Devoir Libre 5 – Mathématiques

DEVOIRLIBRE5 MATHÉMATIQUES

Devoir Libre 5 – Mathématiques

Le corrigé sera disponible le Vendredi 22 Octobre 2021.

Exercice 1

On considère z = p

3 + 1 + i

p 3 − 1

.

1. Déterminer la forme algébrique de z

.

2. Mettre z

sous forme trigonométrique. En déduire le module et un argument de z.

3. En déduire cos

12

´

et sin

12

´

.

1. On a : z²=¡p

3+1+i(p 3−1)¢2

=¡p 3+1¢2

+2i¡p 3+1¢

סp 3−1¢

−¡p 3−1¢2

=4+2p

3+4 i−4+2p 3=4p

3+4 i.

2. On a :

¯¯z²¯

¯=p

4²×3+4²=4×p 4=8.

D’où,

z²=8 Ãp

3 2 +i1

2

! . Donc,

z²=8e^iπ6. On sait que¯

¯z²¯

¯=8.

Or,¯

¯z²¯

¯= |z|².

Donc,|z|²=8, puis,|z| =2p

2 ou|z| = −2p 2.

Comme|z| >0, il vient

|z| =2p 2.

On chercheθ∈[0, 2π[ un argument dez.

D’autre part, arg(z²)≡π 6[2π].

Or, on sait que arg(z²)≡2 arg(z)[2π]≡2θ[2π].

Donc, 2θ≡π 6[2π].

D’où,θ≡ π 12[π].

Or, commeθ∈[0, 2π[, on aθ= π

12 ouθ=π+ π 12. De plus, on sait que Re(z)=p

3+1>0 et Re(z)= |z| ×cos(θ). Donc, cos(θ)>0 etθ∈[0,π[.

Donc,θ= π 12 et

arg(z)≡ π 12[2π].

3. Par la question précédente,

z=p

3+1+i (p

3−1)=2p 2e^i12π. Donc, en identifiant partie réelles et imaginaires :

p3+1=2p

2×cos³π 12

´

et p

3−1=2p

2×sin³π 12

´ .

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

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Ainsi,

cos³π 12

´

= p3+1

2p

2 et sin³π 12

´

= p3−1

2p 2 .

Exercice 2

Linéariser sin(x)

× cos(2 x).

Exercice 3

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur z ∈ C ^{pour que}

¯

¯

¯

¯

1 − i × z 1 + i × z

¯

¯

¯

¯

= 1.

Indication : exercice 14.

Exercice 4

Soit z ∈ C ^{et u} ∈ U \ {1}. Montrer que z − u × z

1 − u est un réel.

Indication : Utiliser la caractérisation des réels à l’aide du conjugué.

Réponse

Étape(s) du raisonnement.Un nombre complexez est réel si, et seulement si, z=z.

On a :

µz−u×z 1−u

¶

=z−u×z

1−u =z−u×z 1−u . Or,u∈U^{, doncu}=1

u. D’où,

z−_u¹×z

1−¹_u =u×z−z

u−1 =z−u×z 1−u . Donc,

z−u×z 1−u ∈R^.

Exercice 5

Montrer que :

∀ (a, b) ∈ U × U ^{, (a + b)}

2

a × b ∈ R

.

Indication : Utiliser la caractérisation des nombres complexes de module 1 par les e

.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

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Réponse

On sait que (a,b)∈U², donc il existe (θ,ϕ)∈R^{2tel quea}=e^iθetb=e^iϕ. De plus,

a+b=e^iθ+e^iϕ=e^iθ+ϕ2 ׳

e^iθ−ϕ2 +e^−iθ−ϕ2 ´

=2 cos µθ−ϕ

2

¶

×e^iθ+ϕ2 . D’où,

(a+b)² a×b =

4³ cos³_θ−ϕ

2

´´2

e^{i (θ+ϕ)} e^iθ×e^iϕ =4

µ cos

µθ−ϕ 2

¶¶2

∈R+.

Exercice 5 : pour travailler le cours du vendredi 15/10/2021

Résoudre les équations d’inconnue complexe z ∈ C ^:

1. e

= 2 + 3 i ; 2. z

= 1 − i ; 3. z

= − 1 + 2 i (par la méthode al- gébrique).

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC