Nous avons vu que le processus de recherche d’un param´ etrage d’une des deux quadriques n´ ecessitait la recherche d’une matrice de vecteurs propres, la manipulation de la matrice

a coefficients rationnels. Cependant, les polynˆomes que nous manipulons sont loin d’ˆetre dans

ce cas. Leurs coefficients sont irrationnels, alg´ebriques sur _Q, comme nous allons le voir dans

la section suivante. Il devient alors beaucoup plus d´elicat d’implanter les m´ethodes ´evoqu´ees

ci-dessus.

2.3 Complexit´e des coefficients

Nous avons vu que le processus de recherche d’un param´etrage d’une des deux quadriques

n´ecessitait la recherche d’une matrice de vecteurs propres, la manipulation de la matrice

diago-nale des valeurs propres. Cela introduit dans l’expression des coefficients du param´etrage final

les racines du polynˆome caract´eristique de la sous-matrice 3×3 sup´erieure gauche de la matrice.

Ce sont les racines d’un polynˆome de degr´e 3 dont l’expression radicale contient deux niveaux de

racines (une racine carr´ee et une racine cubique). La normalisation des vecteurs propres introduit

un nouveau niveau de racine carr´ee. `A cela s’ajoute le param´etrage de la quadrique elle-mˆeme, ce

qui am`ene encore une ou deux carr´ees. Les coefficients de l’´equation aux param`etres sont donc

d´efinis dans une extension alg´ebrique

de Q de degr´e 48, ou pour ˆetre plus explicite, chaque

3

Les intervalles d’isolation des racines d’un polynˆome sont des intervalles qui chacun contiennent exactement une racine du polynˆome.

4

2. Analyse de la m´ethode 27

coefficient de l’´equation aux param`etres est une expression radicale contenant quatre niveaux de

racines, trois racines carr´ees et une cubique.

2.4 Conclusion

La conjonction de ces trois probl`emes, la complexit´e de la forme param´etr´ee, la difficult´e

de d´etermination du domaine de d´efinition du param`etre et la complexit´e des coefficients, fait

qu’il n’est pas envisageable d’implanter cette m´ethode. Quelle que soit l’arithm´etique utilis´ee,

le programme g´en´er´e ne pourra ˆetre satisfaisant. Si nous utilisons une arithm´etique exacte,

la complexit´e des coefficients et des expressions polynomiales bloque l’algorithme avant qu’il

ne termine. L’utilisation d’une arithm´etique flottante, ou par intervalle, ou affine, rend tr`es

d´elicate la d´etermination du signe ou de la nullit´e d’un coefficient ou de telle ou telle expression

polynomiale, ce qui induit des erreurs dans le r´esultat. La m´ethode de Levin [Lev76] apporte

une premi`ere r´eponse `a ce probl`eme. J. Levin a exploit´e le th´eor`eme 3.9 et a montr´e qu’en

choisissant judicieusement la quadrique qui sera param´etr´ee, il est possible de contrˆoler le degr´e

de l’´equation aux param`etres. Nous exposons cette m´ethode dans le chapitre suivant.

Chapitre 5

M´ethode de Levin

J. Levin est le premier `a avoir expos´e un algorithme g´en´eral de calcul d’une forme param´etr´ee

de l’intersection de deux quadriques susceptible d’ˆetre implant´e. Sa m´ethode a ´et´e exploit´ee pour

la r´ealisation de logiciels de CAO, pour visualiser la courbe d’intersection de deux quadriques. Le

principal r´esultat de J. Levin est qu’en choisissant correctement la quadrique utilis´ee pour d´efinir

l’´equation aux param`etres, il n’a que des polynˆomes de faible degr´e `a r´esoudre pour d´eterminer

la forme param´etr´ee de la courbe de base du faisceau. L’expression de cette forme param´etr´ee

ne d´epend plus alors que de racines d’un polynˆome de degr´e 2.

Les probl`emes cit´es `a la fin du chapitre pr´ec´edent, s’ils ne sont pas tous et pas compl`etement

r´esolus par cette m´ethode, sont suffisamment simplifi´es pour ne plus ˆetre syst´ematiquement des

obstacles `a l’implantation de l’algorithme. Le fait d’avoir `a r´esoudre une ´equation aux param`etres

qui n’est que de degr´e 2 en l’une des variables assure d’avoir une expression de chaque racine

(v(u) avec les notations du chapitre pr´ec´edent) qui s’´ecrit de mani`ere simple en fonction des

coefficients de l’´equation aux param`etres (ces coefficients sont des polynˆomes en l’autre variable

de l’´equation qui eux n’ont pas une expression triviale).

Nous exposons dans les deux premi`eres sections de ce chapitre les r´esultats de J. Levin [Lev76]

et l’algorithme qu’il a pr´esent´e. La fin du chapitre est consacr´ee `a l’´etude des probl`emes qui

sub-sistent. Nous montrons ainsi pourquoi il a fallu de nouveau travailler pour obtenir un algorithme

g´en´eral, certifi´e et efficace.

1 R´esultats

La m´ethode de J. Levin est bas´ee sur le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 5.1 (Levin [Lev76]) Il existe, dans le faisceau de deux quadriques quelconques, au

moins une quadrique dite«r´egl´ee simple»d’un des types suivants : un plan, une paire de plans,

un cylindre hyperbolique ou parabolique, ou un parabolo¨ıde hyperbolique.

La d´emonstration de ce th´eor`eme repose sur l’utilisation de l’arbre de d´ecision pr´esent´e sur

la figure 5.1, et qui permet de d´eterminer le type d’une quadrique. Par la d´etermination du signe

ou de la nullit´e des diff´erentes expressions alg´ebriques apparaissant dans l’arbre, il est possible de

connaˆıtre le type affine r´eel d’une quadrique. L’int´erˆet est qu’il n’est pas n´ecessaire de trouver

une transformation envoyant la quadrique dans un des rep`eres o`u son ´equation a une forme

canonique pour en d´eterminer le type affine. Dans la recherche des quadriques r´egl´ees simples,

cette simplification est essentielle et r´eduit le nombre de calculs. Pour d´emontrer le th´eor`eme 5.1,