2Bac SGC Devoir libre N°5
Lycee technique Maghreb Arabe Devoir libre 2eme Bac SGC M.Said CHERIF
Problème :
Soit f une fonction définie sur par :
( )
3 11
x x
f x e e
= -
+ et
( )
Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé(
O i j; ; )
(l'unité de mesure est 1 cm)Partie A:
1. Montrer que " Îx ; f x
( )
+ f( )
- =x 2 . puis en déduire le centre de symétrie de la courbe( )
Cf 2. Calculer les limites de la fonction f en +¥ et en -¥ puis en donner des interprétations auxrésultats obtenus
3. Etudier le sens de variation de f
4. Déterminer l'équation de la tangente
( )
T à la courbe( )
Cf au point d'abscisse 0 5. On pose g x( )
= f x( ) (
- +x 1)
.Vérifier que " Îx ;
( )
1 2
' 1
x x
g x e
e æ - ÷ö ç ÷
= -ççç +è ÷÷ø 6. Calculer g
( )
0 puis déterminer le signe de g x( )
7. En déduire la position relative de la courbe
( )
Cf par rapport à la tangente( )
T8. Construire la tangente
( )
T et la courbe( )
Cf dans le repère(
O i j; ; )
Partie B:
1. a) Montrer que " Îx : f x
( )
= x g x( )
+ =1 0b) En déduire que la droite
( )
D d'équation y=x coupe la courbe( )
Cf en un point d'abscisse a tel que 2< <a 32. a) Vérifier que
( )
1 4 1x x
f x e
= - +e
+ puis en déduire une primitive de f sur
b) Calculer l'aire de la surface du plan délimitée par la courbe
( )
Cf et les droites d'équations respectivement x= -2 , x=2 et y=xPartie C:
On considère la suite
( )
un définie par : u0=3 et " În ; un+1= f u( )
n 1. Montrer que : " În ; 1£un£32. Montrer que
( )
un est une suite monotone. puis en déduire qu'elle est convergente 3. Montrer que lim( )
un =aExercice :
1. En utilisant une intégration par partie. Montrer que :
( )
1 2
) 0 2 1 x 1
a
ò
x- e dx=1 3 0 2
2 2
) 1 3
b x dx
x
= -
ò
+ 2. On se propose de déterminer la valeur de l'intégrale3 2
0 1 2
4 4 6
2
x x x
I dx
x x
-
+ + -
=
ò
+ -a. Par une division euclidienne, montrer que x3+4x2+4x- =6
(
x2+ -x 2) (
x+ +3)
3xb. Trouver deux réels a et b tels que 2 3
2 1 2
x a b
x x = x +x
+ - - +
c. En déduire la valeur de I
