La notion de singularit´ e convexe ou concave permet d’illustrer le fait que toutes les portions de la courbe de base du faisceau passant en ce point, traverse ou pas le plan tangent que nous

venons de d´efinir. La situation est illustr´ee par la figure 10.1. Sur cette illustration, dans les

deux cas, ce sont deux composantes alg´ebriques diff´erentes qui se croisent au point singulier.

Sur l’illustration (a), les courbes ne traversent pas le plan tangent, nous parlons de singularit´e

convexe. Sur l’illustration (b), elles le traversent, nous parlons de singularit´e concave.

(a) (b)

Fig.10.1 – Singularit´es convexes et concaves.

D´efinition 10.2 Soit une courbe de base d’un faisceau contenant un nœud simple. La singularit´e

d´efinie par ce point est dite convexe si, localement, toute partie de la courbe passant par ce point

reste du mˆeme cˆot´e du plan tangent d´efini dans la proposition 10.1, elle dite concave si chaque

partie de la courbe passant par ce point traverse le plan tangent.

2 R´esultats

Nous obtenons apr`es calculs 47 cas diff´erents d’intersection si le faisceau est singulier ou

d´eg´en´er´e. Devant la multitude de cas distincts nous avons d´ecid´e de les exposer sous forme de

cinq tableaux, chacun correspondant `a la multiplicit´e des racines de l’´equation d´eterminantielle

(tableaux 10.a `a 10.d), ou au fait que le faisceau soit d´eg´en´er´e (tableau 10.e). Dans une premi`ere

approximation, nous pouvons dire que nos crit`eres de distinction entre les diff´erents cas sont

la multiplicit´e des racines de l’´equation d´eterminantielle, la nature r´eelle ou complexe de ces

racines, l’inertie des quadriques correspondant `a ces racines, et la forme et la taille des blocs de

Jordan apparaissant dans la r´eduction simultan´ee des matrices de deux quadriques du faisceau.

Si nous voulons ˆetre plus pr´ecis, il faut noter que dans le cas des faisceaux d´eg´en´er´es, soit les

quadriques du faisceau n’ont aucun point singulier en commun, soit les quadriques du faisceau

ont au moins un point singulier en commun. Dans ce dernier cas, nous pouvons nous ramener

`

a une sous-´equation d´eterminantielle en nous pla¸cant dans P

²

(R) pour ´etudier les quadriques

du faisceau (se reporter `a la sous-section 7.3.4.1). En ce qui concerne le crit`ere d’inertie des

quadriques associ´ees aux racines deE

_P,Q

, nous devons pr´eciser que si ces racines sont complexes,

les matrices des quadriques correspondantes sont `a coefficients complexes et cela n’a pas vraiment

de sens de parler d’inertie de telles matrices ; nous ´etudierons alors le rang de ces quadriques et

2. R´esultats 93

la forme des blocs de Jordan associ´es dans la r´eduction simultan´ee de deux quadriques de tels

faisceaux.

inertie deQS inertie deQR blocs de Jordan ´equations r´esultat

(2,1) (2,2)

z2+yw= 0

xw+yz= 0 ^{une cubique et une droite, tangentes}

(2,0) (2,2)

y2+w2= 0

xy+zw= 0 ^{une droite double}

(1,1) (3,1) yz= 0 y²+xz+w²= 0 ^{une conique} (1,1) (2,2) 2×2 et 2×2 y²−w²= 0 xy−zw= 0

une droite double et deux droites non s´ecantes entre elles, coupant chacune la droite double

(1,1) (2,2) 3×3 et 1×1

yz= 0

y2+xz−w2= 0

une conique et deux droites la coupant au mˆeme point (1,0) (3,1) w²= 0 x2+y2+zw= 0 ^{un point} (1,0) (2,2) w²= 0

x²−y²+zw= 0 ^{deux droites doubles}

(0,0) n’importe quelle quadrique saufQS= 0

Tab.10.a – Intersections possibles quandE

P,Q

a une racine quadruple r´eelle -Q

S

est la quadrique

associ´ee `a cette racine - Q

R

une autre quadrique du faisceau, non singuli`ere. Quand cela est

n´ecessaire, la forme des blocs de Jordan obtenus dans la r´eduction simultan´ee de deux quadriques

du faisceau est donn´ee. Les ´equations de Q

S

et d’une autre quadrique du faisceau sont donn´ees.

Le fait d’utiliser le th´eor`eme 7.14 de r´eduction simultan´ee de deux formes quadratiques

per-met de distinguer tous les cas possibles. En pratique, dans l’optique de construire un algorithme

efficace de s´eparation des diff´erents cas, nous devons ´eviter de calculer cette r´eduction simultan´ee

et utiliser d’autres crit`eres plus simples `a d´eterminer. Cela explique pourquoi la forme des blocs

de Jordan n’apparaˆıt qu’´episodiquement dans les tables que nous pr´esentons. Nous utiliserons

g´en´eralement d’autres crit`eres de distinction comme l’inertie de certaines quadriques du

fais-ceaux, ou encore les propri´et´es des ´el´ements singuliers des quadriques singuli`eres du faisceau.

Cela nous permet d’´eviter la recherche effective d’une r´eduction simultan´ee, a priori coˆuteuse

et non utile pour la suite puisqu’elle est susceptible d’introduire des racines de polynˆome non

rationnelles.

Le premier tableau (10.a) correspond au cas o`u l’´equation d´eterminantielle poss`ede une racine

quadruple. L’´equation n’a donc qu’une racine rationnelle, r´eelle. Comme nous l’avions annonc´e,

les cas correspondant aux quatri`eme et cinqui`eme lignes peuvent ˆetre s´epar´es en ´etudiant la taille

des blocs de Jordan dans la r´eduction simultan´ee de deux quadriques du faisceau ; mais dans

notre algorithme, nous utiliserons un autre crit`ere pour distinguer les deux cas. Ici, la quadrique

singuli`ere d’inertie (1,1) contient une droite singuli`ere ; si cette droite singuli`ere est contenue

dans les autres quadriques du faisceau (il y a deux blocs de Jordan 2×2), la courbe de base du

faisceau est compos´ee d’une droite double et de deux droites non s´ecantes entre elles, chacune

coupant la droite double. Dans le cas contraire (il y a un bloc de Jordan 3×3 et un 1×1), la

courbe de base du faisceau est constitu´ee d’une conique non singuli`ere et de deux droites simples.

Le deuxi`eme tableau (10.b) correspond aux cas o`u l’´equation d´eterminantielle poss`ede une

racine triple et une racine simple. Les deux racines sont forc´ement r´eelles et rationnelles. La

connaissance des inerties des quadriques correspondant aux racines deE

_P,Q

suffit `a distinguer

les diff´erents cas possibles.

94 Chapitre 10. ´Etude des courbes singuli`eres

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fig. 10.2 – Intersections pour lesquelles l’´equation d´eterminantielle a une racine quadruple

-(a) une cubique et une droite s´ecante - (b) une droite double - (c) une conique - (d) une droite

double (verte) et deux droites simples - (e) une conique et deux droites - (f) deux droites doubles

inertie deQ_S1 inertie deQ_S2 ´equations deQ_S1 etQ_S2 r´esultat

(2,1) (2,1) w²+yz= 0 y2+xz= 0 ^{quartique cuspidale} (2,0) (2,1) x2+w2= 0 xy+z2= 0 ^{un point double} (1,1) (2,1) x2+w2= 0

xy+z²= 0 ^{2 coniques tangentes en un point double}

(1,0) (3,0) w2= 0 x²+y²+z²= 0 ^∅ (1,0) (2,1) w2= 0

x²−y²+z²= 0 ^{une conique double}

Tab. 10.b – L’´equation d´eterminantielle a une racine triple et une racine simple - Q

S1

est la

quadrique correspondant `a la racine triple,Q

S2

`a la racine simple.

Le troisi`eme tableau (10.c) correspond aux cas o`u l’´equation d´eterminantielle poss`ede une

racine double et deux racines simples (distinctes). Ce tableau est significatif de la multiplication

des cas dans l’espace projectif r´eel par rapport `a l’´etude dans l’espace projectif complexe. Non

seulement la nature r´eelle ou complexe des racines joue un rˆole discriminant, mais en plus la

nature r´eelle ou imaginaire des cˆones et des paires de plans joue un rˆole important. Quand ils

sont imaginaires, ils sont r´eduits, dans l’espace r´eel `a un point pour le cˆone, `a une droite pour

2. R´esultats 95

(a) (b) (c)

Fig. 10.3 – Intersections pour lesquelles l’´equation d´eterminantielle a une racine triple - (a)

quartique cuspidale - (b) deux coniques tangentes en un point - (c) une conique double.

inertie deQS₁ nature des ra-cines simples

inertie de

QS2etQS3

inertie deR ´equations r´esultat

(3,0) r´eelles

y2+z2+w2= 0

xy+w²= 0 ^{un point double r´eel}

(2,1) r´eelles (2,1) et (2,1) (3,1)

y2−z2−w2= 0,

xy−w2= 0

quartique nodale avec point isol´e

(2,1) r´eelles (2,1) et (2,1) (2,2)

y2+z2−w2= 0,

xy+w2= 0

quartique nodale sans point isol´e

(2,1) complexes (2,2)

y²+zw= 0

xy+z²−w²= 0

quartique nodale sans point isol´e (2,0) r´eelles (3,0) et (2,1) z²+w²= 0 x²+y²−z²= 0 ∅ (2,0) r´eelles (2,1) et (2,1) z2+w2= 0, x2−y2+z2= 0 ^{deux points} (1,1) r´eelles (3,0) et (3,0) z2−w2= 0 −x2−y2−z2= 0 ∅ (1,1) r´eelles (2,1) et (2,1) (3,1) z²−w²= 0

−x2−y2+z2= 0 ^{deux coniques distinctes}

(1,1) r´eelles (2,1) et (2,1) (2,2)

z2−w2= 0

−x2+y2+z2= 0

deux coniques s´ecantes en deux points (singula-rit´e convexe)

(1,1) complexes (2,2)

zw= 0

x2−y2+z2−w2= 0

deux coniques s´ecantes en deux points (singula-rit´e concave)

(1,1) complexes (3,1)

zw= 0

x²+y²+z²−w²= 0 ^{une conique simple}

Tab.10.c – E

_P,Q

a une racine double et deux racines simples - la quadriqueQ

S₁

est associ´ee `a

la racine double,Q

S2

etQ

S3

aux racines simples - Q

R

est une quadrique non singuli`ere dont le

param`etre dans le faisceau est voisin de celui deQ

S1

.

le plan. La partie r´eelle de la courbe d’intersection s’en trouve alors r´eduite `a l’ensemble vide

(cˆone imaginaire pour l’une des racines simples, cinqui`eme ligne dans le tableau), `a un point

(cˆone imaginaire, premi`ere ligne du tableau), ou deux points (plans imaginaires, sixi`eme ligne

du tableau).

Le quatri`eme tableau (10.d) correspond au cas o`u l’´equation d´eterminantielle poss`ede deux

racines doubles distinctes. C’est le cas le plus particulier. En effet, il se peut, si les deux racines

96 Chapitre 10. ´Etude des courbes singuli`eres

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h)

Fig. 10.4 – Illustrations des courbes d’intersection dans le cas o`u l’´equation d´eterminantielle a

une racine double et deux racines simples (a) quartique nodale avec point isol´e (b-c) quartique

nodale sans point isol´e (d) 2 points (e) 2 coniques distinctes (f) 2 coniques s´ecantes en 2 points

(g) 1 conique (h) 2 coniques s´ecantes en 2 points.

doubles sont complexes (et donc conjugu´ees), que le faisceau ne contienne aucune quadrique

singuli`ere r´eelle ; toutes les quadriques sont d’inertie (2,2), car sinon elles seraient toutes d’inertie

(3,1) et il n’y aurait pas de quadrique r´egl´ee dans le faisceau. Cette situation regroupe deux cas

de figures ´enonc´es dans les deux derni`eres lignes du tableau. Ils peuvent se distinguer l’un de

l’autre soit par la taille des blocs de Jordan apparaissant dans la r´eduction simultan´ee de deux

quadriques du faisceau, soit par le rang des quadriques complexes correspondant aux racines de

l’´equation d´eterminantielle (cela n’a alors pas de sens de parler d’inertie d’une matrice).

Dans le document Paramétrage quasi-optimal de l'intersection de deux quadriques : théorie, algorithmes et implantation (Page 111-116)