

a

x

x

+

3

X

j=1

b

x

+ c = 0, (1)

o` u les a

, b

, et c sont r´ eels. Cette ´ equation peut s’´ ecrire :

∀X ∈ R

ϕ(X) + L(X) + c = 0, (2)

o` u ϕ est une forme quadratique de R

dans R , L une forme lin´ eaire de R

dans R , et c ∈ R .

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0.81 0.40.6 00.2 -0.4 -1-0.8

10.80.60.40.20 -0.4

-1

1

0.5

0

-0.5

-1

1 0.5 0 -0.5 -1

10.8 0.40.20

-0.6 -1

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0.5 0 -1

1 0.80.60.40.20 -0.4 -0.8-1

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2

1 0.5 0 -1

1.61.41.2 10.80.60.40.20 -0.4-0.8-1-1.2-1.6

3 2 1 0 -1 -2 -3

23 1 -10 -2 -3

3 2 1 0 -1 -2 -3

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

1 0 -1

1 0.8 0.6 0.40.2 0 -0.2 -0.4-0.6 -0.8 -1

Fig. 3.1 – Diff´ erentes quadriques : (de gauche ` a droite et de haut en bas) ellipso¨ıde, cylindre elliptique, cˆ one, hyperbolo¨ıde ` a 1 nappe, hyperbolo¨ıde ` a 2 nappes, parabolo¨ıde hyperbolique.

Habituellement les quadriques sont d´ efinies avec la condition plus contraignante que les coefficients a

soient non tous nuls, ce qui garantit d’avoir une ´ equation de degr´ e exactement 2.

Nous avons une d´ efinition plus large puisque nos quadriques sont d´ efinies non seulement par des

´

equations de degr´ e 2, mais aussi de degr´ e 1 ou 0, et mˆ eme des ´ equations identiquement nulles.

Nous avons fait ce choix car pour rechercher l’intersection de deux quadriques, nous allons ´ etudier

des combinaisons lin´ eaires des ´ equations de ces quadriques, et nous voulons pouvoir consid´ erer

que l’´ equation qui en r´ esulte d´ efinit elle-aussi une quadrique. Par exemple si Q

est d´ efinie par

(1) : ax

+b

x

+b

x

+b

x

+c = 0 et Q

est d´ efinie par (2) : ax

+b

x

+b

x

+b

x

+c

= 0, alors

(1)-(2) est une ´ equation de degr´ e 1 qui d´ efinit un plan. Pour la mˆ eme raison l’´ equation dont tous

les coefficients sont nuls, (1)-(1), doit aussi d´ efinir une quadrique. Dans ce cas, tous les points de

R

v´ erifiant l’´ equation, nous consid´ erons que l’espace R

tout entier est une quadrique. Enfin, ces

probl` emes disparaˆıtront d’eux-mˆ emes quand nous nous placerons dans l’espace projectif puisque