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Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository
Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Carati, D. (1991). Développement et application des méthodes du groupe de renormalisation à l'étude de la turbulence hydrodynamique (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/213045/3/d50e61f8-8f72-4005-8268-4c30f33f0248.txt
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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences
Service de Physique Statistique, Plasmas et Optique non Linéaire.
Développement et application des méthodes du groupe de renormalisation à Tétude de la
turbulence hydrodynamique
Daniele Carati Thèse présentée en vue de
Promoteur : Léon Brenig l'obtention du grade légal
' Février 1991 de docteur en Sciences Physiques
Par une. belle et chaude journée d’été,
Un lapin, chose étrange, travaillait dans un pré.
Il s’était assis près de son terrier.
Dans une patte un crayon, dans l’autre du papier.
Vint alors dans ce frais pâturage.
Un robuste loup qui était de passage.
Trouvant ce spectacle curieux et intrigant.
Il s’approcha du lapin qui semblait si vaillant.
“Qu’écris-tu donc là?” questionna le loup.
“Je regroupe mes articles, et j’en fais un tout.”
Troublé le carnivore s ’enquit de leurs objets.
“Les lapins mangent les loups : tel est le sujet. ” Le loup fut d ’abord frappé de stupeur,
Par l’aplomb affiché par le frêle rongeur.
Ensuite, il se mit à rire aux éclats.
Si bien que chez lui le lapin l’invita.
Ce pau rre loup, nul ne l’a jamais revu.
Mais bien vite le lapin du trou réapparut.
Il s’assit de nouveau près de son terrier.
Dans une patte un crayon, dans l’autre du papier.
Vint alors dans ce troublant paysage, Un solide renard, lui aussi de passage.
Trouvant le spectacle curieux et fort bizarre.
De notre lapin s’approcha le renard.
“Qu’écris-tu donc là?” lui demanda-t-il.
“Je rédige ma thèse et ce n’est pas facile!”
“Qu’en sera-t-il donc des thèmes principaux?”
“Les lapins mangent les renards et d’autres animaux.
Le renard à son tour prit un air moqueur.
En entendant la réponse donnée par le rongeur.
Ensuite, il se mit à rire aux éclats.
Si bien que chez lui le lapin l’invita.
Ce pauvre renard, nul ne l’a revu,
Mais bien vite le lapin du trou réapparut.
Il s’assit de nouveau près de son terrier,
Dans une patte un crayon, dans l’autre du papier.
A l’intérieur du terrier, une grande pièce carrée.
Où reposent dans deux coins des ossements amassés, Un tas d’os de renard, un tas d’os de loup.
Et un fier lion régnant sur le tout.
Pour terminer ce conte, en voici la morale : Un bon sujet de thèse n’est point primordial.
Et les données traitées n’ont que peu d’importance.
Seul le directeur a une grande influence.
Un i qui devient é.
Une seule lettre à changer, Et lion devient Léon, Encore merci, patron.
^Auteur inconnu.
^Traduit de l’anglais et adapté par votre serviteur.
Celle de l’aigri, la plus simple mais la moins sympathique, qui consiste h ne remercier personne.
Celle du doux rêveur, pour qui tout le monde est adorable et intelligent. Il suffit alors d’arpenter les couloirs et de prendre note de tous les noms inscrits sur les portes. Cette solution, bien que systématique ne me convenait pas non plus.
Celle du militaire, qui commence à remercier le recteur puis le président de la faculté en terminant par le service de nettoyage. J ’ai trop critiqué cet esprit pour l’adopter aujourd’hui.
J’ai aussi pensé a l’ordre alphabétique. J’aurais donc pu commencé par :
Radu Balescu (Coup de chance! C’est également le chef de service). Voilant sa timidité derrière un nuage de fumée, cet homme discret mais efficace aura marqué ma vie universitaire. Depuis la deuxieme candidature, où il m'initia à la physique mathématique, jusqu'à la rédaction du présent travail, son enseignement et ses conseils m’auront toujours
été très utiles.
Cependant, à ce rythme, mes remerciements allaient prendre une dizaine de pages. Je me suis alors tourné vers une liste regroupant les personnes selon les circonstances. Ainsi, j’aurais pu remercier :
Les compagnons de délire : Alain G. et Jean-Luc. Pitreries, jongleries et plaisanteries ne sont que quelques facettes visibles de ces deux personnages très recommandables. Rire et travailler, travailler mais rire, telle pourrait être leur devise. Telle pourrait être notre devise.
Les buveurs de café : Alan, Albert, Annie, Boris, Christoph, Dominique, Eric, Jean, Jean-Marc, Bassina, Li, Marcel, Marciano, Marcos, Nicolas, Nozar, Olga, Pasquale, Serge, Thierry, Wey Ÿan, Xu et bien d’autres : les discussions animées, pittoresques, scientifiques, enflammées, politiques, grivoises, culturelles ou absurdes que nous avons poursuivies derrière une tasse de café et un morceau de tarte resteront des moments inoubliables.
Les compagnons de table : Alain D., Anne, Erik, Fernand, Geneviève, Jacques-Alexandre, José, Michel, Simon et d’autres encore. Ils m’ont apporté leur soutien chaque fois que, face a mon assiette, un profond découragement ou une grande lassitude s’emparait de moi.
Les gais-lurons-du-bout-du-couloir-a-droite : Paul qui n’hésita pas à se verser un plein gobelet d’eau sur la tète pour me voir sourire et Marc, fidèle spectateur de nos nombreuses
facéties.
Le personnel administratif et technique : Catherine, Cristina, Muriel et Pierre.
Les scientifiques qui m’ont éclairé sur mon travail : U. Frisch, J.D. Fournier, V. Yakhot ainsi que Jean-Pierre.
Cependant, ces catégories se chevauchent partiellement et ne recouvrent pas l’ensemble des personnes qui ont permis l’achèvement de ce travail.
En effet, je devrais encore remercier mes proches. Si je n’ai gardé qu’un seul caractère typique de mes origines italiennes, c’est sans doute l’attachement a ma famille. Aussi bien ma mère, mon frère que mes belles soeurs, beaux frères et beaux parents auront contribué pendant ces années de doctorat à construire un environnement favorable à mon travail.
Je devrais également penser à remercier le F.N.R.S. qui m’a soutenu financièrement depuis la fin de ma licence.
Enfin, je ne pourrais oublier Claire car sans Elle, je ne serais pas moi.
Et même après une telle liste, je serais certain d’avoir oublié l’une ou l’autre personne que j’aurais voulu mentionner. Aussi, j’abdique devant la tâche insurmontable de rédiger des remerciements à caractère personnel et je vous dis a tous :
Merci pour tout
T able des M atières
Introduction ...1
Chapitre 1 ; Concepts fondamentaux en turbulence...7
1.1 Caractères universels de la turbulence tri-dimensionnelle... 7
1.2 Le spectre de Kolmogorov-Obukhov... 11
1.3 Théories classiques de la turbulence... 14
1.4 Intermittence et déviations au spectre de Kolmogorov...15
1.5 Turbulence bi-dimensionnelle et cascade inverse...19
Chapitre 2 : Le groupe de renormalisation...23
2.1 Introduction...23
2:2“Lien“entreTongueur"mintmaie“st“pâramètres... 24
2.3 Lois d’échelle... 27
2.4 Définition du groupe de renormalisation...29
Chapitre 3 ; Renormalisation de l’équation de Navier-Stokes... 37
3.1 Introduction...37
3.2 Présentation du problème... 38
3.3 Perturbation et rôle du traceur A...42
3.4 La procédure d’élimination... 43
3.5 La procédure de renormalisation... 49
3.6 Les équations différentielles de renormalisation...51
3.7 Le spectre d’énergie... 53
3.8 Evolution d’im scalaire passif...57
3.9 Renormalisation de la force... 60
3.10 Lien avec les modèles classiques et résumé des résultats... 62
Chapitre 4 : Non-localité des interactions...65
4.1 Motivations...65
4.2 Le groupe de renormalisation numérique... 67
4.3 Quelques résultats analytiques... 73
4.4 Propriété scalaire et termes cubiques... 78
4.5 Discussion... 81
5.3 Renormalisation de la force... 94
5.4 Comparaisons avec les résultats expérimentaux...98
5.5 Discussion... 105
Chapitre 6 : “EDQNM” et turbulence d-dimensionnelle...109
6.1 Introduction...109
6.2 L’approximation “EDQNM”... 111
6.3 “EDQNM” et groupe de renormalisation...115
6.4 Influence de la couleur du bruit...122
6.5 Equation d’évolution pour les fluctuations d’un scalaire passif. . 126
6.6 Le statut de la dimension de l’espace... 129
Chapitre 7 : Turbulence faiblement anisotrope...135
7.1 Introduction...135
7.2 Modèle anisotrope...137
7.3 La procédure d’élimination des grands vecteurs d’onde...141
7.4 Renormalisation des variables... ...147
7.5 Equations différentielles de renormalisation... 148
7.6 Le spectre d’énergie... 150
7.6 Discussion... 152
Synthèse et perspectives...155
Appendice...159
Bibliographie... 163
I ntroduction
Il est classique, presque rituel, de commencer l’introduction d’une thèse se rapportant à un sujet traditionnel mais encore inépuisé de la science, par une phrase mettant l’accent sur l’acharnement dont font preuve les hommes dans leur recherche pour une meilleure compréhension du domaine en question.
Ainsi, une thèse classique d’astrophysique commence par : “Depuis des temps immémoriaux, l’homme lève son regard vers les deux et s’interroge sur la nature et l’origine des astres”. De même, une thèse de biologiste se doit pratiquement de débuter par -.“Depuis des temps immémoriaux, l’homme s’interroge sur la nature et l’origine de la vie sur notre planète”. Le sujet que je traite dans ce travail, la turbulence dans les fluides neutres, pourrait lui aussi se prêter à une même introduction. En effet, de l’homme de Néanderthal pêchant dans les rivières, à l’homme moderne ouvrant son robinet, en passant par le navigateur phénicien, tous ont été confrontés de près ou de loin aux phénomènes turbulents. De manière générale, tous les liquides et tous les gaz peuvent présenter sous certaines conditions des comportements turbulents. De tels comportements se rencontrent sous diverses formes, aussi bien en ingénierie ou dans l’étude de l’atmosphère que dans de nombreuses expériences de laboratoire. Et pourtant, peut-on vraiment parler d’acharnement à comprendre la turbulence...
Bien sûr, je ne doute pas un instant que de nombreux physiciens et mathématiciens se soient penchés, et se penchent encore, sur les difficiles questions que soulève la physique de la turbulence complètement développée.
Kolmogorov et Heisenberg en sont deux exemples aussi célèbres que talentueux.
Cependant, il est évident que l’étude de la turbulence dans les fluides neutres n’est pas un sujet à la mode dans le monde scientifique d’aujourd’hui. .Ainsi, tous les physiciens connaissent, au moins de réputation, la relativité générale et la mécanique quantique. Combien sont-ils à seulement appréhender la richesse de comportement que permet la turbulence? Plus grave : les chercheurs en hydrodynamique turbulente sont parfois considérés comme les techniciens besogneux de la physique moderne. Cette situation s’explique peut-être par le très petit nombre de résultats rigoureux qui ont pu être obtenus en turbulence depuis la naissance de la mécanique des fluides. C’est pourquoi il est important de développer des théories aussi fondamentales que possible pour décrire la turbulence. Plus précisément, il serait utile ,de développer une théorie systématique de la turbulence permettant d’évaluer de manière qualitative et quantitative les phénomènes de transport et les propriétés statistiques des écoulements. Par exemple, l’estimation des viscosités et conductivités turbulentes est primordiale dans la mise au point des algorithmes de simulation.
Dans cette optique, le groupe de renormalisation présente de nombreuses et nouvelles possibilités. En effet, pour contourner les difficultés liées à la résolution de l’équation de Navier-Stokes, plusieurs modèles phénoménologiques de la turbulence ont été développés. Ils présentent généralement un intérêt pratique évident et sont d’ailleurs quotidiennement utilisés par les ingénieurs. Mais chacun de ces modèles fait apparaître des constantes arbitraires ou fait appel à des hypothèses difficilement vérifiables. Les plus perfectionnés de ces modèles, tels les modèles de cascade multifractale, rendent même compte de l’essentiel des comportements turbulents. Cependant, ils restent basés sur une phénoménologie qui, bien que très réaliste, n’est pas démontrée théoriquement.
Le gouffre qui existe actuellement entre la théorie de la turbulence et les réalités expérimentales est tel que même les aspects les plus caractéristiques de la turbulence ne peuvent être déduits d’une approche fondamentale.
Par exemple, de nombreux modèles font référence à la turbulence isotrope,
homogène et stationnaire dans un fluide incompressible. Ces hypothèses très
contraignantes, qui correspondent d’ailleurs de manière approchée à beaucoup
d’écoulements, ne permettent cependant pas de déterminer directement, à
partir de l’équation de Navier-Stokes, une caractéristique aussi t}^pique de la
turbulence que le spectre des fluctuations de vitesse.
Introduction
.3
Les résolutions numériques de l’équation de Navier-Stokes montrent d’autre part que cette équation décrit de manière parfaite toute la physique de la turbulence dans les fluides neutres. Elle reste donc le point de départ privilégié des théoriciens. C’est pourquoi nous pensons que le groupe de renormalisation peut apporter un plus dans la recherche fondamentale en mécanique des fluides.
En effet, le groupe de renormalisation appliqué à l’hydrodynamique n’est pas basé sur une quelconque approximation de l’équation de Navier-Stokes mais bien sur cette équation elle-même. On n’envisage évidemment pas de résoudre analytiquement l’équation de Navier-Stokes avec des conditions aux bords et des conditions initiales quelconques. La procédure de renormalisation tente “seulement” d’extraire de cette équation quelques informations générales (c’est-à-dire les propriétés de la turbulence qui semblent universelles). C’est en tenant compte des possibilités que présente cette théorie que nous avons choisi de consacrer l’essentiel de nos efforts au développement des méthodes de renormalisation appliquées aux équations de l’hydrodynamique.
Comme dans la plupart des autres applications du groupe de renorm'aiisatïonVTl"^st malheureusement impossiblë^’ëffëctuer la procédure"
de renormalisation exacte de l’équation de Navier-Stokes. On utilise alors un
développement en série autour de valeurs des paramètres qui représentent une
situation suffisamment simple. En mécanique statistique, il est habituel de
développer la théorie du groupe de renormalisation autour d’une dimension
spatiale particulière. Ainsi, dans l’étude des transitions de phase, c’est la
dimension de l’espace qui est développée et les calculs sont menés aux ordres
les plus bas en un paramètre caractérisant l’écart à une situation de référence :
e = 4 — d. Les systèmes présentant un intérêt concret pour les physiciens sont
généralement tridimensionnels ou bidimensionnels. Dans ce cas, le paramètre
de développement e prend respectivement les valeurs e = 1 et e = 2. Wilson
(1973) a cependant montré la cohérence de cette approche, même pour des
valeurs importantes de e, dans ses travaux sur le groupe de renormalisation
et sur cette e-expasision. Dans le cas de la renormalisation de l’équation
de Navier-Stokes, un procédé analogue est utilisé. Comme nous le verrons,
le paramètre de développement n’est cependant plus directement lié à la
dimension de l’espace. De Dominicis et Martin (1979) ont montré C[ue la
turbulence hydrodynamique n’était compatible avec les résultats du groupe de
renormalisation et en particulier avec 1’ e-expansion que lorsque e est proche
de 4.
L’idée d’utiliser le groupe de renormalisation dans l’étude de l’équation de Navier-Stokes a été pour la première fois systématisée par Forster, Nelson et Stephen (1976, 1977). Rapidement, cette théorie originale a suscité l’intérêt de la communauté des hydrodynamiciens. Plusieurs travaux ont alors été publiés aussi bien en hydrodynamique qu’en magnétohydrodynamique (voir notamment les travaux de Fournier, Pouquet, et Sulem, 1978, 1979, 1982).
Cependant, pour des raisons que nous n’allons que rapidement esquisser dans cette introduction, l’utilisation intensive de cette théorie dans l’étude de la turbulence hydrodynamique est beaucoup plus récente (Yakhot et Orszag, 1986a, 1986b). Deux obstacles importants ont, en effet, freiné l’utilisation du groupe de renormalisation en turbulence hydrodynamique.
Premièrement, tous les résultats du groupe de renormalisation sont obtenus en traitant une équation de Navier-Stokes forcée (c’est-à-dire dans laquelle on introduit une force aléatoire). Rien ne prouve que cette équation représente encore de manière fidèle la physique de la turbulence. Notons cependant que les simulations numéricpies ne décèlent, au stade actuel de développement des ordinateurs, aucune différence notable entre la turbulence naturelle et la turbulence générée par l’équation de Navier-Stokes forcée. La force ainsi introduite dans l’équation de Navier-Stokes n’est, néanmoins, rien d’autre qu’un artifice permettant de mener à bien la procédure de renormalisation et ne correspond à aucune réalité physique. C’est pourquoi, nous avons corisacré une partie de ce travail au statut de la force aléatoire. Nous montrerons en quoi certaines hypothèses émises sur la force peuvent influencer les résultats du groupe de renormalisation (Carati 1990b, 1991b). Nous discuterons, en particulier, l’intérêt et le sens physique de l’utilisation de bruits blancs ou colorés comme source aléatoire dans l’équation de Navier-Stokes.
Le deuxième obstacle se situe au niveau de l’utilisation de Ve-expansion
en turbulence. En effet, le groupe de renormalisation et principalement l’e-
expansion sont construits en faisant l’hypothèse que les interactions sont
non-locales dans l’espace de Fourier. D’autre part, plusieurs expériences
laissent penser que les interactions entre les structures turbulentes sont
majoritairement locales dans l’espace de Fourier. La plupart des modèles
phénoménologiciues de la turbulence font d’ailleurs souvent usage de cette
présumée localité des interactions. Face à cette apparente contradiction, deux
types d’arguments ont été avancés pour justifier l’usage des technicjues de
renormalisation en turbulence hydrodynamique. D’abord, certains ont tenté
întroduction 0
de développer une version numérique du groupe de renormalisation sans e- expansion. Nous avons démontré (Carati 1991a) que cette approche est inconsistante par plusieurs de ses aspects et que l’hypothèse de non-localité des interactions est absolument nécessaire dans l’utilisation du groupe de renormalisation. L’autre type de justification s’appuie sur l’hypothèse que, à l’ordre le plus bas en e, le type de force aléatoire utilisé introduit en fait des interactions essentiellement non-locales. Ce ne serait que pour les valeurs de e proches de 4 que la physique décrite par l’équation de Navier-Stokes renormalisée serait locale. C’est ce dernier point de vue que nous adopterons dans l’ensemble de ce travail.
Nous avons également tenté de rapprocher l’utilisation du groupe de renormalisation en turbulence des autres applications plus classiques de cette méthode. Ainsi, nous nous sommes penchés sur le statut de la dimension de l’espace. La recherche d’une dimension jouant un rôle particulier avait déjà mené à des résultats importants dans les années septante (Frisch, Lesieur et Sulem 1977; Fournier et Frisch, 1978). Ces auteurs ont alors montré qu’il
^levait exister une dimension critique~(‘2“<“ii^<“3)“p'Our“laquelle“le“taux“de’
transfert de l’énergie dans les phénomènes turbulents change de signe. Ainsi, pour d > de l’énergie est transférée des grandes échelles vers les petites échelles, alors que pour d < de les petites structures cèdent leur énergie aux plus grandes. Nous avons discuté la possibilité d’insérer cette dimension particulière dans le cadre du groupe de renormalisation. Nous avons utilisé les travaux de Dannevick, Yakhot et Orszag (1987) pour montrer que cette dimension critique peut d’ailleurs se déduire du groupe de renormalisation (Carati 1990a, 1990c). De plus, la généralisation pour des dimensions spatiales quelconques des travaux de Dannevick, Yakhot et Orszag permet de ne plus focaliser les prévisions du groupe de renormalisation sur une dimension particulière {d = 3). En effet, si la grande majorité des expériences de laboratoire représente des phénomènes tridimensionnels, d’autres domaines de la physique (comme la physique de l’atmosphère) font apparaître une turbulence quasi bidimensionnelle. Notons également que les simulations numériques sont beaucoup moins exigeantes en temps de calcul si on étudie des systèmes de dimension 2.
Indépendamment de ces considérations relativement théoriques sur l’emploi
du groupe de renormalisation en hydrodynamique, nous avons étendu son
champ d’application aux systèmes faiblement anisotropes. Rubinstein et
Barton (1987) avaient obtenu une version anisotrope de l’équation de Navier-
Stokes renormalisée. Nous avons effectué un travail similaire en couplant
à l’équation de Navier-Stokes, l’équation d’évolution pour un scalaire passif
(température, concentration, ...) (Carati et Brenig, 1989). On peut ainsi
généraliser la notion de nombre de Prandtl (rapport entre la viscosité et la
conductivité) pour des tenseurs de transport anisotropes. De plus, de nouveaux
termes de couplages apparaissent dans l’équation pour le scalaire passif. En
particulier, on peut montrer que la partie anisotrope du flux renormalisé du
scalaire est dominé par le gradient de vitesse. Ainsi la première correction
anisotrope aux équations de bilan hydrodynamiques est un terme croisé dans
l’équation d’évolution de la température.
C hapitre i
C oncepts F ondamentaux
EN T urbulence H omogène et I sotrope
1.1 Caractères universels de la turbulence tri-dimensionnelle
Le vocable turbulence est utilisé pour désigner une large gamme de phénomènes qui apparaissent aussi bien en mécanique des fluides neutres que dans la physique des plasmas. Dans ce travail, nous nous sommes concentrés sur l’étude de la turbulence en hydrodynamique. Cependant, même dans ce cas plus précis, le concept de turbulence recouvre des réalités apparemment très diverses. En effet, la turbulence rencontrée par les océanographes ou les climatologues et celle étudiée par les ingénieurs dans les turbines ou les souffleries se produisent sur des échelles très différentes. D’autre part, les écoulements dans les conduites et les courants atmosphériques peuvent sembler, de prime abord, n’avoir aucune propriété commune. Le physicien sait pourtant depuis longtemps que toutes ces situations peuvent être décrites de manière rigoureuse par une seule et même équation gouvernant l’évolution du champ de vitesse
Vi(x,t)dans le fluide, l’équation de Navier-Stokes :
dv(X -*
— ’ + (v{x, t). V) v(x, t) - -Vp(x, t) +
1/ Av{x, t) (1.1)
OÙ P
représente la pression et i/, la viscosité cinématique. Pour simplifier l’exposé, nous supposerons dans ce chapitre que la température et la densité ne jouent pas un rôle important. Nous n’étudierons donc pas ici les équations de bilan de masse et de chaleur. C’est pourquoi nous avons d’emblée négligé la viscosité de volume dans l’équation (1.1).
Cette unité des phénomènes turbulents liée à une même formulation mathématique devrait se traduire par des propriétés physiques communes.
C’est bien ce qui est observé. Cependant, avant de décrire les propriétés mêmes de la turbulence, il est utile de préciser les différents types d’écoulements et leurs spécificités. On distingue en mécanique des fluides neutres trois régimes : les régimes laminaire, transitoire et turbulent. Chacun de ces régimes présente des particularités physiques bien distinctes et est associé à des valeurs différentes d’un paramètre sans dimension : le nombre de Reynolds. Nous allons d’abord préciser le sens physique de ce paramètre, et ensuite, nous décrirons succinctement les principales propriétés de chaque régime.
Le nombre de Reynolds {Re) est défini comme suit ;
U
où U et L sont respectivement une vitesse et une longueur caractéristiques de l’écoulement. Ce nombre représente le rapport des effets d’inertie et des effets de viscosité dans l’écoulement. En effet, le terme d’inertie (u.Vjü est de l’ordre de U~/L, alors que le terme de viscosité, i/Au, peut être approximé par vU/L^. En prenant le rapport de ces deux estimations, on retrouve la définition (1.2). Plus les effets de viscosité sont importants, plus les écarts à l’écoulement d’équilibre sont rapidement atténués et plus cet écoulement sera stable. Les petits nombres de Reynolds sont donc associés aux écoulements les plus stables, c-à-d. au régime laminaire. A l’opposé, les très grands nombres de Reynolds sont associés au régime turbulent.
Ces différents régimes hydrodynamiques peuvent être caractérisés par le comportement du champ de vitesse. Par exemple, pour le régime laminaire, la valeur moyenne de la vitesse suffit à décrire l’écoulement. Le régime transitoire, quant à lui, est le résultat de la déstabilisation de l’écoulement laminaire. Il .se traduit par l’apparition de structures plus ou moins stables à grande échelle.
Le passage du laminaire au transitoire se fait lorsque le nombre de Reynolds
Concepts fondamentaux en turbulence
9
atteint une valeur critique qui dépend de la géométrie de l’écoulement.
I Transfert 1
1 Transfert i
Energie potentielle (grad. pression) Energie cinétique 1 I
Energie cinétique
1 I
Energie cinétique
Figure 1 : Les trois étapes d’un processus turbulent : l’injection d’énergie par la création de tourbillons, le transfert de cette énergie aux petites échelles et enfin, la dissipation par effets visqueux
Enfin, le régime turbulent se caractérise par l’existence de fluctuations
importantes du champ de vitesse autour de sa valeur moyenne. La vitesse
moyenne ne suffit plus à décrire l’écoulement. En effet, elle est fortement
influencée par les fluctuations liées aux effets inertiels. Mathématiquement,
l’influence des fluctuations sur les grandeurs moyennes est marquée par
la non-linéarité des termes inertiels de l’équation de Navier-.Stokes. Ces
fluctuations se matérialisent le plus souvent sous la forme de structures macroscopiques tourbillonaires. L’apparition et la disparition des tourbillons dans les phénomènes turbulents tri-dimensionnels se font suivant un schéma universel comprenant trois étapes principales que nous avons représentées dans la figure 1.
La première étape est celle où l’énergie est injectée dans le système. Elle peut provenir de plusieurs sources comme, par exemple, un gradient de pression extérieur animant un fluide dans une conduite ou le champ de gravitation faisant s’écouler l’eau dans le lit des rivières. Cette injection d’énergie se traduit, lorsque l’écoulement est turbulent, par la création de tourbillons dont la taille dépend des conditions aux bords. Cela correspond à la transformation de l’énergie potentielle (gravitationnelle ou autre) en énergie cinétique.
Dans un deuxième temps, les tourbillons ainsi créés vont se déstabiliser et donner naissance à des tourbillons plus petits. Cela se produit au cours d’un processus purement mécanique pour lequel les pertes d’énergie dues à la viscosité sont négligeables. Cette étape correspond à une tranformation d’énergie cinétique en énergie cinétique d’une autre forme et est régie essentiellement par les termes inertiels de l’équation de Navier-Stokes.
Enfin, lorsque les tourbillons atteignent une taille suffisamment petite qui est fonction du fluide, ils ne donnent plus naissance à d’autres tourbillons mais sont dissipés. C’est uniquement lors de cette dissipation que la viscosité joue un rôle important. Au cours de cette troisième étape, l’énergie cinétique des tourbillons est transformée en chaleur.
On voit donc que, par la troisième étape, la turbulence a naturellement
tendance à diminuer d’intensité en faisant disparaître les tourbillons. Pour
obtenir un écoulement turbulent stationnaire, il est donc essentiel d’entretenir
la turbulence grâce à l’injection d’énergie cinétique. Entre l’injection d’énergie
et sa dissipation, prend place un processus mécanique de dégradation de
l’énergie cinétique via la transformation des grands tourbillons en tourbillons
plus petits. Cette transformation est connue sous le nom de cascade de
Kolmogorov-Richardson et présente, sous certaines conditions, des propriétés
remarquables et universelles. Ce sont ces propriétés que nous allons maintenant
décrire. Citons ici, les mots devenus célèbres de Richardson décrivant cette
cascade :
Concepts fondamentaux en turbulence
11
Big whorls hâve Utile whorls, which feed on their velocity.
Little whorls hâve lesser whorls and so on to viscosity.
(In the molecular sense)
1.2 Le spectre de Kolmogorov-Obukhov
Le domaine des longueurs concernées par la cascade de Kolmogorov- Richardson est appelé domaine inertiel (Kolmogorov, 1941). On peut voir sur la figure 2 qu’il est doublement borné. Au début, le domaine inertiel est limité par les dimensions typiques de l’écoulement (/m), les plus grands tourbillons ne pouvant naturellement pas être de taille supérieure à /„j.
Dans le domaine des petites longueurs, le domaine inertiel est borné par la dimension des plus petits tourbillons (77), appelée longueur de dissipation.
Lorsque ces deux longueurs sont suffisamment différentes l’une de l’autre [f] /m)) la cascade a lieu dans un domaine où il n’existe pas de longueur caractéristique. Elle est alors indépendante des conditions macroscopiques de l’écoulement telles que les conditions aux bords ou le gradient de pression extérieur. Elle est également indépendante des propriétés microscopiques du fluide telles que la viscosité. En particulier, les propriétés statistiques du domaine inertiel devraient correspondre à un système homogène et isotrope bien que l’écoulement lui même présente sans doute des inhomogénéités et des directions particulières dues aux parois et à la vitesse moyenne du fluide.
Ces constatations sont à la base de la théorie de Kolmogorov et sont exprimées au moyen de deux hypothèses. Premièrement, les moments de la distribution de vitesse < (u(x + l,t) — v(x,t))^ > sont supposés être des fonctions universelles isotropes ne dépendant que de /, de la viscosité cinématique i/, et du taux moyen de dissipation de l’énergie ë, pour autant que / soit petit par rapport aux dimensions macroscopiques de l’écoulement l,n- Deuxièmement, si l est grand par rapport aux échelles typiques de la dissipation (/ ^ rj), alors ces moments sont également indépendants de la viscosité.
De ces deux hypothèses, Kolmogorov déduisit, par analyse dimensionnelle
([ë] = que, dans le domaine inertiel caractérisé par Im ^ Vi
on a :
< (u(x + l,t)~ v{x,t))^ >= Cn r/3 (1.3)
où la moyenne < > est une moyenne d’ensemble. Elle correspond à une moyenne sur un grand nombre d’expériences effectuées dans les mêmes conditions. Cependant, expérimentalement, elle est évaluée via une moyenne temporelle, ce qui suppose une hypothèse d’ergodicité.
Figure 2 : Représentation Log-Log du spectre d’énergie cinétique dans un fluide turbulent. Le spectre de Kolmogorov-Obukhov est associé à la cascade d’énergie et présente un caractère universel.
Les spectres associés aux phénomènes d’injection et de dissipation de l’énergie dépendent fortement du fluide et des conditions de l’écoulement
Le cas particulier n = 2 donne le comportement de l’énergie cinétique par unité de masse {E{1)) :
E{î) ~ ë2/3 (2/3 (1.4)
Cette relation peut être écrite, non plus en fonction de l, mais en fonction
Concepts fondamentaux en turbulence
13
des nombres d’onde k et de la transformée de Fourier de l’énergie E{k) :
E{k) = C r - k-^/^ (1.5)
La relation en terme de nombre d’onde (1.5) est due à Obukhov (1941) mais est maintenant plus connue sous le nom de spectre de Kolmogorov.
La constante de proportionnalité C/c, est d’ailleurs appelée constante de Kolmogorov. De nombreuses e.xpériences ont corroboré cette théorie et les valeurs mesurées pour C/c appartiennent à un intervalle relativement restreint 1.4 < C/c < 1.7. Cela laisse supposer que la constante de Kolmogorov est elle-même une propriété universelle de la turbulence.
En fait la théorie de Kolmogorov ne se limitait pas à cette seule analyse dimensionnelle et à l’obtention du spectre (1.5). Cette théorie, grâce à d’autres arguments dimensionnels, donne également une idée relativement précise de la limite de validité de la loi (1.5). En effet, quel cpie soit le domaine de nombres d’onde auquel on s’intéresse, il existe deux processus de destruction des tourbillons. Le premier, et c’est celui qui domine au sein de la cascade, est une destruction mécanique due à une distorsion du tourbillon. L’échelle de temps typique (t^) de ce processus est donnée, pour un tourbillon de dimension de l’ordre de /, par
td ~ //\/E{1) (1.6)
Le temps td correspond ainsi au rapport entre la dimension caractéristique du tourbillon (/) et sa vitesse caractéristique yjE[l). Notons ici que nous utilisons de manière quelque peu abusive le vocable énergie pour désigner E{1). En effet, selon les relations (1.4) et (1.5), E(l) représente le carré d’une vitesse et non une énergie. Cependant, la densité étant considérée comme une constante, la fonction E{1) est directement proportionnelle à l’énergie cinétique. Le second processus de destruction est celui de dissipation des tourbillons. Dans ce cas le temps caractéristique [t^) est donné par
~ ï^lu (1.7)
En effet, une fluctuation .soumise à une dissipation visciueuse décroît comme
ç-uk'^t ^ . Il apparaît alors clairement ciue le temps caractéristique des
phénomènes visqueux est donné par la relation (1.7).
Lorsque id ^ les tourbillons n’ont pas le temps d’être dissipés et se décomposent, sous l’effet des distorsions, en tourbillons de taille plus petite.
Les effets de la viscosité deviennent non négligeables lorsque les deux temps caractéristiques sont comparables. En utilisant (1.5) et en recherchant la longueur r] pour laquelle les deux temps (l.6 et 1.7) sont égaux, on obtient la relation :
(1-8)
La longueur ?) est donc fortement dépendante de la viscosité, et par- conséquent des propriétés microscopiques du fluide.
1.3 Théories classiques de la turbulence
Le but de cette section n’est pas de présenter une revue exhaustive des théories utilisées pour tenter de décrire la turbulence pleinement développée.
Cependant, il est intéressant de donner brièvement les idées principales des théories qui ont connu le plus grand succès.
Direct Interaction Approximation
Cette théorie (Kraichnan, 1959, 1964; Herring et Kraichnan, 1972; Leith 1971) constitue une approximation de fermeture. Elle est basée sur un développement considérant la non-linéarité comme faible dans l’équation poul
ies corrélations triples. Ces dernières sont alors reliées aux corrélations doubles.
Les équations fermées ainsi obtenues présentent cependant la propriété de ne pas être invariantes sous les transformations de Gallilée. De plus, on montre que le spectre d’énergie déduit de la DIA est proportionnel à au lieu du spectre de Kolmogorov.
Lagrangian Direct Interaction Approximation et Test-Field Model
Pour résoudre les problèmes qui survenaient dans la DIA, Kraichnan a
proposé diverses versions améliorées de sa théorie (Kraichnan,1971; Herring
et Kraichnan, 1972). En particulier les théories LDIA et TFM sont des
Concepts fondamentaux en turbulence
15
approximations dans lesquelles l’invariance galliléenne est restaurée et qui deviennent compatibles avec le spectre de Kolmogorov.
Eddy Damped Quasi Normal Markovian approximation
L’EDQNM, proposée par Orszag (1970, 1973), est une approximation similaire aux théories galliléennes de Kraichnan. Nous en reparlerons en détail dans le chapitre 6, car on peut montrer (Dannevick, Yakhot et Orszag, 1987) que cette approximation est compatible avec les résultats issus du groupe de renormalisation que nous étudierons en détail tout au long de ce travail.
Nous présenterons dans la suite d’autres modèles de la turbulence homogène et isotrope qui sont fréquemment utilisés dans les simulations. Nous citerons également dans la section suivante quelques théories plus récentes de la turbulence ayant pour ambition de décrire certaines déviations au spectre de Kolmogorov.
1.4 Intermittence et déviations au spectre de Kolmogorov
Les expériences permettant de tester la théorie de Kolmogorov sont très difficiles à mettre en oeuvre. En effet, étudier expérimentalement les moments (1.3) nécessite des prises de mesures dans l’espace et dans le temps. Un grand nombre de mesures dans l’espace est nécessaire à l’évaluation de la dépendance des moments en l. D’autre part, par une hypothèse d’ergodicité, ces moments sont donnés par une moyenne temporelle. Il est donc également nécessaire de recueillir des séries temporelles suffisantes en chacune des positions de prise de mesure. Cependant, malgré ces difficultés, on a rapidement réalisé que si le spectre de Kolmogorov était bien observé, de petites déviations semblaient modifier légèrement la valeur de l’exposant dans la relation (1.4).
L’explication la plus couramment avancée pour ces déviations repose sur le fait que le transfert d’énergie présente des fluctuations spatio-temporelles. Ce phénomène est connu sous le nom d'intermittence. La longueur de corrélation de ces fluctuations (le) devient alors une grandeur caractéristique de la cascade.
Dans ce cas, le spectre (1.5) ne constitue plus l’unique relation compatible avec
l’analyse dimensionnelle. On peut en effet multiplier ce spectre par n’importe
quelle fonction de klc sans modifier les dimensions physiques de E{k). En se limitant aux fonctions “puissances”, on obtient le spectre suivant (où /j, est un paramètre à déterminer) :
E{k)^ë^/^k-^/\klc)-'^ (1.9)
Pour expliquer ce phénomène d’intermittence, plusieurs modèles phénomé
nologiques (en ce sens qu’ils ne sont pas directement déduits de l’équation de Navier-Stokes) ont été développés. Citons par exemple le modèle log-normal (Kolmogorov 1962, Obukhov 1962) et le modèle /3 (Frisch, Sulem, et Nelkin 1978), (voir également Mandelbrot 1974).
Les déviations à la théorie de Kolmogorov ne se limitent cependant pas à l’exposant de k dans le spectre d’énergie. Ce sont, en réalité, tous les exposants qui apparaissent dans les moments de la distribution de vitesse (1.3) qui sont touchés ;
< {v{x + l,t) — v(x,t))'^ >~ pour Kolmogorov 1941
expérimentalement (110) Ainsi, des mesures expérimentales récentes (Anselmet, Gagne, Hopfinger, et Antonia, 1984) donnent, par exemple,
^2~ 0.71 (0.66), 1^4 ~ 1.33 (1.33),
^6 1.80 (2.00), 6 Ri 2.1 (2.33) et 2.25 (2.66) où nous avons indiqué entre parenthèses les valeurs tirées du modèle de cascade de Kolmogorov. Les modèles et log-normal, bien que fournissant une explication raisonnablement réaliste de l’intermittence, ne donnaient pas une description correcte de la fonction de structure (1.10) déterminée par ces nouvelles données expérimentales.
C’est pourquoi, Parisi et Frisch (1985) proposèrent un modèle multifractal de la turbulence basé sur les propriétés topologiques des solutions de l’équation de Navier-Stokes. Notons Sh le sous ensemble de caractérisé par :
\{v{x + l,t) — v{x,t)\ ^ pour X G 5/,. et /0 (l H)
Dans le modèle multifractal, on suppose que les ensembles Sk peuvent
Concepts fondamentaux en turbulence
17
présenter une topologie fractale et sont alors caractérisés par leur dimension de Haussdorf (Frisch 19S6, 19S9). Dès lors, les moments de la vitesse sont donnés par :
< (u(x +/, t) — u(a;, t))" >~ J (t- 12 )
où la mesure dfiih) ne doit pas être spécifiée car elle ne joue aucun rôle dans le modèle. Le facteur représente la probabilité de trouver dans une sphère tridimensionnelle des points appartenant à S h pour / petit. Lorsque l tend vers 0, l’exposant minimum domine dans (1.12) et on obtient :
= min {nh + 3 — c//, ) (113)
h
L’exposant est donc la transformée de Legendre de 3 — dh et par- transformation inverse on peut exprimer la dimension de Haussdorf en fonction des mesures expérimentales :_____________________________________________
dn = min {tik + 3 - (1-14)
Notons que ce modèle multifractal (voir aussi Nakano, 19S9 et Hosokavva et Yamamoto, 1990) ne permet pas de faire de prédictions directes concernant les exposants qui apparaissent dans les moments de la distribution de vitesse.
Cependant, il n’est pas complètement dénué de faculté de prédiction et Frisch et Vergassola (1990) ont montré que certaines propriétés du domaine dissipatif pouvaient être déduites du modèle multifractal.
Signalons aussi Ciue l’existence des déviations (1.9) à la théorie de Kolmogorov ne constitue en rien une preuve de l’e.xistence d’une structure multifractale de la turbulence. Cependant, certaines expériences semblent confirmer cette hypothèse (.Argoul et cd 19S9). Notons également que d’autres théories, ne faisant aucune référence aux ensembles tractais, expliquent elles aussi de manière raisonnable une partie importante des données expérimentales actuellement disponibles (Kraichnan, 1990).
Avant de clore cette parenthèse concernant les déviations à la théorie de
Kolmogorov, citons encore le modèle phénoménologique de cascade développé
par Meneveau et Sreenivasan (19S7) sur base des travaux de Frisch et Parisi.
Dans ce modèle, comme dans d’autres modèles spécifiés, on suppose que les tailles des tourbillons ne présentent que des valeurs discrètes. On suppose ainsi que les tourbillons de taille l qui se déstabilisent donnent systématiquement naissance à des tourbillons de taille 1/2 . De plus, on fait l’hypothèse que ces petits tourbillons n’héritent pas tous de la même fraction d’énergie. Une fraction p\ de l’énergie est distribuée uniformément sur la moitié des petits tourbillons, et l’autre partie p2 = 1 — Pi est distribuée de manière similaire sur l’autre moitié. Ceci mène à une topologie de la cascade pour laquelle on peut calculer explicitement les dimensions des ensembles fractals (Hentschet et Procaccia 1983, Halsey et al 1986) :
Dq
= log2 p ! +piy (1.15)
Figure 3 : Les dimensions généralisées issues du modèle multifractal de Menevaux et Sreenivasan (1987, fig. 1 ) sont représentées par la courbe continue. Les résultats expérimentaux sont représentés par
les carrés avec une estimation de l’erreur.
De plus, cette description du mécanisme de transfert de l’énergie mène, en
fin de cascade, à une distribution non-uniforme du champ de dissipation qui
donne une bonne image de l’intermittence. Il est donc probable que ce modèle
Concepts fondamentaux en turbulence
19
de cascade représente de manière raisonnable la physique de la turbulence dans le domaine inertiel. Dans cette théorie le paramètre ft est donné par :
fi =-2 dDg/dq\g=o ( 116 )
La valeur ainsi obtenue pour pi = 0.7 est p = 0.25.
Il semble cependant que l’accord particulièrement encourageant avec les mesures (figure 3) soit entaché d’une sous-estimation des erreurs expérimentales (Frisch, 1990). De nouvelles e.xpériences devraient rapidement confirmer ou infirmer la validité de ce modèle.
1.5 Turbulence bi-dimensionnelle et cascade inverse
Le raisonnemenrdévëlbppé'p'ar’Kolmogorov-pour décrire-le-domaine-inei-tiel ne fait jamais intervenir la dimension de l’espace d. On peut donc en déduire que le spectre en est indépendant de d. Cependant, si d = 2, l’énergie cinétique n’est plus la seule quantité conservée dans les domaines où les effets de viscosité sont négligeables. L’enstrophie Q, définie comme la moyenne du carré de la vorticité est également une constante du mouvement.
ü =< (1.17)
où
dvi dv2
dx2 dxi (1.18)
La coexistence de deux grandeurs conservées (fl et E) dans les systèmes
bidimensionnels enrichit la physique de la turbulence. Par exemple, dans
le contexte d’une cascade turbulente, tout transfert d’énergie s’accompagne
d’un transfert d’enstrophie. En effet, lorsque des tourbillons de taille /j se
déstabilisent pour donner naissance à des tourbillons de taille I
2. l’énergie ainsi
que l’enstrophie qui étaient associées aux échelles /i se retrouvent associées aux
échelles I
2. L’image de la seule cascade de Kolmogorov est alors incompatible
avec cette double conservation. Il est en effet impossible au sein d’une uniciue cascade, que le transfert d’énergie {AE) et le transfert d’enstrophie (Ak^E) à travers un vecteur d’onde k soient tous deux indépendants de k. Kraichnan (1967, 1974, 1976) en a alors déduit qu’il devait exister deux cascades turbulentes dans les systèmes bidimensionnels. La première est associée à un transfert constant^ d’énergie et correspond à la phénoménologie développée par Kolmogorov (1941). La seconde cascade est un transfert d’enstrophie (7) constantL Elle donne lieu à un spectre d’énergie qui peut être déduit par les mêmes arguments dimensionnels que ceux qui permettent d’obtenir le spectre de Kolmogorov-Obukhov :
~ 7-/^--^ (1.19)
Comme nous l’avons signalé, le transfert d’enstrophie à. taux constant 7 décrit par (1.19) s’accompagne d’un transfert d’énergie qui ne peut être, pour sa part, à tau.x constant. La cascade d’enstrophie modifie donc la valeur globale de l’énergie. Cet effet doit alors être contrebalancé par la cascade de Kolmogorov-Richardson. Rien ne permet de déterminer cjuelle est la direction de chacune de ces cascades. La conservation simultanée de l’énergie et de l’enstrophie implique seulement que les cascades associées s’effectuent dans des directions opposées. L’expérience montre cependant clairement cjue la cascade d’enstrophie s’effectue vers les petites échelles et donc ciue la cascade d’énergie correspond à un transfert de l’énergie vers les grandes échelles par coalescence des petits tourbillons (Batchelor 1969; Lilly 1969; Frisch et Sulem 1984; Babiano et al 1990; Benzi, Paladin et Vulpiani 1990; Dahlburg et al 1990; Ohkitani et Yamada 1990; Shivamoggi 1990). Ces deux spectres peuvent exister de part et d’autre des nombres d’onde auxquels l’énergie est injectée dans le système.
Comme l’a noté Kraichnan, le transfert d’énergie vers les grandes échelles ne se termine pas par un phénomène de dissipation. La coalescence des petits tourbillons ne peut cependant pas s’effectuer au-delà de la création de tourbillons de taille similaire aux dimensions typiques de l’écoulement. Un mécanisme de transfert d’énergie vers les grandes échelles via une cascade
^ Constant devant être compris dans le sens d’indépendant du nombre d’onde au sein
de la cascade correspondante
Concepts fondamentaux en turbulence
21
pure ne peut donc pas correspondre à un système purement stationnaire. On parle alors de turbulence quasi-stationnaire. La fin de la cascade donne alors probablement lieu à des phénomènes de réinjection de l’énergie qui ne peuvent plus être décrits valablement par la phénoménologie de la cascade. Cependant, comme le spectre de Kolmogorov est divergent pour k 0, k = 0 ne peut pas être atteint en un temps fini. On peut montrer (Rose et Sulem, 1978) que le temps t nécessaire pour que la cascade inverse s’étende jusqu’à un nombre d’onde fcmm suffisamment petit est donné par :
~ (1.20)
Pour des écoulements de dimensions caractéristiques suffisamment grandes, on pourra toujours supposer qu’il existe un intervalle de temps non négligeable pendant lequel la cascade inverse peut être observée.
Ces deux cascades, si elles sont présentes, ont pour domaine les vecteurs d’onde de part et d’autre du vecteur d’onde auquel est injectée l’énergie nécessaire à l’entretien des deux transferts.
Notons finalement que par des arguments tout à fait similaires à ceux
présentés en fin de section 1.2, Kraichnan a pu déduire la limite d’extension
de la cascade d’enstrophie k < kd Pour les nombres d’onde
supérieurs à A:^, le temps de dissipation devient inférieur au temps de transfert
mécanique de l’enstrophie et ce sont donc les phénomènes visqueux qui
dominent.
C hapitre ii
L e G roupe de R enormalisation
2.1 Introduction
Notre intérêt pour le groupe de renormalisation est directement lié aux
possibilités d’applications que présente cette théorie dans le cadre de la
turbulence développée. En effet, nous nous sommes tournés vers les méthodes
de renormalisation dans le but d’apporter quelques fondements théoriques à
un modèle phénoménologique de relations dites constitutives qui relient flux
de chaleur et d’impulsion aux gradients de température et de vitesse dans un
milieu turbulent anisotrope. Cette démarche nous a été inspirée par un travail
poursuivant un but similaire (Rubinstein et Barton 1987). Notre volonté
était, et est encore, la description des phénomènes turbulents de sorte que
l'apprentissage des techniques du groupe de renormalisation ne représente pas
le but principal de ce travail. C’est pourquoi ce chapitre ne va pas traiter
des domaines de la physique où le groupe de renormalisation a remporté ses
plus grands succès, à savoir la théorie des champs et l’étude des phénomènes'
critiques; voir par exemple Ma (1973), Wilson et Kogut (1974), Fischer (1974),
Wilson (1975) et Toulouse et Pfeuty (1975). Nous allons plutôt présenter les
concepts généraux de la théorie sans entrer dans les détails des applications
qui, historiquement, ont bâti sa réputation.
Le groupe de renormalisation a été développé pour l’étude des systèmes physiques à grand nombre de degrés de liberté en interaction. Si leur nombre est élevé, les méthodes classiques ne permettent plus d’aborder l’étude du sytème en question de manière satisfaisante. Par exemple, l’approximation qui consiste à négliger les interactions triples et d’ordre supérieur n’est évidemment plus valable.
Nous allons d’abord explorer dans un contexte très général deux ingrédients de base du groupe de renormalisation. Premièrement, nous discuterons du lien qui existe entre la finesse de description d’un système physique d’une part et l’équation ainsi que les paramètres utilisés pour décrire ce système d’autre part. Nous illustrerons cette notion par un exemple concret. Deuxièmement, nous verrons comment l’abondance de degrés de liberté en interaction peut conduire à une hypothèse de loi d’échelle et en quoi cette propriété peut être utile pour simplifier la description d’un système. Nous terminerons enfin par la présentation générale du groupe de renormalisation.
2.2 Lien entre longueur minimale et paramètres
Un des buts les plus ambitieux de la physique moderne est la formulation de
l’ensemble des phénomènes physiques par une seule et unique loi. De grands
progrès ont été réalisés dans cette voie. Ainsi, on sait depuis Maxwell que
des propriétés connues sous les noms de loi d’Ampère, loi de Faraday, ou
théorème de Gauss ne sont que différentes facettes d’un même phénomène :
l’électromagnétisme. De même, le rayonnement des corps noirs, les spectres
d’énergie atomiques et moléculaires, ainsi que les interactions onde-matière
sont décrits par une seule théorie : la mécanique quantique. Peu à peu,
les physiciens sont parvenus à réduire le nombre de lois fondamentales à
quelques unités. Cependant, au plus on unifie les lois de la physique, au
plus on est obligé de décrire des phénomènes de petite échelle. Ainsi, les forces
électromagnétiques et faibles sont unifiées si on atteint une résolution de l’ordre
de 10^ GeV. Forces faibles et fortes, quant à elles, ne se présenteront sous une
théorie unique que si la résolution atteint 10^^ GeV. Enfin, l’unification des
forces gravitationnelles et fortes, la “Grand Unified Theory” (GUT), n’est
Le groupe de renormalisation
25
pas encore démontrée mais ne semblerait possible que pour des résolutions de 10^^ GeV. De telles résolutions ne sont malheureusement pas accessibles aux physiciens expérimentateurs. D’autre part, il serait totalement inutile de vouloir décrire le comportement de l’air dans une canalisation dans le cadre de la GUT. En effet, les détails des interactions entre les constituants les plus fins de l’air importent peu à l’hydrodynamicien et l’équation de Navier-Stokes suffit largement à décrire son problème.
Dans cet exemple, comme dans bien d’autres, les physiciens introduisent naturellement dans leur problème une longueur minimale (A~^) en deçà de laquelle ils ne désirent pas pousser la description (ici, quelques libres parcours moyens). Ce paramètre A représente donc le nombre d’onde maximum qui sera pris en compte dans la description du phénomène étudié.
C’est pourquoi, il est connu sous le nom de “cutoff wave number”. Ma (1973) a caractérisé le rôle de cette longueur minimale par les trois propriétés suivantes : 1° Les longueurs caractéristiques du phénomène physique étudié sont bien plus
grandes que A^^^
2° La forme des équations décrivant le phénomène physique étudié ainsi que les paramètres qui entrent dans ces équations sont associées à un A déterminé.
Deux équations ne sont donc comparables que si elles sont définies pour un même cutoff A.
3° Ces paramètres résument l’information pertinente concernant les phénomènes d’échelles plus petites que A~^.
Pour illustrer ces trois caractéristiques de A, reprenons l’exemple de l’écoulement d’air. Nous allons nous placer à deux niveaux de description tout à fait différents. Premièrement, si on veut décrire la physique d’un électron appartenant à un atome d’o.xygène d’une molécule d’02 dans l’air, la longueur minimale peut être considérée comme étant de l’ordre de la taille d’un noyau d’oxygène. En effet, l’échelle typique des phénomènes étudiés sera la dimension de l’atome, qui est bien plus grande que la taille du noyau. On utilisera alors l’équation de Schrôdinger qui contiendra comme paramètre la charge totale et le spin total du noyau. Ces paramètres résument bien l’information pertinente qui résulte des différents spins et charges à l’intérieur du noyau.
Deuxièmement, en suivant l’exemple de Ma, intéressons-nous à la
propagation d’onde dans cet écoulement. L’échelle typique du phénomène physique est ici la longueur de l’onde considérée. Pour un son de 300 Hz, la longueur d’onde est, dans l’air, de l’ordre du mètre. Dès lors, la longueur minimale peut être prise de l’ordre de quelques libres parcours moyens (A“^ ~ quelques microns). On utilise dans ce cas les équations de Navier-Stokes et de bilans de masse et température qui contiennent comme paramètres la viscosité et la compressibilité. Ici encore, ces paramètres résument bien l’information pertinente qui résulte des interactions atomiques et moléculaires sur des distances inférieures à la longueur minimale.
Dans ces deux cas, les trois propriétés de la longueur minimale sont donc bien vérifiées. En particulier, il apparaît clairement que, selon le choix de A, on est amené à étudier deux équations tout à fait différentes, bien que se rapportant toutes deux à un même système. Au delà de cette constatation, la méthode utilisée pour passer d’une équation à l’autre présente également un intérêt majeur.
Dans le cas du passage de l’équation de Schrôdinger à l’équation de Navier- Stokes, on peut faire appel à une propriété remarquable. Il existe une séparation nette entre les échelles de longueur caractéristique des interactions intermoléculaires et intramoléculaires. De plus, aucun autre phénomène physique ne joue de rôle appréciable à des échelles intermédiaires. On peut donc dans ce cas appliquer des méthodes telles que l’approximation du viriel.
Dans d’autres cas, cette séparation nette entre échelles de longueur n’est pas présente. Il existe alors des mécanismes dont les longueurs typiques se distribuent continuement au delà de A~^. Il est dans ce cas beaucoup plus complexe de passer à un niveau de description moins précis pour obtenir des informations à grande échelle sur le système. C’est précisément pour traiter de tels systèmes que l’on fera appel au groupe de renormalisation.
Retenons de cette section qu’aussi bien la forme des équations que les
valeurs des paramètres entrant dans ces équations dépendent de la longueur
minimale A~^. Nous verrons par la suite comment le groupe de renormalisation
permet de décrire cette dépendance.
Le groupe de renormalisation
