obtenons alors l’´ equation aux param` etres : 1

obtenons alors l’´equation aux param`etres :

1

2^u

2

s

²

−3stuv+ 4t

²

u

²

+¹

4^t

2

v

²

= 0.

Ce polynˆome de degr´e 2 en (s, t) a pour discriminant :

∆

_s,t

(u, v) = ¹⁷

2 ^u

2

v

²

−8u

⁴

.

Notons que ∆

_s,t

(u, v) n’est pas un carr´e. Lorsque cette quantit´e est positive ou nulle, les

racines de l’´equation aux param`etres sont :

(s, t) =3uv±p

∆s,t(u, v), u²

. Enfin les deux vecteurs

param´etr´es d´efinissant la courbe d’intersection sont :

X1=      2u3−6uv2−2v^p∆_s,t(u, v) 2u3 3u2v+up ∆_s,t(u, v)−vt √ 2 2 3u2v+u^p∆s,t(u, v) +vu2      , et X2=      2u3−6uv2+ 2v^p∆_s,t(u, v) 2u3 3u2v−up ∆_s,t(u, v)−vt √ 2 2 3u2v−u^p∆s,t(u, v) +vu2      .

La racine carr´ee de ∆

_s,t

(u, v) ne peut ˆetre supprim´ee, le param´etrage obtenu n’est donc pas

rationnel. La forme du r´esultat n’est pas optimale puisque la courbe est une quadrique singuli`ere

qui poss`ede un param´etrage rationnel.

Par contre si nous utilisons une quadrique du faisceau de rang inf´erieur, par exempleQ

Q

qui

est d’inertie (2,1) comme quadrique `a param´etrer, nous obtenons en ins´erant un de ses param´

e-trages, X = (s, uv,(u

²

−v

²

)/2,(u

²

+v

²

)/2), dans l’´equation deQ

P

l’´equation aux param`etres

suivante :

4suv+u

⁴

+v

⁴

+ 2u

²

v

²

= 0,

qui est une ´equation de degr´e 1 en s. Son unique solution est s = −(u

²

+v

²

)

²

/2uv, pour

(u, v)∈_P

1

(_R). Le vecteur param´etr´e d´efinissant la courbe d’intersection est :

X =     −2(u2+v2)2 2u2v2 uv(u2−v2) uv(u²+v²)     .

Il est ici ´evident que l’emploi de la quadrique singuli`ere du faisceau permet d’obtenir un

param´etrage rationnel. Nous verrons `a la section 11.3 que cela permet aussi d’am´eliorer la

complexit´e alg´ebrique du r´esultat.

1.2 Courbes de base d´ecomposables

Pour les courbes d´ecomposables, nous voulons s´eparer les diff´erentes composantes alg´ebriques

de la courbe de base du faisceau. Il s’av`ere qu’en r´esolvant l’´equation aux param`etres comme

dans l’algorithme g´en´eral, c’est-`a-dire en la consid´erant comme un polynˆome du second degr´e en

une variable, le polynˆome ∆

_s,t

(u, v) que nous avons d´ej`a mis en avant est soit le carr´e d’un autre

polynˆome, soit un coefficient ind´ependant de (u, v). La cons´equence en est que si nous savons

reconnaˆıtre ce carr´e, nous pouvons obtenir un param´etrage rationnel des diff´erentes composantes

alg´ebriques de la courbe de base. Nous pouvons de mˆeme montrer que l’´equation d´

eterminan-tielle, si elle est d´etermin´ee `a partir du param´etrage d’une quadrique d’inertie (2,2), n’est pas

irr´eductible. Une solution peut donc ˆetre de factoriser ce polynˆome en deux variables projectives,

1. Pourquoi de nouveaux algorithmes 121

de degr´e 2 en chaque variable. Nous parlerons alors de bidegr´e

¹¹

2,2 (terme qu’il ne faut ´

evidem-ment pas confondre avec l’inertie d’une quadrique). Nous allons montrer ces deux propri´et´es,

puis nous montrerons pourquoi l’une et l’autre de ces fa¸cons de proc´eder ne nous satisfont pas.

1.2.1 Factorisation de l’´equation aux param`etres

L’algorithme g´en´eral pr´esent´e au chapitre 8 peut ˆetre repris si le faisceau contient des

qua-driques d’inertie (2,2). Ce faisant, il est n´ecessaire de pr´eciser comment r´esoudre l’´equation aux

param`etres. Deux choix s’offrent `a nous, soit nous essayons de factoriser cette ´equation, et nous

voyons apparaˆıtre des ´equations de degr´e inf´erieur correspondant chacune `a une des composantes

alg´ebriques de la courbe de base du faisceau, soit nous r´esolvons de mani`ere formelle l’´equation

du second degr´e en une des deux variables projectives (s, t), puis nous v´erifions que ∆

s,t

(u, v)

est bien un carr´e. Factorisons dans un premier temps l’´equation aux param`etres. Nous avons le

r´esultat suivant.

Proposition 11.1 Soit un faisceau singulier de deux quadriques dont la courbe de base n’est

pas une quartique. Soit une ´equation aux param`etres d´efinie avec le param´etrage d’une

qua-drique d’inertie (2,2) du faisceau. Cette ´equation est de bi-degr´e 2,2. De plus, nous avons les

factorisations suivantes :

– Si la courbe de base du faisceau contient quatre droites, alors l’´equation aux param`etres

admet une factorisation pour laquelle les polynˆomes apparaissant dans le r´esultat sont de

bidegr´es 2,0 et 0,2.

– Si la courbe de base du faisceau contient une conique et deux droites, alors l’´equation

aux param`etres admet une factorisation pour laquelle les polynˆomes apparaissant dans le

r´esultat sont de bidegr´es 1,0, 1,1 et 0,1.

– Si la courbe de base du faisceau contient deux coniques, alors l’´equation aux param`etres

admet une factorisation pour laquelle les polynˆomes apparaissant dans le r´esultat sont de

bidegr´es 1,1 et 1,1.

– Si la courbe de base du faisceau contient une cubique et une droite, alors l’´equation aux

pa-ram`etres admet une factorisation pour laquelle les polynˆomes apparaissant dans le r´esultat

sont de bidegr´es 2,1 et 0,1.

La d´emonstration est imm´ediate. Nous nous sommes bien ´evidemment plac´es momentan´

e-ment dans_P

³

(_C) pour ´eviter d’avoir `a redonner tous les sous-cas possibles r´eels correspondant

`

a chacun des cas complexes que nous citons.

1.2.2 Etude de^´ ∆

_s,t

(u, v)

L’autre id´ee possible est de calculer les racines formelles de l’´equation de degr´e 2 en (s, t),

puis de factoriser le discriminant qui apparaˆıt dans la solution et qui est un carr´e comme le

montre le r´esultat suivant.

Proposition 11.2 Soit un faisceau singulier dont la courbe de base n’est pas une quartique. Soit

une ´equation aux param`etres Ω

P,Q

de ce faisceau d´efinie par le param´etrage d’une quadriqueQ

P

d’inertie(2,2)de ce mˆeme faisceau. Alors le polynˆome∆

_s,t

(u, v)discriminant deΩ

P,Q

consid´er´e

comme un polynˆome de degr´e 2 en (s, t), est un carr´e.

11

Le bidegr´e d’un polynˆome en deux variables (projectives) est le couple form´e par les degr´es en chacune des variables de ce polynˆome.

122 Chapitre 11. Algorithmes associ´es aux diff´erents cas

D´emonstration :Il est clair que si nous param´etrons une quadrique d’inertie (2,2) pour d´efinir

l’´equation aux param`etres Ω

P,Q

, cette ´equation est de degr´e 2 en chaque variable projective (u, v)

et (s, t). C’est un polynˆome qui peut ˆetre factoris´e. Du fait de son d´egr´e en chaque variable, les

polynˆomes constituant cette factorisation sont soit tous les deux de degr´e 1 en une des variables

(factorisation [2,1][0,1], [1,1][1,1], [1,0][1,1][0,1]), soit des polynˆomes univari´es (factorisation

[2,0][0,2]). Dans le premier cas, le polynˆome, en une des deux variables, est le produit de deux

polynˆomes de degr´es 1, son discriminant est donc forc´ement le carr´e d’un polynˆome en l’autre

variable. Dans le deuxi`eme cas, chaque polynˆome de degr´e 2 en une variable a un discriminant

qui n’est pas un polynˆome, mais une constante. Dans les deux cas, les racines de l’´equation aux

param`etres que nous utilisons pour d´efinir le vecteur de param´etrage de la courbe de base sont

des polynˆomes et ne contiennent pas de racine carr´ee de polynˆome, ce qui finit de prouver la

proposition. 2

Si nous adaptons l’algorithme g´en´eral aux faisceaux singuliers, la recherche des diff´erentes

composantes alg´ebriques passe par une phase de factorisation, soit de l’´equation aux param`etres

elle-mˆeme, soit du discriminant ∆

s,t

(u, v) qui est alors le carr´e d’un polynˆome, ou une constante.

1.3 Cas des faisceaux d´eg´en´er´es

Les faisceaux d´eg´en´er´es ne contiennent que des quadriques de rang inf´erieur `a quatre.

L’al-gorithme g´en´eral ne peut donc pas ˆetre appliqu´e directement. Hormis dans un cas (celui o`u

les quadriques du faisceau n’ont pas de point singulier commun), l’´etude se ram`ene `a

l’inter-section de coniques dans _P

²

(_R). Nous pouvons alors consid´erer que nous allons appliquer de

nouveau l’algorithme g´en´eral, mais dans la dimension inf´erieure. Seule la forme de l’algorithme

reste, il faut le r´e´ecrire pour_P

²

(_R). Les quadriques d’inertie (2,1) jouent alors le rˆole que jouent

les quadriques d’inertie (2,2) dans _P

³

(_R). L’algorithme permettant de trouver une quadrique

d’inertie (2,2) dans le faisceau peut ˆetre r´e´ecrit pour les quadriques d’inertie (2,1).

1.4 Vers de nouveaux algorithmes

Nous avons clairement ´etabli que l’usage de l’algorithme g´en´eral a trois d´efauts. Dans le cas

o`u la courbe de base du faisceau est une quartique singuli`ere, la forme du param´etrage obtenu

n’est pas optimale puisque le r´esultat n’est pas rationnel. Dans le cas o`u la courbe de base est

constitu´ee de plusieurs composantes alg´ebriques, la s´eparation de ces composante n´ecessite une

factorisation (d’un polynˆome en deux variable de bi-degr´e [2,2] ou d’un polynˆome univari´e de

degr´e 4) et introduit ´eventuellement des racines carr´ees inutiles. Cette ´etape est d’autant plus

frustrante que d’apr`es les r´esultats du chapitre 10, il est ais´e de d´eterminer dans quel cas nous

nous trouvons avant de factoriser l’´equation aux param`etres ou ∆

_s,t

(u, v). Ce sera la premi`ere

modification de notre algorithme, nous allons commencer par d´eterminer dans quel cas (r´eel)

nous sommes exactement. Dans le cas d’un faisceau d´eg´en´er´e, l’algorithme doit ˆetre r´e´ecrit pour

la dimension inf´erieure, sans oublier le cas particulier de faisceaux d´eg´en´er´es pour lequel les

quadriques n’ont pas de point singulier commun.

Reste un ´ecueil que nous n’avons encore pas ´evoqu´e, la complexit´e alg´ebrique du r´esultat.

Le param´etrage d’une quadrique d’inertie (2,2) introduit une racine carr´ee. La r´esolution de

l’´equation aux param`etres introduit aussi des nombres alg´ebriques. Si nous factorisons l’´equation

aux param`etres, par exemple dans le cas o`u cette factorisation est de la forme [1,1][1,1], nous

pouvons introduire un autre niveau de racine carr´ee. Si nous factorisons le polynˆome ∆

_s,t

(u, v),

le probl`eme est le mˆeme. Si nous observons l’exemple de la quartique singuli`ere, nous nous

apercevons qu’en utilisant un cˆone (`a coefficients rationnels) du faisceau, non seulement nous

2. S´eparation des cas 123

avons obtenu un param´etrage rationnel, mais en plus, les coefficients apparaissant dans le r´esultat

sont tous rationnels. Les progr`es que nous r´ealisons reposent sur l’exploitation des propri´et´es

g´eom´etriques des quadriques singuli`eres du faisceau.

Nous allons donc dans la suite commencer par expliquer comment s´eparer les cas de mani`ere

Dans le document Paramétrage quasi-optimal de l'intersection de deux quadriques : théorie, algorithmes et implantation (Page 139-142)